2023-2024学年江苏省南通市启东市八年级上学期期末数学试题及答案

2023-2024学年江苏省南通市启东市八年级上学期期末数学试题及答案注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置．3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．1.下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A.3，4，8 B.8，7，15C.5，5，11 D.13，12，20【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据两边之和大于第三边判断即可．【详解】∵，与两边之和大于第三边矛盾，∴A不符合题意；∵，不能构成三角形，∴B不符合题意；∵，不能构成三角形，∴C不符合题意；∵，能构成三角形，∴D符合题意；故选D．2.下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”，“芒种”，“白露”，“大雪”，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，根据定义解题即可．【详解】A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；D、是轴对称图形，本选项符合题意．故选：D．3.下列计算错误是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据合并同类二次根式、二次根式的加减运算法则、乘除运算法则逐项判断即可解答．【详解】解：A、，该选项正确，不符合题意；B、，该选项正确，不符合题意；C、，该选项错误，符合题意；D、，该选项正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式运算、二次根式加、减、乘、除运算法则，熟练掌握相关运算法则计算是解决问题的关键．4.如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据等边对等角求出，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，则，可得，由此即可得到．【详解】解：∵在等腰中，，，∴，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，∴，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．5.下列说法正确的是（）A.代数式是分式 B.分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变C.分式的值为0，则x的值为 D.分式是最简分式【答案】D【解析】【分析】根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，分式的性质，分式的值为0的条件，最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式，逐项分析判断即可【详解】A.代数式不是分式，故该选项不正确，不符合题意；B.分式中x，y都扩大3倍，分式的值扩大3倍，故该选项不正确，不符合题意；C.分式的值为0，则x的值为，故该选项不正确，不符合题意；D.分式是最简分式，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了分式的定义，分式的性质，分式的值为0的条件，最简分式的定义，掌握以上知识是解题的关键．6.如图，∠CBD、∠EDA为△ABD的两个外角，，，则∠A的度数是（）A.20° B.30° C.40° D.50°【答案】C【解析】【分析】先根据求出的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：，，是的外角，．故选：C．【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解答此题的关键．7.如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【详解】要使△ABP与△ABC全等，必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长度，所以点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选C．8.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项系数皆为正整数，若甲与乙相乘得，乙与丙相乘得，则甲、丙之积与乙的差是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平方差公式因式分解可知，根据十字相乘法因式分解可知，对以上两个式子进行分析即可得到甲、乙、丙，进而进行计算即可．【详解】A∵，∵，又∵甲与乙相乘得：，乙与丙相乘得：，∴甲为，乙为，丙为，∴甲、丙之积与乙的差是：，，，故选：A【点睛】本题主要考查整式的运算、因式分解，解答本题的关键是熟练掌握运用整式运算和因式分解的方法．9.如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理.三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，可得，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论.【详解】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，，，，，，故选:C10.如图，，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（）A.2024 B.4042 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，然后找到规律即可得解．【详解】解：∵为等边三角形，∴，∴，∴，∴，同理可得，，∴的边长为．故选：D．二、填空题（本题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上．11.一个多边形的各个外角都等于，则这个多边形是______．【答案】五边形【解析】【分析】本题考查了多边形的外角和；根据多边形外角和为求出边数即可．【详解】解：∵一个多边形的各个外角都等于，∴这个多边形的边数为：，故答案为：五边形．12.我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003，将0.0000003用科学记数法可以表示为______．【答案】【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.0000003用科学记数法表示为．故答案为：．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13.在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查坐标与图形变化轴对称．理解关于y轴对称的点的坐标规律是解题关键．两点关于y轴对称，则两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，依此作出判断即可．【详解】解：∵点与点关于y轴对称∴，，则．故答案为：．14.一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：___________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据平方差公式或完全平方公式等知识解答即可．