基变换的过渡矩阵的求法及应用

基变换的过渡矩阵的求法及应用目录TOC\o"1-3"\h\u126831引论 摘要：过渡矩阵是基与基之间的一个\t"/item/%E8%BF%87%E6%B8%A1%E7%9F%A9%E9%98%B5/_blank"可逆线性变换，是高等代数中一个非常重要的概念。在一个\t"/item/%E8%BF%87%E6%B8%A1%E7%9F%A9%E9%98%B5/_blank"空间V下可能存在不同的基，同一向量在不同基底下的表示是不同的，过渡矩阵可以通过将向量在一个基底下的坐标转换为另一基底下的坐标。本文从定义、性质、借助标准基、同构思想、初等变换对高等代数中关于数域P上n维线性空间V中基变换的过渡矩阵的求法进行总结与应用，以及从n维的A是否有n个线性无关的特征向量对较难的使T−1AT成为若尔当标准型的过渡矩阵T的求法进行总结与应用。关键词:初等变换；标准基；同构；若尔当标准型引论研究背景过渡矩阵在各种领域中都有广泛的应用，如物理学、生物学、经济学、计算机科学等。过渡矩阵也被称为状态转移矩阵或转移矩阵。在实际生活中，例如我们常见的无人机在天空摆出的任意图案，就是可以通过两个坐标系的过渡矩阵乘原本的坐标计算出来。过渡矩阵可以计算量子力学系统中各种物理量的期望值，包括动量、能量、角动量等。对于马尔科夫链的转移模型中过渡矩阵是描述转移规律的重要工具。在经济学中，过渡矩阵常常用来描述一个经济系统在不同时间点之间的变化。由此可见过渡矩阵意义重大，它是这些应用的关键，所以对于过渡矩阵的求法极其值得研究。选题依据过渡矩阵也被称为状态转移矩阵或转移矩阵。它是高等代数中以及实际生活中某些应用的一个非常重要的概念。掌握了这一概念，对高等代数的学习就会容易很多，对一些实际应用的研究也有帮助。而对与一般过渡矩阵的求法，以及使T−1AT成为若尔当标准型的过渡矩阵T的求法众多，如何去选择一种最优化的求法是非常重要的，本文就旨在总结定义法、性质法、借助标准基法、同构思想、初等变换等方法以及对于使T−1AT成为若尔当标准型过渡矩阵研究意义已经有学者提出多种过渡矩阵的求法，但没有对各种求法进行总结以及比较，本文通过例题来探究了定义法、性质法、借助标准基、初等变换、同构的方法求一般过渡矩阵的适用条件以及优缺点和从向量组是否线性相关研究使T−1AT成文献综述在国内研究现状方面对于过渡矩阵的求法，钟振华REF_Ref6764\r\h[3]在1998年发表《求过渡矩阵方法的改进》讨论了用初等变换的方法来计算过渡矩阵。单静REF_Ref6826\r\h[4]在2002年发表《关于过渡矩阵的探讨》对过渡矩阵进行探讨，并给出其五条性质。卢天秀REF_Ref21857\r\h[1]在2003年3月发表《浅谈pn中求基之间的过渡矩阵》文中讨论了利用定义、借助标准基、矩阵初等变换三种方法来求过渡矩阵。2004年包建REF_Ref6907\r\h[2]发表了《基变换的过渡矩阵的求法》其中总结了定义法与性质法。秦志耘、斯琴、吴校良REF_Ref22363\r\h[5]在2004年4月发表了《过渡矩阵的初等变换法》其中讨论了初等变换法来求过渡矩阵。吴松平REF_Ref22399\r\h[6]在2005年9月发表了《过渡矩阵的新求法》其中运用解线性方程组的思想以及向量空间同构的思想探讨了同构思想来求过渡矩阵。2003年8月董建等人REF_Ref22461\r\h[7]发表了《若当标准型T−1AT中过渡矩阵T的求法》总结出n维矩阵A有n个线性无关的特征向量的求法。2022年郭烨、熊飞等人REF_Ref22494\r\h[8]发表了《Jordan标准型过渡矩阵的一种新算法》其中通过矩阵函数微分的相关知识，给出若尔当标准型过渡矩阵的一种新算法。1990年陈财佩发表了《一种差分算子变换求过渡矩阵的新方法》，主要引入平移算子Fourier变换的定义。研究评述：综合评价国内研究现状，虽然学者们对于过渡矩阵求法讨论了定义、性质、初等变换、借助标准基、同构思想等方法，但未全面总结各种方法的适用条件以及优缺点，让读者不能很好判断，哪些情况适用什么方法。借助各学者的文献，就能很好地通过大量例题来总结过渡矩阵的求法。