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文档简介
第4章正弦交流电路4.1正弦量的基本概念
4.2正弦量的相量表示法
4.3电阻元件的交流电路
4.4电感元件的交流电路
4.5电容元件的交流电路
4.6电阻、电感与电容元件串联*4.7GCL并联电路和复导纳第4章正弦交流电路*4.8正弦交流电路的计算
4.9正弦交流电路的功率
4.10功率因数的提高
4.11三相电路应用与训练本章小结习题四交流发电机所产生的电动势和正弦信号发生器所输出的信号电压,都是随时间按正弦规律变化的,是常用的正弦电源。在生产上和日常生活中所用的交流电,一般都是正弦交流电。因此,正弦交流电路是电路基础中很重要的一个部分。本章介绍正弦交流电路的一些基本概念、基本理论和基本分析方法。
分析与计算正弦交流电路,主要是确定不同参数和不同结构的各种电路中电压与电流之间的关系和功率。交流电路具有用直流电路的概念无法理解和无法分析的物理现象,因此在学习本章的时候,必须建立交流的概念,否则容易引起错误。
学习任务:
(1)识别正弦波形,并测量其特性;
(2)确定正弦波的周期、频率和角频率,了解周期和频率及角频率之间的关系;
(3)确定正弦波的电压值与电流值;
(4)描述正弦波的角度关系。4.1正弦量的基本概念
获取能力:
(1)掌握正弦量的三要素以及相位差的概念;
(2)能写出正弦波的函数表达式,并能根据表达式描述正弦量的变化规律;
(3)掌握正弦量的幅值、有效值及平均值;
(4)正确使用信号源、功率表、毫伏表等交流电路的测量仪器。4.1.1正弦电流与电压
大小随时间变化而方向不变的电流、电压,称为脉动电流和脉动电压,其波形如图4-1-1(a)和(b)所示。大小和方向都随时间作周期性变化的电流、电压,称为周期电流和周期电压,其波形如图4-1-1(c)所示。在一个周期内的数学平均值等于零的周期量,称为交变量交流电。交流电的变化按正弦规律变化的交流电流和电压称为正弦量(sinusoid),其波形如图4-1-1(d)所示。
图4-1-1各种电流、电压波形正弦波是交流电流与交流电压的基本类型。电力系统提供的就是正弦波形式的电压和电流。另外,其他类型的重复性波形是由多种称为谐波的正弦波组成的。正弦量可用正弦函数表示,也可用余弦函数表示,本书用正弦函数表示正弦量。图4-1-2显示的是一般形状的正弦波形,这个正弦波既可以是交流电流也可以是交流电压。坐标的垂直轴显示电压(或电流),水平轴显示时间。应注意电压(或电流)是如何变化的。由零点开始,电压(或电流)增长到正向最大值(峰值),返回到零,然后再负向增长到负向最大值(峰值),并返回到零,由此完成了完整的一周。由于正弦电压(或电流)是周期性变化的,在电路图上所标的方向是指它们的参考方向,即代表正半周时的方向。在负半周时,由于所标的参考方向与实际方向相反,则其值为负。图中的虚线箭头代表电流的实际方向; 、 代表电压的实际方向(极性)。
图4-1-2正弦电压和电流4.1.2正弦量的三要素
正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面,而它们分别由角频率(频率或周期)、幅值(或有效值)和初相位来确定。因此角频率、幅值和初相位称为确定正弦量的三要素。
1.角频率、频率和周期
正弦波完成完整一周所需的时间称为周期T,单位为秒(s)。每秒内变化的次数称为频率f,它的单位是赫兹(Hz)。
周期和频率互为倒数的关系,即
在我国和大多数国家都采用50Hz作为电力标准频率,有些国家(如美国、日本等)采用60Hz。50Hz频率在工业上应用广泛,习惯上称为工频。通常的交流电动机和照明负载都用工频。在其它各种不同的技术领域内使用各种不同的频率。
正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外,还可用角频率w来表示。因为一周期内经历了2p弧度(见图4-1-2),所以角频率为
它的单位是弧度/秒(rad/s)。上式表示T、f、w三者之间的关系,只要知道其中之一,则另两者即可求出。
例4-1-1
图4-1-3所示正弦波的周期、频率和角频率是多少?
