2024-2025学年福建省三明市四校联考高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省三明市四校联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则1与集合的关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，这也意味着，从而只有选项A正确.故选：A.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命题“，”的否定是“，”.故选：B.3.下列表示同一函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】A【解析】A：定义域均为，且，所以是同一函数；B：定义域为，定义域为，定义域不同，所以不是同一函数；C：中，解得，所以定义域为，中，解得或，定义域为，由上可知，定义域不同，所以不是同一函数；D：的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数.故选：A.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，即，所以“”是“”的充要条件.故选：C.5.已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知，解得，所以定义域为.故选：D.6.已知函数，若，则的取值范围是（）A.， B.，C.，， D.，，【答案】D【解析】因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得成立，所以将原不等式转化为：或，从而得或．故选：D．7.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，排除BD选项；当时，，则，，所以，函数在上为增函数，排除C选项.故选：A.8.已知函数若，则函数零点个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作出与的图象如下，由图可知，与的图象有个交点，则函数的零点个数是.故选：C．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.若，则函数的最小值为3B.若，则的最小值为4C.若，，，则的最大值为1D.若，满足，则的最大值为【答案】AC【解析】对于A：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为，故正确；对于B：因，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故错误；对于C：因为，所以，所以，所以，解得，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故正确；对于D：因为，所以，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故错误.故选：AC.10.下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】对于A：因为且在上单调递增，所以，故正确；对于B：因为在上单调递增，在上单调递增，所以，故正确；对于C：因为，且在上单调递增，由于，所以，故正确；对于D：因为在上单调递增，在上单调递增，所以，故错误.故选：ABC.11.已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且．当时，．则下列选项正确的是（）A. B.C.为上的增函数 D.为奇函数【答案】BD【解析】对于A：令，则，令，则，令，则，故错误；对于B：由A选项的计算可知，故正确；对于C：，则，则，因为，所以，又时，，所以，所以，所以为上减函数，故错误；对于D：令，则，则，所以，所以，且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______.【答案】2【解析】函数是幂函数，∴，解得或，当时，函数的图象不关于轴对称，舍去；当时，函数的图象关于轴对称；∴实数．13.已知函数且，则的值为______．【答案】【解析】令，定义域为且关于原点对称，因为，所以为奇函数，所以，所以，代入，可得.14.若，，，，使则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】原问题等价于函数的值域是函数值域的子集．在上，二次函数的值域是，单调递增的一次函数的值域是，则，则且，解得．四、解答题：本题共7小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.计算：（1）；（2）．解：（1）原式.（2）原式.16.设全集，集合，．（1）求，；（2）若集合，，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以，因为且在上单调递增，所以，所以，所以，且，所以.（2）因为，所以，当时，显然不满足，所以；因为，所以，解得，所以的取值范围是.17.已知函数，且.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）若，求函数在区间上的最大值解：（1）函数为奇函数，证明如下：由题得，解得，故函数的定义域为，关于原点对称；，所以函数为奇函数.（2）由，函数为增函数，所以：函数为增函数，函数为减函数（同增异减），所以函数为增函数，函数在区间上单调递增，最大值为.18.已知函数为奇函数，．（1）求的值；（2）讨论函数的单调性；（3）若恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为为奇函数，所以，所以，所以，所以.（2），，则，因为，所以，所以，所以，所以在上单调递增.（3）因为是上的奇函数，所以，因为在上单调递增，所以恒成立，所以恒成立，所以；因为，当时取等号，所以，所以.19.布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点．（1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由（2）已知函数，若是的次不动点，求实数的值：（3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．解：（1）依题意，设为f(x)的不动点，即，于是得，解得或，所以是“不动点”函数，不动点是2和.（2）因是“次不动点”函数，依题意有，即，显然，解得，所以实数的值是.（3）设分别是函数在上的不动点和次不动点，且唯一，由得：，即，整理得：，令，显然函数在上单调递增，则，，则，由得：，即，整理得：，令，显然函数在上单调递增，，，则，综上得：，所以实数的取值范围.福建省三明市四校联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则1与集合的关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，这也意味着，从而只有选项A正确.故选：A.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命题“，”的否定是“，”.故选：B.3.下列表示同一函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】A【解析】A：定义域均为，且，所以是同一函数；B：定义域为，定义域为，定义域不同，所以不是同一函数；C：中，解得，所以定义域为，中，解得或，定义域为，由上可知，定义域不同，所以不是同一函数；D：的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数.故选：A.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，即，所以“”是“”的充要条件.故选：C.5.已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知，解得，所以定义域为.故选：D.6.已知函数，若，则的取值范围是（）A.， B.，C.，， D.，，【答案】D【解析】因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得成立，所以将原不等式转化为：或，从而得或．故选：D．7.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，排除BD选项；当时，，则，，所以，函数在上为增函数，排除C选项.故选：A.8.已知函数若，则函数零点个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作出与的图象如下，由图可知，与的图象有个交点，则函数的零点个数是.故选：C．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.若，则函数的最小值为3B.若，则的最小值为4C.若，，，则的最大值为1D.若，满足，则的最大值为【答案】AC【解析】对于A：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为，故正确；对于B：因，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故错误；对于C：因为，所以，所以，所以，解得，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故正确；对于D：因为，所以，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故错误.故选：AC.10.下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】对于A：因为且在上单调递增，所以，故正确；对于B：因为在上单调递增，在上单调递增，所以，故正确；对于C：因为，且在上单调递增，由于，所以，故正确；对于D：因为在上单调递增，在上单调递增，所以，故错误.故选：ABC.11.已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且．当时，．则下列选项正确的是（）A. B.C.为上的增函数 D.为奇函数【答案】BD【解析】对于A：令，则，令，则，令，则，故错误；对于B：由A选项的计算可知，故正确；对于C：，则，则，因为，所以，又时，，所以，所以，所以为上减函数，故错误；对于D：令，则，则，所以，所以，且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______.【答案】2【解析】函数是幂函数，∴，解得或，当时，函数的图象不关于轴对称，舍去；当时，函数的图象关于轴对称；∴实数．13.已知函数且，则的值为______．【答案】【解析】令，定义域为且关于原点对称，因为，所以为奇函数，所以，所以，代入，可得.14.若，，，，使则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】原问题等价于函数的值域是函数值域的子集．在上，二次函数的值域是，单调递增的一次函数的值域是，则，则且，解得．四、解答题：本题共7小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.计算：（1）；（2）．解：（1）原式.（2）原式.16.设全集，集合，．（1）求，；（2）若集合，，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以，因为且在上单调递增，所以，所以，所以，且，所以.（2）因为，所以，当时，显然不满足，所以；因为，所以，解得，所以的取值范围是.17.已知函数，且.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）若，求函数在区间上的最大值解：（1）函数为奇函数，证明如下：由题得，解得，故函数的定义域为，关于原点对称；，所以函数为奇函数.（2）由，函数为增函数，所以：函数为增函数，函数为减函数（同增异减），所以函数为增函数，函数在区间上单调递增，最大值为.18.已知函数为奇函数，．（1）求的值；（2）讨论函数的单调性；（3）若恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为为奇函数，所以，所以，所以，所以.（2），，则，因为，所以，所以，所以，所以在上单调递增.（3）因为是上的奇函数，所以，因为在上单调递增，所以恒成立，所以恒成立，所以；因为，当时取等号，所以，所以.19.布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点．（1）判断函数是否是“