《电工基础及测量》课件第6章

第6章谐振电路与互感电路6.1谐振电路6.2互感电路6.3磁路6.4理想变压器及其电路的计算习题 6.1谐振电路

在第4章第4.5节中讲到RLC串联及并联电路在一定条件下会发生谐振。从电路呈阻性来看，谐振的条件是网络的阻抗或导纳的虚部为零，即

Im［Z］=0或Im［Y］=0

通常采用的谐振电路是由R、L、C组成的串联谐振电路和并联谐振电路。

6.1.1串联谐振

1.串联谐振的条件

RLC串联电路图如图6-1所示。图6-1

RLC串联电路图电路中的阻抗

令Im［Z］=0，则串联谐振的条件是

这样便可通过改变三个参数使电路发生谐振。调节而达到谐振的过程叫做调谐。在实际中一般采用调节电容的方法。(6-1)当L，C一定时，有

或

w0，f0与R无关，完全由电路的参数L，C决定，w0和f0分别称为固有角频率和固有频率。(6-2)

2.串联谐振的特点

(1)谐振时网络的阻抗模最小，当端口电压值一定时，电流最大。

谐振时，X=0，所以网络阻抗

与非谐振时相比较，|Z0|是最小的。

在端口电压U和电阻R一定时，有

与非谐振时相比较，I0是最大的。

(2)电感电压和电容电压可能远大于端口电压。

串联谐振时，网络的感抗与容抗相等。

式中，r叫做特性阻抗，它只与网络的L，C有关，单位为欧姆(W)。

串联谐振时电感电压和电容电压的有效值相等，即

与反相而相互抵消，即 ，所以网络的端口电压就等于电阻电压，即(6-3)串联谐振时，

式中，Q叫做网络的品质因数，它是一个没有量纲的量。

如果r>R，则Q>1，UL0=UC0>U；r越大于1，品质因数Q就越大，UL0=UC0也越大于端口电压，所以串联谐振又叫做电压谐振。

在无线电技术和电信工程中，利用这一特点可以使所接收的微弱信号变强。但在电力工程中，要避免发生或接近发生串联谐振现象，以免出现过电压引起电气设备损坏的现象。(6-4)

3.串联谐振的电流谐振曲线

电流和频率之间的关系曲线称为电流谐振曲线。

RLC串联电路中，电流得电流谐振曲线如图6-2所示。

图中，w0与电流的最大值相对应，称为中心频率，当w偏离w0时，电流值会急剧下降。当电流I下降到I0=0.707I0时，对应的频率分别为w1和w2，分别称为下限截止角频率和上限截止角频率。这两个截止角频率的差值定义为电路的通频带，即

Bw=w2－w1

若以为横坐标，以为纵坐标，以Q为参变量作出的曲线称为通用谐振曲线，如图6-3所示。图6-2电流谐振曲线图图6-3通用谐振曲线图6.1.2并联谐振

1.并联谐振的条件

实际应用中常用到的并联谐振电路是由电感线圈与电容并联形成的，如图6-4(a)所示。图6-4并联谐振电路网络导纳为

令Im［Y］=0，则谐振条件为

谐振角频率(6-5)(6-6)

2.并联谐振的特点

(1)谐振时，网络的阻抗模最大或接近最大。

并联谐振时，导纳

当w0很高时，有w0L

R，Y0的实际数值很小，因而Q的值越大，Y0就越小，因此，在并联谐振时，网络的阻抗模最大或接近最大。

(2)谐振时，支路电流可能远远大于端口电流。

在图6-4(b)中，谐振时线圈电流的无功分量与电容电流相抵消，端口电流等于线圈电流的有功分量。由于高品质因数线圈的wL

R，线圈电流的有功分量远小于其无功分量，线圈电流IRL近似等于电容电流IC，即IC=IRL。所以并联谐振又叫做电流谐振。＞＞＞＞

例6-1有一RLC串联电路，已知R=20W，L=300mH，信号源频率调到800kHz时，回路中的电流达到最大，最大值为0.15mA，试求信号源电压US、电容C、回路的特性阻抗r、品质因数Q及电感上的电压UL0。

