2022北京市通州区高一（上）期末数学真题试卷答案

9/92022北京通州高一（上）期末数学参考答案2022年1月一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）D （2）C （3）A （4）C （5）B （6）B （7）A （8）D （9）C （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11），或 （12）； （13）；（14） （15）②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本题13分）解：（Ⅰ）因为二次函数，所以对称轴．………………4分（Ⅱ）因为，所以.所以.………………8分所以．因为，所以开口向上，有最小值为.所以的值是，的最小值是，无最大值.………………13分（17）（本题14分）解：（Ⅰ）因为函数，且的图象经过点，所以.所以.………………4分（Ⅱ）因为，所以.所以在区间上单调递减.………………6分所以在区间上的最大值是.所以.所以在区间上的最大值是.………………9分（Ⅲ）因为，所以.因为，，所以，又在区间上的图象是一条连续不断的曲线，所以在区间内存在零点．………………14分（18）（本题15分）解：（Ⅰ）因为角的终边与单位圆交于点，且，由三角函数定义，得.因为，所以.因为点在第一象限，所以.………………5分（Ⅱ）因为射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，所以.因为，所以.………………9分（Ⅲ）因为点与关于轴对称，所以点的坐标是.连接交轴于点，所以．所以.所以的值是.………………15分（19）（本题13分）解：（Ⅰ）因为，所以.所以的最大值，取得最大值时自变量的集合是.………………5分（Ⅱ）因为把曲线向左平移个单位长度，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，所以.因为，所以.因为正弦曲线在上的单调递增区间是，所以.所以.所以在上的单调递增区间是.………………13分（20）（本题14分）解：（Ⅰ）因为月份的月平均最高气温最低，月份的月平均最高气温最高，所以最小正周期.所以.所以，.因为，所以.因为月份的月平均最高气温为摄氏度，月份的月平均最高气温为摄氏度，所以，.所以，.所以的解析式是，，为正整数.………………8分（Ⅱ）因为，，为正整数.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.因为某植物在月平均最高气温低于摄氏度的环境中才可生存，且，，所以该植物在1月份，2月份，3月份可生存.又，所以该植物在11月份，12月份也可生存.所以一年中该植物在该地区可生存的月份数是.………………14分（21）（本题16分）解：（Ⅰ）正确；.………………4分（Ⅱ）（i）因为当时，，所以当时，，所以.因为是定义在上的奇函数，所以.所以当时，.设，因为在上单调递减，所以，.所以，.所以，是方程的两个不相等的正数根，即，是方程的两个不相等的正数根.所以，.所以在区间上的“和谐区间”是.同理可得，在区间上的“和谐区间”是.所以的“和谐区间”是和.………………9分（ii）存在，理由如下：因为函数的图象是以在定义域内所有“和谐区间”上的图象，所以若集合恰含有个元素，等价于函数与函数的图象有两个交点，且一个交点在第一象限，一个交点在第三象限.因为与都是奇函数，所以只需考虑与的图象在第一象限内有一个交点.因为在区间上单调递减，所以曲线的两个端点为，.因为，所以的零点是，，或.所以当的图象过