解如图所示,1s内完成了4周,则其频率为4Hz,完成一周的时间为0.25s,即周期T为0.25s,则角频率为
图4-1-3例4-1-1用图2.幅值与有效值(均方根值)
正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值,用小写字母来表示,如i、U及e分别表示电流、电压及电动势的瞬时值。瞬时值中最大的值称为幅值(峰值或最大值),用带下标m的大写字母表示,如Im、Um及Em分别表示电流、电压及电动势的幅值。
图4-1-2所示是正弦电流的波形,它的数学表达式为
i=Imsinwt
工程上用来衡量周期性交流电大小的物理量称为有效值(effectivevalue)。它是用周期电流通过电阻产生的热效应来定义的。设周期电流i和恒定电流I通过同样大小的电阻R,如果在周期电流i的一个周期时间内,两个电流产生的热量相等,就平均效应而言,二者的作用是相同的,该恒定电流I称为周期电流i的有效值。有效值都用大写字母表示,和表示直流的字母一样。对正弦量则有
或
即正弦量的最大值是有效值的 倍,有效值是最大值的 。因此,引入有效值后,它可以代替最大值作为正弦量的三要素之一。
一般所讲的正弦电压或电流的大小(例如交流电压380V或220V)都是指它的有效值。常用的交流测量仪表指示的读数、电气设备的额定值都是指有效值。但各种器件和电气设备的耐压值则按最大值来考虑。
工程上有时还用到平均值(averagevalue)这一概念。取正弦波完整的一周时,正弦波的平均值总是为零,因为正值(零以上)与负值(零以下)相抵消。为了比较及确定如供电中常用的可调电压的平均值,正弦波的平均值指的是周期量的绝对值在一个周期内的平均值。对于正弦波电压和电流,以峰值表示的平均值如下:
Iav=0.637Im
Uav=0.637Um
用来测量交流电压、电流的全波整流系仪表,其指针的偏转角与所通过电流的平均值成正比,而标尺则是按有效值来刻度的,二者的关系为
3.初相位
正弦量是随时间而变化的,要确定一个正弦量还需从计时起点(t=0)上看。所取的计时起点不同,正弦量的初始值(t=0时的值)就不同,到达幅值或某一特定值所需的时间也就不同。
正弦量可用下式表示为
i=Imsinwt
其波形如图4-1-2(a)所示。它的初始值为零。
正弦量也可用下式表示为
i=Imsin(wt+j)
其波形如图4-1-4所示。这种情况下,初始值i0=Imsinj,而不等于零。
上面两式中的角度wt和wt+j称为正弦量的相位角或相位,它反映出正弦量变化的进程。当相位角随时间连续变化时,正弦量的瞬时值随之作连续变化。
t=0时的相位角称为初相位角或初相位。上面两式中的初相位分别为零和j。因此,所取计时起点不同,正弦量的初相位不同,其起始值也就不同。如图4-1-5所示波形,e1、e2初相位分别为-30°、30°。
图4-1-4初相位不为零的正弦波形图4-1-5频率相同而初相位不同的正弦量初相位的单位可以用度或弧度表示,通常在-p≤
j≤p的范围内取值。初相位的大小和正负与计时起点的选择有关。对任一正弦量,初相位可以任意指定,但对一个电路中的多个相关的正弦量,它们只能相对于一个共同的计时起点确定各自的相位。
如果把正弦波形从负值变为正值,与横轴的交点叫做零点,则从图4-1-6中可看到,对正弦量i(t)=Imsin(wt+j),图(a)中j=0,图(b)中j>0,图(c)中j<0。
图4-1-6初相位比较两个正弦量主要取决于其三要素。
在一个正弦交流电路中,电压U和电流i的频率是相同的,但初相位不一定相同,如图4-1-7(a)所示。图4-1-7(a)中电压U和电流i的波形可用下式表示:
u=Umsin(wt+ju)
i=Imsin(wt+ji)
电压U和电流i的初相位分别为ju和ji。
图4-1-7相位差两个同频率正弦量的相位角之差或初相位角之差,称为相位角差或相位差,它描述了两个正弦量之间变化进程的差异(用y表示),则图4-1-7(a)中电压U和电流i的相位差为
y=(wt+ju)-(wt+ji)=ju-ji
可见,两个同频率正弦量的相位差仅与它们的初相有关,且任一时刻都是一个常数,而与时间无关。如果同频率的正弦量u与i的相位差y=ju-ji>0,则认为U的变化领先于i,称电压u超前电流i,或称i滞后u;若y=ju-ji<0,则U滞后i,或称i超前u。
如果y=ju-ji=0,称电压u与电流i同相,如图4-1-7(b)所示;如果y=ju-ji=±p/2,称电压u与电流i正交,如图4-1-7(c)所示;如果y=ju-ji=±p,称电压u与电流i反相,如图4-1-7(d)所示。
由于相位差与计时起点的选择无关,因而根据问题的需要,对于若干个同频率的正弦量来说,我们可以选择计时起点,使其中任一个的初相为零,我们称为参考正弦量,而其他正弦量的初相则分别根据它们与参考正弦量的相位差来确定。
例4-1-2
在某电路中,
,求这两个电流的频率、周期、角频率、幅值、有效值、初相位及它们之间的相位关系。
解
I1m=141mA,
w1=w2=628rad/s,
则有
因为y<0,所以i1滞后i1
rad,或i2超前i2
rad。
4-1-1i1=15sin(100pt+45°)A,i2=10sin(200pt-30°)A,两者相位差为75°,是否正确?
4-1-2根据本书规定的符号,写成I=15sin(314t+45°)A,i=Isin(wt+j),是否正确?
4-1-3已知某正弦电压在t=0时为220V,其初相位为45°,则它的有效值是多少?