【详解】解：∵，因式分解后有一个因式为，∴这个多项式可以是（答案不唯一）；故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键．15.如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为______．【答案】12【解析】【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质得到，．【详解】解：是等边三角形，，，，，，，是等边三角形，平分，，，，，．故答案为：12．16.设有边长分别为a和b（）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片，若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为______张．【答案】8【解析】【分析】本题考查完全平方式等，将多项式乘多项式展开成为多项式的形式是解题的关键．利用矩形的面积公式，计算矩形的面积并写成多项的形式，其中项的系数即为答案．【详解】解：，即，要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．，即，若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张，故答案为：817.我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b，其它运算符号的意义不变，计算：(△)－(2△3)＝__________.【答案】－＋4【解析】【分析】根据题意，先比较出＞，2＜3，再代入相应的运算法则进行计算，再根据二次根式的混合运算进行化简.【详解】∵当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b，＞，2＜3，∴(△)－(2△3)＝＋－(2－3)＝－＋4【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据题意进行运算化简，再利用二次根式的运算法则进行计算.18.如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动___________s．【答案】1【解析】【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值．【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得，，∵，∴，∵和是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得．故答案为：1．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答．19.已知：如图，，，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据平行线的性质得出，然后证明，证明，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：∵，∴，∵，∴即在与中，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．20.如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．【小问1详解】证明：∵为的角平分线，∴，由作图可得，在和中，，∴；小问2详解】∵，为的角平分线，∴由作图可得，∴，∵，为的角平分线，∴，∴【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．21.随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效，某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．【答案】80【解析】【分析】设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据题意得：，方程两边同乘，得，解得，经检验，是分式方程的解答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨．【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键是找准等量关键正确列出方程．22.（1）先化简，再求值：，其中；（2）求代数式的值，其中．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的性质，二次根式的除法运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键；（1）先计算括号内的分式的减法，再计算除法运算，最后把代入计算即可；（2）先化简，再把代入计算即可．【详解】（1）解：，当时，原式．（2）解：当时，原式．23.如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，连结CD，BE．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．【答案】（1）；；（2），见解析【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出，．（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含分别表示，，即可得到两角的关系．【详解】（1），，．在中，，，，，．．（2），的关系：．理由如下：设，．在中，，，．，中，，．．．．【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．24.如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“巧数”，如：，，，因此4，12，20这三个数都是“巧数”．（1）36是“巧数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数吗？为什么？（3）求介于50到101之间所有“巧数”之和．【答案】（1）是，见解析（2）是，见解析（3）532【解析】【分析】（1）根据“巧数”的定义进行判断即可；（2）列出这两数的平方差，运用平方差公式进行计算，对结果进行分析即可；（3）介于50到101之间的所有“巧数”中，最小的为：142-122=52，最大的为：262-242=100，将它们全部列出不难求出他们的和．【小问1详解】）36是“巧数”，理由如下：∵，∴36是“巧数”；【小问2详解】∵n为正整数，∴2n－1一定为正整数，∴4(2n－1)一定能被4整除，即由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数；【小问3详解】介于50到101之间的所有“巧数”之和，，，．【点睛】本题考查了因式分解的应用，能根据“巧数”的定义进行计算是解决此题的关键．25.已知：如图①，中，，，为边上的中线，过A作，交延长线于点E．（1）直接写出_______；（2）如图②，过点C作于F．求证：；（3）在（2）的条件下，如图③，在的外部作，且满足，连接AG．若，求线段的长．

【答案】（1）45（2）证明见解析（3）4【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，，再由，，即可得出，由此即可得到答案；（2）连接，在上截取，连接，证，得，，再证是等腰直角三角形，得，然后证，得，即可得出结论；（3）连接，取的中点，连接、、，则，证，得，，则，再证，得，则，然后由线段垂直平分线的性质得，进而得出答案．【小问1详解】解：，，，，，又，，，故答案为：45；【小问2详解】证明：连接，在上截取，连接，如图2所示：由（1）知，，，，，，，，即，是等腰直角三角形，，，，，，，为边上的中线，，，，，，，；【小问3详解】解：连接，取的中点，连接、、，如图3所示：则，，，，，