过渡矩阵的定义与性质过渡矩阵的定义设ε1,ε2,⋯,εn和β1,β2,⋯,βn是数域P上的n维线性空间Vβ1即：β1矩阵A=a称为由基ε1,ε2过渡矩阵的性质性质1REF_Ref6907\r\h[2]若向量关于基ε1,ε2,⋯,εn的坐标是x1,x2,⋯,xn；关于基β1,β2,⋯,性质2REF_Ref6907\r\h[2]如果ε1,ε2,⋯,εn、β1,β2,⋯,βn及γ1,γ2,⋯,γn都是V的基，并且从基ε1性质3REF_Ref8460\r\h[4]如果从基ε1,ε2,⋯,εn到基β1,β2,⋯,βn性质4REF_Ref8999\r\h[5]（初等变换思想）设ε1,ε2,⋯,εn与β1,β2,⋯,βn是数域P上n维向量空间V的两组基，ε1,ε2,⋯,εn性质5REF_Ref6764\r\h[3]（借助标准基思想）如果α1,α2,⋯,αn和β1,β2,⋯,由α1,α2,⋯,由β1则β1,β一般过渡矩阵求法与应用举例下面将通过例题的形式来讲述一般过渡矩阵的求法。运用定义法求过渡矩阵运用定义法求过渡矩阵的求法是：在给出β1例1在P4中，求由基ε1=解法1：设A为过渡矩阵，A=a11aη1=a2=解得:a同理可得：aaa14所以由基ε1=1A解法2：设A为过渡矩阵，A=a11a则A=ε1运用性质1求过渡矩阵运用性质1求过渡矩阵的求法是：两组基A,B之间的过渡矩阵T也是两组基所对应坐标α,β之间的过渡矩阵，即A=BT则α=Tβ。根据性质1，如果已知一组基的过渡矩阵就可以知道基所对应的坐标的过渡矩阵，相反如果已知一组坐标的过渡矩阵就可以知道坐标所对应基的过渡矩阵。此性质连接了坐标和基变换的关系。如果已知坐标α到β的过渡矩阵例2在n维空间Pn中，α=(a1,a2,⋯,an(a求坐标a1,a2,⋯,an到坐标(a解：因为两组坐标之间a则10⋯计算两组基之间的过渡矩阵ε综上可知两坐标之间的过渡矩阵就是两组基之间的过渡矩阵。下面通过直接计算和应用性质1计算坐标(a1,直接计算：a过渡矩阵为1根据性质1所以坐标(a1,T−1运用性质2求过渡矩阵运用性质2求过渡矩阵的求法是：如果现有n组基，且已知n−例3假设现有基ε1=1,0,0,0ε2=0,1,0,0ε3=α1,α2,α3,α解：η1,而AT=12−所以ε1,ε2运用性质3求过渡矩阵运用性质3求过渡矩阵的求法是：性质3证明了过渡矩阵是可逆的，在进行关系变换时或已知一组基α1,α2,⋯,αn到另一组基β例4已知基ε1=1,0,0ε2=0,1,0ε解：根据性质3，设A=1−4−31由此可得基β1=1,1,−1A运用初等变换的思想求过渡矩阵运用初等变换的思想求过渡矩阵的求法是：在给出确定的两组基A,B时，并要求A到B的过渡矩阵时，先考虑利用定义法是否容易求，若比较复杂再考虑初等变换法，利用矩阵初等变换的方法就避免了定义法中繁琐的方程组，仅对矩阵AB进行行变换，最后变形为：E例5在P4中，求由基ε1=解：运用初等变换法ε对矩阵进行行变换→故可得基ε1=1,2,−1,0运用借助标准基思想求过渡矩阵运用借助标准基思想求过渡矩阵的求法是：借助标准基的思想是先分别求出标准基到两组基的过渡矩阵，再计算其中一个过渡矩阵的逆矩阵，再将此逆矩阵乘上另一个过渡矩阵就可以得到两组基的过渡矩阵，此方法的难点在于求矩阵的逆，相对于矩阵初等变换法。例6在R4中，求由基α1=解：ε1=1根据性质5，ε1,εA=1α1,ε1,则ε1,εB=1β1,β1,=所以A−1所以基α1=11运用同构思想求过渡矩阵运用同构思想求过渡矩阵的求法是：在求Rxn上基之间的过渡矩阵时，可以运用同构思想将Rxn上基映射到Rn+1上，在R例7在Rx3上，求基1,x+1,解：利用同构思想，先取Rx31=1∙1+0∙x+0∙x+1=1∙1+1∙x+0∙(x+1)2=(x+1)3=xxx2+1x+1=1∙1+1∙x+0∙建立一个Rx3到R4σσσσ将Rx3映射到R4后，求基1,x+1,(x+1)2,再运用初等行变换思想求过渡矩阵1=1由此可得10011所以得到基1,x+1,(x+1)2,使T−1AT成为若尔当标准型过渡矩阵T的求法与应用若尔当标准型是除了主对角线元素和主对角线上方的元素不为0外，其他位置的元素均为0，主对角线上方的元素不是0就是1。