4-1-4如果两个同频率的正弦电流在某一瞬时都是5A,两者是否一定同相?其幅值是否也一定相等?思考与练习
学习任务:
(1)学习如何用复数表示正弦量的大小和相位;
(2)运用复数的运算规则计算正弦量;
(3)了解基尔霍夫定律的相量形式。
获取能力:
(1)掌握用相量图和相量式表示正弦量;
(2)学会利用复数的运算分析电路中的正弦量。4.2正弦量的相量表示法4.2.1正弦量的相量表示法
如上节所述,一个正弦量具有幅值、频率及初相位三个特征。而这些特征可以用一些方法表示出来,如4.1节所用的三角函数式和波形。除此之外,正弦量还可用相量表示。相量表示法的基础是复数,就是用复数来表示正弦量。正弦量的各种表示方法是分析与计算正弦交流电路的工具。利用相量对正弦稳态电路进行分析计算的方法称为相量法。相量的运算方法就是复数的运算方法,因此先对复数的有关知识作一简单介绍。设A为一复数,a和b分别为复数的实部和虚部,其代数形式为
A=a+jb
式中,j=-1为虚数单位,取复数A的实部和虚部分别用下列符号表示:
Re[A]=a,Im[A]=b
复数A可以用复平面上的一条有向线段来表示,如图4-2-1所示。由图4-2-1可得复数A的三角形式为
A=rcosq+jrsinq=r(cosq+jsinq)
图4-2-1复数的表示式中,r为复数的模,q为复数的辐角。r和q与a和b的关系为
a=rcosq,
b=rsinq
由欧拉公式
ejq=cosq+jsinq
可得复数A的指数形式为
A=rejq
指数形式常简写成极坐标式
A=r∠q
在计算中,复数的相加和相减用代数形式进行,可用解析法或图解法求解。
例如,已知A1=a1+jb1,A2=a2+jb2,则
A1±A2=(a1+jb1)±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2)
用图解法求解复数相加和相减的示意图如图4-2-2所示。
复数的乘除运算常用指数形式或极坐标形式。如设A1=r1∠q1,A2=r2∠q2,如果两复数相乘,则有
A1
A2=r1∠q1·r2∠q2=r1·r2∠(q1+q2)
图4-2-2图解法
如果两复数相除,则有
设某一正弦电流为
i=Imsin(wt+ji)
如果某复数Imejq中的辐角q=wt+ji,则
就是一个复指数函数,根据欧拉公式可展开为
上式的虚部恰好为正弦电流i,即
这样就将正弦电流与复指数函数联系起来,为用复数表示正弦量开辟了途径。一个正弦量是由最大值、角频率和初相位三个要素所决定的。在线性电路中,如果有多个激励且为同一频率的正弦量,由叠加定理可知,电路中全部稳态响应都将是同一频率的正弦量。这样,在正弦稳态响应的三要素中,只要确定它们的最大值和初相位两个因素即可。
我们将i=Imsin(wt+ji)写成
式中,复常数 ,其中模Im是正弦电流的最大值,辐角ji是正弦电流的初相,它们是正弦量的两个要素;ejwt称为旋转因子,它是以模等于1,初相为零,并以角速度w逆时针旋转的因子。 称为电流相量。为了将相量(表示正弦量的复数)与一般复数相区别,在符号Im上加“·”。如把它表示在复平面上,则称为相量图,如图4-2-3所示。
图4-2-3相量图同样地,正弦电压也可表示为
式中, ,称为电压相量。
正弦量与相量之间有着简单的对应关系,只要知道了正弦量,就可方便地写出它的相量;反之,知道了正弦量的相量(频率一定),也可方便地写出它所表示的正弦量。如以正弦电流为例,这种对应关系如下:
注意:用相量表示正弦量,并不是相量等于正弦量。相量必须乘以旋转因子ejwt再取虚部才等于正弦量。相量法只适用于正弦稳态电路的分析计算。
相量也可以用有效值来定义,即
式中, 和 分别称为电流和电压的有效值相量。相应地, 和 分别称为电流和电压的最大值相量,它们的关系为
图4-2-4例4-2-1的相量图
例4-2-1
已知正弦电压
,
,写出它们的有效值相量,并绘出相量图。
解
U1m=311V,U2m=537V
则
U1=220V,U2=380V
所以
相量图如图4-2-4所示。
例4-2-2
已知正弦量的相量为 ,频率f=50Hz,写出正弦量的解析式。
解
f=50Hzw=2pf≈2×3.14×50=314rad/s
则
4.2.2用相量法求同频率正弦量的和
在正弦电路中,电压、电流、电动势等物理量都呈正弦规律变化。分析正弦电路时,经常需要将这些正弦量进行加、减运算。若利用三角函数公式进行运算,则过程很麻烦,运算量非常大。用相量法求同频率正弦量的代数和,是把复杂的三角函数的计算通过简单的复数计算来实现,大大简化了计算过程。其理论依据是:
(1)同频率的两个正弦量相加,得到的仍然是一个同频率的正弦量(证明略)。
(2)正弦量和的相量等于各正弦量相量的和(证明略)。
例4-2-3
已知u1=2202sinwtV,u2=2202sin(wt-120°)V,求u=u1-u2。
解将瞬时量用相量来表示:
所以
u=u1-u2=3802sin(wt+30°)V
也可以用相量图来求同频率正弦量的代数和。用相量图求同频率的正弦量的代数和时,应遵循矢量运算法则。为方便计算,相量的始端不一定都画到原点。
用相量图求解例4-2-3,结果与复数计算的结果相同,见图4-2-5。图中,求 的差是通过
的和来完成的。
图4-2-5用相量图求解例4-2-34.2.3基尔霍夫定律的相量形式
由以上内容可知,若同频率正弦量i1、i2和i3满足关系式
i1+i2+i3=0
则i1、i2和i3对应的相量1、2和3也满足关系式
如果i1、i2和i3是正弦交流电路中某节点的所有支路电流,则各支路电流相量的代数和恒等于零,即
同理,对电路中任一回路,所有电压相量的代数和为零,即
以上两式即是正弦交流电路中基尔霍夫定律的相量形式。
4-2-1什么是相量?相量和它所代表的正弦量之间有怎样的关系?