解根据谐振电路的基本特征可知，当回路中的电流达到最大时，电路处于谐振状态。由于谐振时，

则电感上的电压为

UL0=QUS=75×3=225mV 6.2互感电路

6.2.1互感及互感电压

两个相邻放置的线圈1和2，其匝数分别为N1和N2，如图6-5所示。图6-5两个线圈的互感当线圈1通以电流i1时，产生自感磁通f11，f11不但与本线圈相交链产生自感磁链y11=N1f11，而且还有部分磁通f21穿过线圈2，并与之交链产生磁链y21=N2f21。这种一个线圈电流的磁场使另一个线圈产生的磁通、磁链，如f21，y21，分别叫做互感磁通、互感磁链。当i1变化时，引起y21变化，根据电磁感应定律，线圈2中便产生了感应电压u21，称为互感电压。同理，线圈2中电流i2的变化也会在线圈1中产生互感电压。这种由一个线圈的交变电流在另一个线圈中产生感应电压的现象叫做互感现象。能够产生互感电压的两个线圈叫做磁耦合线圈。为明确起见，磁通、磁链、感应电压等用双下标表示，第一个下标是该量所在线圈的编号，第二个下标是产生该量的原因所在线圈的编号。

在磁耦合线圈中，如果线圈1的电流为i1，线圈2的互感磁链为y21，那么定义

为磁耦合线圈的互感系数，简称互感。同样，线圈1的互感磁链和产生它的线圈2的电流i2的比值为(6-8)(6-7)可以证明M12=M21=M，互感的大小反映一个线圈的电流在另一个线圈中产生磁链的能力。互感的单位与自感相同，也是亨(H)。

线圈中的互感M不仅与两线圈的匝数、形状及尺寸有关，还和线圈间的相对位置和磁介质有关。当磁介质为非铁磁性介质时，M是常数。注意：本章讨论的互感均为常数。

为了表征两个线圈耦合的紧密程度，通常用耦合系数来表示，耦合系数定义为因为

所以

由于f21≤f

11，f12≤f22，所以

0≤K≤1

如果两个线圈紧密地缠绕在一起，K值近似于1，称为全耦合；若两线圈相距较远，或线圈的轴线相互垂直放置，则K值接近0。如果选择互感电压的参考方向与互感磁通的参考方向符合右手螺旋法则，则根据电磁感应定律，有

即互感电压与产生互感电压的电流的变化率成正比。

当线圈中的电流为正弦电流时，互感电压与引起它的电流是同频率正弦量，它们的相量关系为

式XM=wM称为互感抗，单位为欧姆(W)。(6-10)(6-9)6.2.2同名端

1.同名端的概念

分析线圈自感电压和电流方向关系时，不涉及线圈的绕向，因为当线圈中电流增大时，自感电动势的方向总是与电流的方向相反；当线圈中电流减小时，自感电动势的方向总是与电流的方向一致。

对于两个互感线圈来讲，互感电压的大小与互感磁链的变化率成正比。由于互感磁链是由另一个线圈的电流所产生的，因而互感电压的极性与耦合线圈的实际绕向有关。以图6-6为例来说明。图6-6互感电压的方向与线圈绕向的关系如果两个互感线圈的电流i1和i2所产生的磁通是相互增强的，那么两电流同时流入(或流出)的端钮就是同名端；反之则为异名端。同名端用标记“·”、“*”或“△”标出，另一对同名端不需标记。图6-7为表示耦合电感的电路模型。图6-7耦合电感的电路模型

2.同名端的测定

如果已知磁耦合线圈的绕向及相对位置，同名端便很容易利用其概念进行判定。但是实际磁耦合线圈的绕向一般是看不到的。同名端可以用实验的方法进行判定，其接线如图6-8所示。

当开关S接通的瞬间，线圈1中的电流经图示方向流入且增加，若此时直流电压表指针正偏(往正极性端偏转)，则1，3为同名端。若电压表指针反偏(往负极性端偏转)，则1，4为同名端。

由上述实验可得到以下结论：当随时间增大的电流从一线圈的同名端流入时，会引起另一线圈同名端的电位升高。图6-8测定同名端的实验电路

3.同名端原则

由图6-6可知，当选择一个线圈的电流(如i1)参考方向是从同名端标记端流入时，如果选择该电流在另一线圈中产生的互感电压(u21)的参考正极性也是同名端标记端，则互感电压可按式(6-9)计算。

总之，当选择一个线圈的互感电压与引起该电压的另一个线圈的电流的参考方向对同名端一致的情况下(如图6-9所示)。(6-11)图6-9互感元件的电路符号在正弦交流电路中，互感电压与引起它的电流为同频率的正弦量，当其相量的参考方向满足上述原则时，有