若尔当标准型的目标就是将更多的矩阵化简到一类只比对角矩阵稍微复杂的矩阵。任何一个矩阵B总是相似一个与其相对应的若尔当标准型，若尔当标准型中对角矩阵是特例，下面对于对角矩阵型、若尔当标准型的过渡矩阵T的求法如下：对角矩阵的若尔当标准型对角矩阵的若尔当标准型求法是：对角矩阵是若尔当标准型的特例，一个n维矩阵A能否在一组适当的基下化为对角矩阵，就相当于矩阵A‚是否相似于一个对角矩阵。矩阵A‚是否相似于一个对角矩阵需满足：n维的矩阵A有n个线性无关的特征向量，取这几个线性无关的特征向量为基纵排列，得到过渡矩阵T＝(特征向量求法REF_Ref8640\r\h[9]是：在线性空间V中取出一组基ε1ε2令|λE－A|＝0，求出全部根λ1,将特征值λii=1,2,⋯,n逐一代入(λE－A)x1x例8A=021−解：令|λE－A|＝0，代入A，即：|λE－A|=λ解得特征值为：λ当λ1=0−2得关于λ1=0当λ2=14得关于λ2=当λ3=−−得关于λ3=−综上取关于λ1T=T−T验证：T所以得到：T=例9A=4−1解：令|λE－A|＝0，代入A，即：|λE－A|=λ解得特征值为：λ当λ=3−x得关于λ1=当λ4=73x得关于λ4=7综上取关于：λ1T=T−T验证：T所以得到：T=若尔当标准型的过渡矩阵若尔当标准型的过渡矩阵的求法是：对于n维的矩阵A没有n个线性无关的特征向量，那么就要进行复杂的计算，首先要算出特征值，以及对应特征值的特征向量，如果有r个线性无关的特征向量，那么就将r个线性无关的向量为基纵排列，再通过AT=Tλ0⋯01λ⋯0⋯例10已知A=3−1解：令|λE－A|＝0，代入A，即：|λE－A|=λ−解得特征值为：λ则若尔当标准型为100当λ1=−2x得关于λ1=当λ2=−x得关于λ2=下面求T：因为T−1两边同时左乘T，则ATAα1根据上方算出来的特征向量，令α1=T=AT=0所以3x1令x1=x2根据计算T=1≠综上得到：T=求基变换的过渡矩阵应用的方法总结过渡矩阵就是基与基之间的一个\t"/item/%E8%BF%87%E6%B8%A1%E7%9F%A9%E9%98%B5/_blank"可逆线性变换，在各种领域中都有广泛的应用。它是高等代数中以及实际生活中某些应用的一个非常重要的概念。掌握了这一概念，对高等代数的学习就会容易很多，对一些实际应用的研究也有帮助。上述了一般过渡矩阵应用的求法，对于使T−1AT成为若尔当标准型过渡矩阵T求法针对n维矩阵A是否有n个线性无关的特征向量，上文列了两种求法。下面将综合叙述以上求法的适用条件、优缺点。一般过渡矩阵应用定义法求过渡矩阵适用于在给出β1=a11ε1+a21ε2+⋯+an1εn,β2=a12ε1+a22ε2+⋯+an2εn,⋯⋯⋯⋯βn=a1n使T−1AT成为若尔当标准型过渡矩阵T的对于使T−1AT成为若尔当标准型过渡矩阵T求法针对n维矩阵A是否有n个线性无关的特征向量有两种求法。第一步先算出n维的矩阵A是否有n个线性无关的特征向量。第二步若有n个线性无关的特征向量，那么T为n个线性无关的特征向量为基纵排列的矩阵，T−1AT为对角线为特征值的对角矩阵；若没有n个线性无关的特征向量那么就要进行复杂的计算，首先要算出特征值，以及特征值对应的特征向量，如果有r个线性无关的特征向量，那么就将再通过AT=Tλ0⋯01λ⋯在求两组基之间的过渡矩阵时怎么做以及采用什么方法是很重要的，如果是可以用借助标准基的方法简化运算但却仅通过定义法死算，计算就会复杂且花费大量时间，答案还不一定正确。过渡矩阵的概念求法很重要，学好高等代数关键之一是理解过渡矩阵，通过本文认真感受过渡矩阵的求法，研究总结过渡矩阵T的求法，以便更好地理解基之间的转换。参考文献卢天秀,辛邦颖.浅谈pn中求基之间的过渡矩阵[J].西昌师范高等专科学校学报,2003.包健.基变换的过渡矩阵的求法[J].安庆师范学院学报(自然科学版),2004(04):78-81.钟振华.求基的过渡矩阵方法的改进[J].楚雄师专学报,1998(03):36-37.单静,廖飞.关于过渡矩阵的探讨[J].牡丹江师范学院学报(自然科学版),2002.秦志耘,斯琴,吴校良.过渡矩阵