4-2-2指出下列各式的错误:
(1)i=5sin(wt-30°)=5e-j30°A
(2)U=100ej45°=100
sin(wt+45°)V
(3)i=10sinwt
(4)I=10∠30°A
(5)思考与练习
4-2-3图4-2-6所示电路中,i1=8sin(wt+60°)A,i2=6sin(wt-30°)A,求i,并画出相量图。
图4-2-6题4-2-3图
学习任务:
(1)交流电路中电阻元件电压和电流之间的关系及其相量式;
(2)交流电路中电阻元件的功率。4.3电阻元件的交流电路
获取能力:
(1)掌握交流电路中电阻元件电压和电流之间大小和相位关系,并能准确写出相量式;
(2)理解交流电路中电阻元件的瞬时功率和平均功率,并能正确计算功率。
分析各种正弦交流电路,不外乎要确定电路中电压与电流之间的关系(大小和相位),并讨论电路中能量的转换和功率问题。分析交流电路时,我们必须首先掌握单一参数(电阻、电感、电容)元件电路中电压与电流之间的关系,因为所有的电路无非是一些单一参数元件的组合而已。
本节首先分析电阻元件的正弦交流电路。4.3.1电阻元件的电压与电流
设电阻元件中电流和电压的参考方向如图4-3-1所示。设通过电阻中的正弦交流电流为
iR=Imsin(wt+ji)
则由欧姆定律有
UR=RImsin(wt+ji) (4-3-1)
显然,电压U与电流i是同频率的正弦量,图4-3-2是u和i的波形图。把U写成正弦量的一般形式
U=Umsin(wt+ju) (4-3-2)
图4-3-1电阻元件
比较式(4-3-1)和式(4-3-2)可得
(4-3-3)
即电阻元件电路中,电压与电流的大小关系与欧姆定律形式相同,且电压和电流是同相的(相位差y=0)。
图4-3-2电阻元件电压、电流的波形如用相量表示电压与电流的关系,则为
(4-3-4)
此即欧姆定律的相量表示式。其相量图如图4-3-3所示。
图4-3-3电阻元件电压、电流的相量图4.3.2电阻元件的功率
知道了电压与电流的变化规律和相互关系后,便可计算出电路中的功率。在任意瞬间,电压瞬时值与电流瞬时值的乘积称为瞬时功率,用小写字母p表示。
设电阻元件上通过的电流为
iR=IRmsinwt
在关联的参考方向下电压与电流同相,则电压可表示为
uR=uRmsinwt
则瞬时功率为
(4-3-5)由式(4-3-5)可绘出瞬时功率的曲线,见图4-3-4。从图中可看出,电阻元件的瞬时功率以2倍电流的频率随时间作周期性的变化,其值始终大于或等于零。这说明电阻元件是耗能元件,在正弦交流电路中,除了电流为零的瞬间,电阻元件总是吸收功率的,也就是说,电阻元件从电源取用电能而转化为热能,这是一种不可逆的能量转换过程。通常用下式计算电能:
W=Pt式中P是一个周期内电路消耗电能的平均值,即瞬时功率的平均值,称为平均功率。在电阻电路中,平均功率为
上式的形式与直流电路中功率的计算公式相同,只是上式中的电压、电流均为交流量的有效值。电阻元件的平均功率又称为有功功率。
图4-3-4电阻元件电压、电流和瞬时功率的波形
例4-3-1
设电阻元件电压、电流的参考方向关联,已知电阻R=100W,通过电阻的电流iR=1.414sin(wt+30°)A。
(1)求电阻元件的电压UR及uR;
(2)求电阻消耗的功率;
(3)画相量图。
解由iR=1.414sin(wt+30°)A有R=1∠30°A则
UR=100V
相量图如图4-3-5所示。图4-3-5例4-3-1的电压、电流相量图
4-3-1把一个100W的电阻元件接到频率为50Hz,电压有效值为10V的正弦电源上,则电流是多少?如保持电压值不变,而电源频率改为5000Hz,这时电流将为多少?
4-3-2正弦电压U=300sin(314t+150°)V加于100W的电阻两端,用相量法求电阻中的电流i,并计算电阻消耗的功率。
4-3-3为什么电阻元件的正弦电压和电流同相?它们的初相一定为零吗?思考与练习
学习任务:
(1)交流电路中电感元件电压和电流之间的关系及其相量式;
(2)交流电路中电感元件的功率。
获取能力:
(1)理解感抗的概念及感抗与频率的关系;
(2)掌握交流电路中电感元件电压和电流之间大小和相位关系,并能准确写出相量式;
(3)理解交流电路中电感元件的瞬时功率、有功功率和无功功率,并能正确计算功率。4.4电感元件的交流电路4.4.1电感元件的电压与电流
设电感元件电压和电流的参考方向关联,如图4-4-1所示,当通过电感元件L的电流为
iL=ILmsin(wt+jiL)
则L两端产生的电压
图4-4-1电感元件式中,
ULm=wLILm(或UL=wLIL)
juL=jiL+90°
以上结果表明,电压uL和电流iL是同频率的正弦量,并且电压UL超前电流iL的相位为90°,即juL=jiL+90°,它们的最大值或有效值之间的关系为ULm=wLILm或UL=wLIL,它们有类似欧姆定律的关系。图4-4-2为电压、电流的波形图。
图4-4-2电感元件电压、电流波形电感元件两端的电压与通过它的电流有效值的比,反映了电感元件对电流的阻碍作用的大小,叫做电感元件的感抗,用XL表示,即
它具有与电阻相同的量纲,单位也是W(欧姆)。XL与频率成正比,表明电感在高频情况下有较大的感抗。当w→∞时,XL→∞,电感相当于开路;当w=0时(即直流电路中),XL=0,电感相当于短路。图4-4-3所示为XL随w变化的曲线,称为XL的频率特性曲线。应该注意,感抗只是电压与电流的幅值或有效值之比,而不是它们的瞬时值之比。
如用相量表示电压与电流的关系,则为
或
上式表示电压的有效值等于电流的有效值与感抗的乘积,在相位上电压比电流超前90°,其相量图如图4-4-4所示。
图4-4-3感抗的频率特性图4-4-4电感元件电压、电流相量图4.4.2电感元件的功率
设电感元件上通过的电流(初相为零)为
iL=ILmsinwt
在关联方向下其端电压超前电流90°,故电压可表示为
uL=ULmsin(wt+90°)
则电感元件的瞬时功率
可见,电感元件的功率也是时间的正弦函数,其频率为电流频率的2倍,且可绘出瞬时功率的曲线,见图4-4-5。
从图中可见,在第一个1/4周期内,电压、电流均为正值,即它们的实际方向相同,因此,瞬时功率为正值,说明电感元件吸收功率,把外电路供给的能量转变为磁场能量储存起来。在第二个1/4周期内,电流为正值,而电压为负值,即电压、电流的实际方向相反,瞬时功率为负值,说明此时电感元件输出能量,即把储存的磁场能量释放出来。以后的过程与此类似。随着电压、电流的交变,电感元件不断地进行能量的“吞吐”。
图4-4-5电感元件电压、电流和瞬时功率的波形瞬时功率在电流的一个周期内的平均值(即平均功率)为
平均功率为零,说明电感元件不消耗能量,它是一个储能元件。
瞬时功率的最大值反映了电感元件吞吐能量的规模,我们称之为无功功率,用QL表示,即
QL=ULIL
将UL=ILXL代入上式,可得到
上式为电感元件无功功率的计算公式,其数学形式与电阻元件有功功率的计算公式相同。
为区别于有功功率,无功功率的单位为var(乏),1var=1V×1A。
电感元件不消耗能量,其感抗能限制交变电流,因此常用电感线圈作限流器、高频扼流圈等。
例4-4-1
电感线圈的电感L=0.0127H(电阻可忽略不计),接工频f=50Hz的交流电源,已知电源电压U=220V。
(1)求电感线圈的感抗XL、通过线圈的电流IL、线圈的无功功率QL和最大储能WLm;
(2)设电压的初相juL=30°,且电压、电流的参考方向关联,画出电压、电流的相量图;
(3)若频率f=5000Hz,线圈的感抗又是多少?