可见，在上述参考方向原则下，互感电压比引起它的正弦电流超前。

例6-2图6-10所示的电路中，已知M=0.025H， ，试求互感电压u21。

解选择互感电压u21与电流i1的参考方向对同名端一致，如图6-10所示。则(6-12)图6-10例6-2图

或

又

故6.2.3互感线圈的串联、并联

1.互感线圈的串联

串联有顺向串联和反向串联两种形式。

(1)顺向串联就是把两个线圈的异名端相连，如图6-11所示。

图中、为自感电压，其参考方向与电流为关联参考方向，、为互感电压，其参考方向与电流的参考方向对同名端一致。根据KVL，有

式中，LS为线圈顺向串联的等效电感。

LS=L1+L2+2M

(6-13)

(2)反向串联就是两个线圈的同名端相连，如图6-12所示。根据KVL，有

式中，LF是线圈反向串联的等效电感。

LF=L1+L2－2M

(6-14)图6-12互感元件的反向串联比较式(6-13)，(6-14)可以看出LS>LF，即当外加相同正弦电压时，顺向串联时的电流小于反向串联时的电流，这也是一种判断同名端的方法。

由式(6-13)和式(6-14)可求出两线圈的互感M为

例6-3将两个线圈串联接到工频220V的正弦电源上，顺向串联时电流为2.7A，功率为218.7W；反向串联时电流为7A，求互感M。

解在正弦交流电路中，当计入线圈的电阻时，互感为M的串联磁耦合线圈的复阻抗为(6-15)

Z=(R1+R2)+jw(L1+L2±2M)(顺向串联时取“+”号，反向串联时取“－”号)

根据已知条件，可知

顺向串联时，由 ，得反向串联时，线圈电阻不变，由

，得

得

2.互感线圈的并联

互感线圈的并联也有两种形式，一种是两个线圈的同名端相连，称为同侧并联，如图6-13(a)所示；另一种是两线圈的异名端相连，称为异侧并联，如图6-13(b)所示。

在图6-13所示的电压、电流参考方向下，可得出如下电路方程:

式中，互感电压前的正号对应于同侧并联，负号对应于异侧并联。求解式(6-16)可得并联电路的等效阻抗为(6-16)图6-13互感线圈的并联

可见，两个互感线圈并联以后的等效电感为

式(6-17)和(6-18)分母中，负号对应于同侧并联，正号对应于异侧并联。

将式(6-16)进行变量代换，整理后得方程(6-18)(6-17)(6-19)式(6-19)中M前的正、负号，上面对应于同侧并联，下面对应于异侧并联。

这样，可用图6-14所示无互感的电路代替图6-13所示的有互感的电路，称其为去耦等效电路。图6-14并联互感线圈的去耦等效电路有时，还会遇到具有互感的两个线圈仅有一端相连，通过三个端钮与外部相连接，如图6-15所示，按图所示的参考方向，可得方程为

上式可化简为

式(6-20)，(6-21)中的正、负号,上面对应于同侧相连,下面对应于异侧相连，如此可得如图6-16所示的去耦等效电路模型。(6-20)(6-21)图6-15一端相连的互感线圈图6-16一端相连的互感线圈去耦等效电路 6.3磁路

6.3.1磁场的基本物理量

1.磁感应强度(B)

磁感应强度B是描述空间某点磁场的强弱和方向的物理量，它是一个矢量。它的大小可用位于该点的通电导体所受磁场作用力F来衡量 。它的方向可根据产生磁场的电流方向，用右手螺旋定则来确定。B的单位为特斯拉(T)。

2.磁通(Φ)

磁通Φ是描述磁场在某一范围内分布情况的物理量。穿过某一截面积S的磁力线的总数就是通过该截面积的磁通Φ。垂直穿过单位面积的磁力线数就反映此处的磁感应强度B的大小。所以磁感应强度B又称为磁通密度。

在各点的磁感应强度大小相等、方向相同的均匀磁场中，存在如下关系:

Φ=BS

(6-22)

式中，磁通Φ的单位是韦伯(Wb)。

3.磁导率(m)

磁导率m又称为导磁系数，是用来衡量物质导磁能力的物理量，其单位是亨利／米(H/m)。自然界的物质，就导磁能力来说，大体可分为磁性材料和非磁性材料两大类。非磁性材料，如铜、铝、空气等，它们的导磁能力很差，磁导率接近于真空的磁导率m0(m0=4p×10－7H/m)，且为一常数。

磁性材料，如铁、钴、镍及其合金，它们的导磁能力很强，磁导率可以是真空磁导率m0的数百、数千乃至数万倍，而且不是一个常数。各种材料的磁导率通常用真空磁导率m0的倍数表示，称为相对磁导率mr，即(6-23)

4.磁场强度(H)

同一通电线圈内的磁场强弱(用磁感应强度B表征)，不仅与所通电流的大小有关，而且与线圈内磁场介质的导磁性能有关。由于不同材料的磁导率不同，而且磁性材料的磁导率不是常数，这就使磁场的分析与计算变得复杂和困难。为了便于磁场的计算，引入一个不考虑介质影响的物理量——磁场强度H，它也是一个矢量，通过它可以表达磁场与电流的关系。以通电环形线圈为例(如图6-17所示)，根据全电流定律 可求出线圈内部各点的磁场强度。

式中，N是线圈的匝数；lx=2px是半径为x的圆周长；Hx为半径x处的磁场强度。式(6-24)中，电流I与线圈匝数N的乘积IN称为磁动势，用F表示。即

F=IN

磁通Φ就是由它产生的，它的单位为安(A)。

磁感应强度B、磁场强度H与磁导率m之间的关系，可用下式表示：

B=mH

(6-25)(6-24)图6-17环形线圈6.3.2铁磁性材料

1.铁磁性材料的磁性能

铁磁性材料是指铁、钴、镍及其合金。它们具有下列磁性能。

(1)高导磁性。铁磁性材料的磁导率很高，μr≥1，可达数百、数千乃至数万之值。它们在外磁场作用下会被磁化而呈现出很强的磁性。

铁磁性材料内部是由许多叫做磁畴的天然磁化区域所组成的。虽然每个磁畴的体积很小，但其中却包含有数亿个分子，每个磁畴中的分子电流排列整齐，因此每个磁畴就构成一个永磁体，具有很强的磁性。在没有外磁场作用时，各个磁畴排列混乱，磁场相互抵消，对外不显示磁性，如图6-18(a)所示。但是，在外磁场作用下，各个磁畴将顺外磁场转向，如图6-18(b)所示，形成一个与外磁场方向一致的磁化磁场，使铁磁材料内的磁感应强度大大增加，呈现出很强的磁性。这种现象称做磁化。图6-18铁磁材料的磁畴与磁化非磁性材料由于没有磁畴结构，所以不具有磁化的特性。

(2)磁饱和性。通过实验可测出铁磁材料的磁感应强度B随外加磁场的磁场强度H变化的曲线(B-H磁化曲线)，如图6-19所示。

磁化曲线Oa段，由于磁畴在外磁场作用下的取向作用,使B随H差不多成正比的增加；在ab段，由于大多数磁畴已与外磁场取向一致了，所以随着H的增加，B的增加变得缓慢；在bc段，由于所有的磁畴都已与外磁场取向一致了，磁化磁场不再增加，使B随H增加得很少，达到了磁饱和。

铁磁材料的磁导率m不是常数，它随H而变化，如图6-20所示。从磁化曲线也可以看出，铁磁性材料中的B与外加磁场的H不是呈线性关系。图6-19磁化曲线图6-20

m与H关系

(3)磁滞性。上面介绍的磁化曲线，只是反映了铁磁材料在外磁场由零逐渐增强的磁化过程。电机、变压器等实用电工设备中，通常是将线圈绕在铁磁材料做成的铁芯上，当线圈通入交变电流(大小和方向都变化)时，铁芯的磁感应强度B随磁场强度H而变化的关系如图6-21所示。当磁场强度H由零增加到+Hm后，如减小到H，此时B并不沿着原来的曲线返回而是沿另一曲线bc下降。当H减小到零时，B并未降到零，存在剩磁。永久磁铁的磁性就是利用剩磁而获得的。只有当H反方向变化到－HC时，B才下降到零。HC称为矫顽磁力。在此过程中，磁感应强度B的变化总是滞后于磁场强度H的变化，这种现象称为磁滞现象。图6-21磁滞回线

2.交变磁化时的铁芯损耗

交变磁化时的铁芯损耗可分为磁滞损耗和涡流损耗两种。

(1)磁滞损耗。磁滞现象使铁磁材料在交变磁化过程中产生磁滞损耗，它是由于铁磁材料内部小磁畴在交变磁化过程中来回转向，相互牵连摩擦引起发热所损耗的能量。研究证明，交变磁化一周，在单位体积铁芯内所产生的磁滞损耗与磁滞回线所包围的面积成正比。软磁材料的磁滞损耗小，适于做交流电气设备的铁芯。

(2)涡流损耗。铁磁材料在交变磁化的过程中还有另一种损耗——涡流损耗。铁磁材料不仅是导磁材料，同时又是导电材料。当铁芯中的磁通发生变化时，在铁芯中会产生感应电动势和感应电流。这种感应电流在垂直于磁力线的平面内，呈涡旋状分布，因而称为涡流，如图6-22(a)所示。涡流在铁芯的电阻上引起的功率损耗称为涡流损耗。