解
(1)
XL=wL=2pfL=2×3.14×50×0.0127=4W
QL=ULIL=220×55=12100var
(2)
jiL=jUL-90°=30°-90°=-60°
则
电压、电流的相量图见图4-4-6。
图4-4-6例4-4-1电压、电流相量图
(3)若频率f=5000Hz,则感抗为
XL=2pfL=2×3.14×5000×0.0127=400W
4-4-1指出下列各式哪些是对的,哪些是错的。
思考与练习4-4-2在图4-4-1的电感元件的正弦交流电路中,L=100mH,f=50Hz。
(1)已知iL=72sinwtA,求电压UL;
(2)已知L=157∠-30°V,求,并画出相量图。
学习任务:
(1)交流电路中电容元件电压和电流之间的关系及其相量式;
(2)交流电路中电容元件的功率。
获取能力:
(1)理解容抗的概念,掌握容抗与频率的关系;
(2)掌握交流电路中电容元件电压和电流之间大小和相位关系,并能准确写出相量式;
(3)理解交流电路中电容元件的瞬时功率、有功功率和无功功率,并能正确计算功率。4.5电容元件的交流电路4.5.1电容元件的电压与电流
设电容元件电压、电流的参考方向关联,如图4-5-1所示,其两端电压为
UC=UCmsin(wt+juC)
则通过C的电流为
=wCUCmsin(wt+juC+90°)=ICmsin(wt+jiC)
图4-5-1电容元件式中
上式表明,电容元件在正弦交流电路中,电流iC和电压UC是同频率的正弦量,iC和UC的波形如图4-5-2所示。电流iC超前电压UC的相位为90°,即jiC=juC+90°,它们之间大小关系为IC=wCuC,同样有类似欧姆定律的关系。
图4-5-2电容元件电压、电流的波形电容元件两端的电压与通过它的电流有效值的比,反映了电容元件对电流的阻碍作用的大小,叫做电容元件的容抗,用XC表示,即
容抗同样具有与电阻相同的量纲,单位也是W(欧姆)。XC与频率成反比,当频率w→∞时,XC→0,电容相当于短路;当w=0(即直流)时,XC→∞,电容相当于开路,此即电容的隔直性能。对于给定的电容元件(即参数C一定),容抗XC的频率特性曲线如图4-5-3所示。
如用相量表示电压与电流的关系,则为
或
其相量图如图4-5-4所示。
图4-5-3容抗的频率特性图4-5-4电容元件电压、电流的相量图4.5.2电容元件的功率
知道了电压和电流的变化规律与相互关系后,便可找出瞬时功率的变化规律,如电容元件电流的初相为零,即
iC=ICmsinwt
在关联方向下其端电压滞后电流90°,故电压可表示为
uC=UCmsin(wt-90°)=-UCmsin(wt+90°)
则电容元件的瞬时功率
显然,电容元件的瞬时功率同样是以2倍(电流的)频率随时间变化的正弦函数。可绘出瞬时功率的曲线,见图4-5-5。
图4-5-5电容元件电压、电流和瞬时功率的波形从图中可看出,在第一个1/4周期,电流为正值,而电压为负值,即电压、电流的实际方向相反,瞬时功率也为负值,说明电容元件输出功率,把在此之前储存于电场中的能量释放出来。第二个1/4周期,电压、电流均为正值,即它们的实际方向相同;瞬时功率也为正值,说明电容元件吸收功率,把外电路供给的能量又变成电场能量加以储存。以后的过程与此类似。随着电压、电流的交变,电容元件不断地进行能量的“吞吐”。把电容和电感两种元件的瞬时功率曲线加以比较,可以发现,如果它们通过的电流同相,则当电容吸收能量时,电感在释放能量。瞬时功率在一个周期内的平均值,即平均功率为
同电感一样,电容元件的平均功率也为零,它不消耗能量,也是一个储能元件。
正弦交流电路中电容元件吞吐能量的规模也用无功功率来衡量。电容元件的无功功率用QC表示。为了反映同一正弦交流电路中电容和电感在能量“吞吐”方面的相反作用,电容的无功功率定义为瞬时功率最大值的相反数,即
此式即为电容元件无功功率的计算公式。这里,负号是无功功率的标志,用以区别电感的无功功率。
例4-5-1
电容元件的电容为C=100mF,接工频f=50Hz的交流电源,已知电源电压 。
(1)求电容元件的容抗XC和通过电容的电流iC,并画出电压、电流的相量图;
(2)求电容的无功功率QC和iC=0时电容的储能WC。
解
(1)电容的容抗
电容的电流
所以
电压、电流的相量图见图4-5-6。
图4-5-6电压、电流相量图
(2)无功功率
QC=-UCIC=-UIC=-220×6.9=-1518var
由于电容的电压与电流正交(即相位差90°),当电流iC=0时,电压UC恰为正或负的最大值,故此时电容的储能为
4-5-1把一个25mF的电容元件接到频率为50Hz,电压有效值为10V的正弦电源上,则电流是多少?如保持电压值不变,而电源频率改为5000Hz,这时电流将为多少?