涡流损耗也会引起铁芯发热。为了减小涡流损耗，在顺磁力线的方向上，用彼此绝缘的硅钢片叠成铁芯，如图6-22(b)所示。采用这种办法可将涡流限制在较小的截面内流通,加上硅钢的电阻率较大，使得涡流及涡流损耗大大减小。图6-22铁芯中的涡流6.3.3磁路及磁路欧姆定律

为了使较小的励磁电流能产生足够强的磁场，在电机、变压器和电磁铁等设备中，通常是将线圈绕在铁芯上。例如在图6-23中，当线圈通入电流后，由于铁芯磁导率比周围空气或其他非磁性材料的磁导率要高得多，因此磁通的绝大部分都集中在铁芯内，沿铁芯形成闭合通路。这部分磁通Φ称为主磁通。磁通的路径称为磁路。除此之外，另有很少一部分磁通通过铁芯以外非磁性材料而闭合，称为漏磁通。图6-23磁路磁路的分析和计算与电路的分析和计算一样，也要用到一些基本定律，其中最基本的是磁路欧姆定律。以图6-23所示无分支磁路为例，假设磁路是由同一种铁磁材料构成的，其截面积为S，平均长度为l。由于磁通的连续性，通过铁芯各处的磁通相同。根据全电流定律

得出 Hl=IN

将 及 代入得则

式(6-26)与电路的欧姆定律在形式上很相似，所以称为磁路欧姆定律。

图6-24所示的铁芯存在着一个很小的空气隙l0，根据磁路欧姆定律有(6-26)图6-24有空气隙的磁路 6.4理想变压器及其电路的计算

变压器是一种利用互感耦合实现能量传输和信号传递的电气设备。它通常由两个互感线圈组成，一个线圈与电源相连接，称为初级线圈；另一个线圈与负载相连，称为次级线圈。

理想变压器是一种特殊的无损耗、全耦合变压器。理想变压器应当满足下列三个条件：

(1)变压器本身无损耗；

(2)耦合系数 ，即全耦合；

(3)L1、L2和M均为无限大，但等于常数。理想变压器的电路符号如图6-25所示，为使实际变压器的性能接近理想变压器，工程实际中常采用两方面措施，一方面是尽量采用有高导磁率的铁磁材料作为芯子；另一方面是尽量紧密耦合。图6-25理想变压器的电路等号

1.理想变压器的变压作用

图6-26所示为一铁芯变压器示意图，N1，N2分别为初、次级线圈的匝数。由于铁芯的导磁率很高，一般可认为磁通全部集中在铁心中。若铁芯磁通为f，则根据电磁感应定律，有

所以得理想变压器的变压关系为

n称为变比，是一个常数。(6-27)图6-26铁芯变压器示意图

2.理想变压器的变流作用

理想变压器的简化电路如图6-27所示。

可得端电压相量式为

因为K=1，即 ，则

由式(6-31)得(6-28)(6-29)(6-30)(6-31)(6-32)图6-27理想变压器的简化电路将(6-30)，(6-32)式联立，求得

式(6-33)为理想变压器的变压关系式。

由(6-30)式可得

由于L1→∞，因而

式(6-34)为理想变压器的变流关系式。(6-34)(6-33)

3.理想变压器的阻抗变换

图6-28(a)所示电路中，若在次级接负载ZL，这时从初级看进去的输入阻抗为

式(6-35)说明，接在变压器副边的负载阻抗ZL，反映到变压器原边的等效阻抗是n2ZL，扩大了n2倍，这就是变压器的阻抗变换作用，其等效电路如图6-28(b)所示。(6-35)图6-28理想变压器变换阻抗的作用

例6-4电路如图6-29(a)所示，如果要使5W电阻能获得最大功率，试确定理想变压器的变比n。

解已知负载ZL=5W，故次级对初级的折合阻抗

Z'L=n2ZL=n2×5

电路可等效为图6-29(b)，由最大功率传输条件可知，当n2×5等于电压源的串联电阻时，负载可获得最大功率，所以

n2×5=500

可解得变比n=10。图6-29

习题

6.1一收音机接收线圈的R=20W，L=250mH，调节电容C收听频率为720Hz的中央台，输入回路可视为一RLC串联电路，问这时的电容值为多少？回路的品质因数Q为多少？

6.2在RLC串联电路中，R=16W，L=0.4mH，C=600pF。试求：

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