4-5-2通过100mF电容的正弦电流i=200sin(5000t-45°)mA,求:
(1)电容两端的电压;
(2)电容的无功功率;
(3)电流为零的瞬间电容储存的能量。思考与练习
学习任务:
(1)正弦交流电路中,电阻、电感与电容元件串联时,电压和电流之间的关系及其相量式;
(2)交流电路中的复阻抗。4.6电阻、电感与电容元件串联的交流电路
获取能力:
(1)掌握正弦交流电路中,电阻、电感与电容串联连接时,各元件电压、电流的相位关系及相量形式;
(2)掌握复阻抗的定义、复阻抗的模及辐角的计算;
(3)理解电路的特性与辐角的关系;
(4)理解电压三角形与阻抗三角形的关系。4.6.1电阻、电感与电容串联电路
电阻R、电感L、电容C的串联电路如图4-6-1(a)所示,设各元件电压UR、UL、UC的参考方向均与电流的参考方向关联,由KVL得
u=uR+uL+uC
(4-6-1)
图4-6-1RLC串联电路及其相量模型由于都是线性元件,因此各电压uR、uL和uC以及电路端电压U、端电流i都是同频率的正弦量,故各电压和电流都可以用相量表示,如图4-6-1(b)所示。于是有
(4-6-2)
其中(4-6-3)
由于电阻上电压与电流同相,电感电压超前于电流90°,电容电压滞后于电流90°。若以电流相量为参考相量,即 ,绘出电压、电流的相量图如图4-6-2所示。图中 与
组成一个直角三角形,称为电压三角形,其中yZ=ju-ji为电压超前于电流的相位差。
图4-6-2RLC串联电路的电压、电流相量图通过电压三角形得到
(4-6-4)
当UL-UC>0,即UL>UC时,yZ>0,电压超前于电流,电路呈电感性,如图4-6-2(a)所示。当UL-UC<0,即UL<UC时,yZ<0,电压滞后于电流,电路呈电容性,如图4-6-2(b)所示。
当UL-UC=0,即UL=UC时,yZ=0,电压与电流同相,电路呈电阻性,如图4-6-2(c)所示。
将式(4-6-3)中各元件电压、电流的相量形式代入式(4-6-2),得
(4-6-5)
其中,X=XL-XC称为电路的电抗。这就是RLC串联电路VCR的相量形式。4.6.2复阻抗
1.复阻抗的定义
在关联参考方向下,正弦交流电路中任一线性无源单口的端口电压相量 与电流相量的比称为该单口的复阻抗,用Z表示,即
(4-6-6)
显然,复阻抗也是一个复数,但它不再是表示正弦量的复数,因而不是相量。在电路图中用电阻的图形符号表示复阻抗,见图4-6-3。
图4-6-3复阻抗的电路符号
1)复阻抗的模——阻抗
由式(4-6-6)知,复阻抗的模|Z|等于电压与电流有效值的比,即
显然,当电压有效值U一定时,复阻抗的模|Z|越大,电流I越小,即|Z|反映了电路对电流的阻碍作用,故称为阻抗。
2)复阻抗的辐角——阻抗角
由式(4-6-6)知,复阻抗的辐角为电压超前于电流的相位差,即
yZ=ju-ji
称为阻抗角。
2.RLC串联电路的复阻抗
由RLC串联电路VCR的相量形式和复阻抗的定义式,可得RLC串联电路的复阻抗与电源频率及元件参数的关系为
复阻抗是复数,因而可以用复平面上的有向线段来表示,见图4-6-4。图中复阻抗Z与R、jX组成一个直角三角形,称为阻抗三角形。显然,阻抗三角形与电压三角形是相似三角形。由阻抗三角形得到下面的关系:
R=|Z|cosyZ
X=XL-XC=|Z|sinyZ
不难看出,当X>0,即XL>XC时,yZ>0,电压超前于电流,电路呈电感性,如图4-6-4(a)所示;当X<0,即XL<XC时,yZ<0,电压滞后于电流,电路呈电容性,如图4-6-4(b)所示;若X=0,即XL=XC时,yZ=0,电压与电流同相,电路呈电阻性,如图4-6-4(c)所示。
图4-6-4RLC串联电路的复阻抗
3.任意无源串联单口的复阻抗
任意个(无源)元件或复阻抗串联时,串联单口的等效复阻抗
即串联单口的等效复阻抗等于串联的各复阻抗之和。若串联的各复阻抗分别为
Z1=R1+jX1,Z2=R2+jX2,Z3=R3+jX3,…
则等效复阻抗
Z=Z1+Z2+Z3+…
=(R1+jX1)+(R2+jX2)+(R3+jX3)+…
=(R1+R2+R3+…)+j(X1+X2+X3+…)
其实部R=R1+R2+R3+…和虚部X=X1+X2+X3+…分别称为该单口的等效电阻和等效电抗。在电路图中,等效复阻抗Z可以表示成R与jX两部分串联,见图4-6-3。
例4-6-1
电阻R、电感L、电容C的串联电路如图4-6-1所示,已知R=15W,L=60mH,C=25mF,接正弦电压U=1002sin1000tV,求电路中的电流i和各元件的电压UR、UL和UC。
解
各元件的复阻抗分别为
ZR=R=15W
ZL=jXL=jwL=j×1000×60×10-3=j60W
电路的复阻抗
Z=ZR+ZL+ZC=15+j60-j40=15+j20
=25∠53.1°W
则电路中电流相量为
各元件电压的相量
由以上计算结果绘出各电流、电压的相量图,见图4-6-5。
图4-6-5例4-6-1的电压、电流相量图各电流、电压的瞬时值表示式分别为
例4-6-2
电感线圈的电路模型为一电感元件L和电阻元件R串联的电路。为测定电感线圈的参数L和R,将其与一电阻R¢串联后,接频率f=50Hz的正弦电源,如图4-6-6所示。当电源电压U=50V时,测得电阻R¢两端电压U1=20V,线圈两端电压U2=40V,且电路中的电流I=1A,求线圈的电感L和电阻R。
解相量图在正弦电路中常作为一种辅助的分析工具,如果使用得法,可根据相量图的几何关系进行简单运算,以简化电路的求解过程。今以本题为例说明使用相量图的分析方法。
图4-6-6例4-6-2的电路和电压、电流相量图先画出图(a)的电压和电流的相量图,如图(b)所示。以电路中的电流作为参考相量,R¢两端电压 与同相,线圈上的电压含有两个分量:
也与同相,
超前于90°。于是可得
则
所以
4-6-1复阻抗是怎样定义的?它的模和辐角的物理意义是什么?阻抗的大小取决于它两端的电压和通过它的电流的大小吗?
4-6-2绘出关联方向下RLC串联电路的电流、电压相量图,并说明如何从相量图看电路的性质。
4-6-3绘出RLC串联电路的“阻抗三角形”,并说明如何从“阻抗三角形”看电路的性质。参数一定的电路,性质也一定吗?为什么?
思考与练习
学习任务:
(1)正弦交流电路中,电阻、电感与电容元件并联时,电压和电流之间的关系及其相量式;
(2)交流电路中的复导纳。
获取能力:
(1)掌握正弦交流电路中,电阻、电感与电容并联连接时,各元件电压、电流的相位关系及相量形式;
(2)掌握复导纳的定义、复导纳的模及导纳角的计算;
(3)理解电路的特性与导纳角的关系;
(4)理解电流三角形与导纳三角形的关系。*4.7GCL并联电路和复导纳4.7.1GCL并联电路的电流
设RCL并联电路各电流的参考方向均与电压的参考方向关联,如图4-7-1所示,其中,电阻元件以其电导参数G标注,二者的关系为
根据KCL,并联电路的总电流
i=iG+iC+iL
相应的有
(4-7-1)
图4-7-1GCL并联电路
各元件VCR的相量形式可表示为
(4-7-2)
其中, 和 分别为电容的容纳和电感的感纳,它们的单位和电导G相同,都是S(西门子)(1S=1W-1)。由式(4-7-1)和式(4-7-2)可得
其中,B=BC-BL称为电路的电纳。这就是GCL并联电路VCR的相量形式。
式(4-7-2)表明,电阻的电流与电压同相,电容电流超前于电压90°,电感电流滞后于电压90°。以电压为参考正弦量,即 ,绘出电流、电压相量图,见图4-7-2。图中与 组成一个直角三角形,称为电流三角形,其中,yY为电流超前于电压的相位差。
图4-7-2GCL并联电路的电压、电流相量图由电流三角形不难得到下面的关系:
IG=IcosyY
IC-IL=IsinyY
显然,当IC-IL>0,即IC>IL时,yY=ji-ju>0,电流超前于电压,电路呈容性,如图4-7-2(a)所示;
当IC-IL<0,即IC<IL时,yY=ji-ju<0,电流滞后于电压,电路呈感性,如图4-7-2(b)所示;
当IC-IL=0,即IC=IL时,yY=ji-ju=0,电流与电压同相,电路呈电阻性,如图4-7-2(c)所示。4.7.2复导纳
1.复导纳的定义
在关联参考方向下,正弦交流电路中任一线性无源单口的端口电流相量与电压相量的比,称为该单口的复导纳。复导纳用Y表示,即
显然复导纳也是一个复数,但它不再是表示正弦量的复数,因而不是相量。在电路图中,复导纳有时也用电阻的图形符号表示,见图4-7-3。
图4-7-3复导纳的电路符号
1)复导纳的模——导纳
由复导纳的定义式可知,复导纳的模等于电流与电压有效值的比,即
显然,当电压有效值U一定时,|Y|越大,电流I也越大,即|Y|反映了电路导通电流的“能力”,故称为导纳。
2)复导纳的辐角——导纳角
复导纳的辐角yY为电流超前于电压的相位差,即
yY=ji-ju
称为导纳角。
2.GCL并联电路的复导纳
由GCL并联电路VCR的相量关系式和复导纳的定义式,可得GCL并联电路的复导纳与电源频率及元件参数的关系为
复导纳既是复数,当然也可以用复平面上的有向线段来表示,如图4-7-4所示。图中,复导纳Y与G、jB组成一个直角三角形,称为导纳三角形。显然,导纳三角形与电流三角形是相似形。
图4-7-4GCL并联电路的复导纳由导纳三角形得到下面的关系:
G=|Y|cosyY
B=BC-BL=|Y|sinyY
从上式可知,当B>0,即BC>BL时,yY>0,电流超前于电压,电路呈容性,如图4-7-4(a)所示;当B<0,即BC<BL时,yY<0,电流滞后于电压,电路呈感性,如图4-7-4(b)所示;当B=0,即BC=BL时,yY=0,电流和电压同相,电路呈电阻性,如图4-7-4(c)所示。
3.任意无源并联单口的复导纳
任意个(无源)元件或复导纳并联时,并联单口的等效复导纳
即并联电路的等效复导纳等于并联的各复导纳之和。若并联的各复导纳分别为
Y1=G1+jB1,Y2=G2+jB2,Y3=G3+jB3,…
则等效复导纳
其实部G=G1+G2+G3+…和虚部B=B1+B2+B3+…分别称为该单口的等效电导和等效电纳。在电路图中,等效复导纳Y可以表示成G与jB两部分并联,见图4-7-3。同一线性无源单口网络既可以用复阻抗表示,也可以用复导纳表示,二者的关系为
即
例4-7-1
如图4-7-5(a)所示电路,各元件复阻抗值标注于图中,已知总电流I=2A,求各元件中的电流。
解由各元件的阻抗值可知它们的导纳值分别为
|YR|=2S,|YL|=2S,|YC|=4S
据此可绘出并联电路的导纳三角形,见图4-7-5(b),则有
由于电流三角形与导纳三角形是相似形,根据对应线段成比例的规律可列出
图4-7-5例4-7-1的电路及其导纳三角形
即
根据同样的道理不难求得
4-7-1复导纳是怎样定义的?它的模和辐角的物理意义是什么?
4-7-2绘出关联方向下GCL并联电路的电压、电流相量图,并说明如何从相量图看出电路的性质。
4-7-3绘出GCL并联电路的“导纳三角形”,并说明如何从“导纳三角形”看电路的性质。
思考与练习
学习任务:
(1)欧姆定律的相量形式;
(2)RLC混联电路的分析。
获取能力:
(1)掌握欧姆定律的相量形式;
(2)能正确将直流电路中的各种分析方法用于RLC混联电路的分析当中。
*4.8正弦交流电路的计算如上节所述,一个任意的线性无源单口网络,都可以有复阻抗和复导纳两种形式的模型,其复阻抗的定义为
而复导纳的定义为
式中:——网络端口的电压;
——从端口流入的电流。
图4-8-1线性无源单口网络和的参考方向相关联,如图4-8-1所示。由于同一单口网络的复阻抗和复导纳互为倒数,因此在计算电阻、电感、电容混联的电路时,可以交替使用复阻抗和复导纳这两种形式进行等效变换或者化简。
图4-8-2例4-8-1用图
例4-8-1
计算图4-8-2所示电路ab端口的复阻抗Zab。
解先计算cb端并联部分的复导纳Ycb:
则cb端并联部分的复阻抗为
于是ab端的复阻抗为
根据上述复阻抗和复导纳的定义,任一线性无源单口网络的电压与电流的关系均可表示为
或
以上两式即是欧姆定律的相量形式。至此,基尔霍夫定律和欧姆定律在正弦交流电路中都有了相应的相量形式。只要把直流电路的电压、电流换成交流电路电压、电流的相量,把直流电路的电阻、电导换成交流电路的复阻抗、复导纳,那么,在基尔霍夫定律和欧姆定律基础上建立的直流电路的所有公式、定理和分析方法,就全都适用于正弦交流电路的分析计算了。
例4-8-2
图4-8-2所示电路为RC振荡器的选频反馈网络,适当选择参数,可使其在某一频率下输出电压uo与输入电压ui同相。若R1=R2=250kW,C1=0.01mF,f=1000Hz,试求C2为何值时uo与ui同相。
解对任一频率w,有
依题意
即
故
例4-8-3
试分别用节点法、戴维南定理和叠加定理求图4-8-3所示电路中的电流。
解
(1)节点法。参考点如图4-8-4所示,列出节点方程为
解得
j=30-j10(V)
所以
图4-8-3例4-8-3的电路图4-8-4求开路电压的电路
(2)应用戴维南定理。去掉电流所在支路,并设开路电压oc的参考方向如图4-8-4所示,则
=(-10+6+j8)(5+j5)+100=40+j20V
输出阻抗为
所以
(3)应用叠加定理。
①100∠0°V电压源单独作用时的电路如图4-8-5所示,求得
②100∠53.1°V电压源单独作用时的电路如图4-8-6所示,求得
所以
图4-8-5100∠0°V电压源单独作用时的电路图4-8-6100∠53.1°V电压源单独作用时的电路
例4-8-4
图4-8-7(a)所示为RC移相电桥电路。其四个桥臂中有两个相同的电阻R1,另两个分别为可调电阻R和固定电容C。若ab端的输入电压
一定,调节电阻R可使cd端的输出电压相位(相对于输入电压
)在0°~180°的范围内变动,而输出电压的有效值Uo不变,故称之为移相电桥。试分析电路的工作原理。
图4-8-7移相电桥电路的工作原理
解纯电阻支路acb的电压
则电流 ,与输入电压
同相,因而电压
,, ,均与输入电压
同相。
容性支路adb电压
其中电流超前于输入电压
,电压
与电流同相。而 滞后于电流90°,输出电压为
根据以上分析可画出电压、电流相量图如图4-8-7(b)所示。从图4-8-7(b)不难看出,调节电阻R将改变adb支路的阻抗,使电流、电压的大小和相位都随之而变,但
与始终保持正交关系,并且与
(即)构成直角三角形。当直角三角形的斜边即输入电压
一定时,斜边上中线的长即输出电压的有效值Uo也是一定的,且Uo=Ui/2。
的变化只是使直角三角形的顶点,也就是输出电压相量
的末端在以斜边为直径的半圆周上移动,从而在0°~180°的范围内改变
与的夹角,达到移相的目的。当R增大时,Uad增大,的末端沿半圆周向右移动,其与
的夹角减小;若R→∞,则与
同相。当R减小时,Uad减小,的末端沿半圆周向左移动,其与
的夹角增大;若R=0,则与
反相。
4-8-1已知某线性无源单口网络的复阻抗Z=R+jX,设其复导纳Y=G+jB,则G=1/R,B=1/X,对吗?
4-8-2图4-8-2所示电路中,若R1=R2=R,C1=C2=C,则当频率与电路参数满足怎样的关系时uo与ui同相?此时uo和ui在大小上有怎样的关系?思考与练习
学习任务:
(1)瞬时功率、有功功率、无功功率、视在功率和功率因数;
(2)复功率和功率三角形。
获取能力:
(1)理解瞬时功率、有功功率、无功功率、视在功率和功率因数的概念,并会计算;
(2)掌握复功率的组成,以及功率三角形与电压三角形、阻抗三角形的关系。4.9正弦交流电路的功率
图4-9-1线性无源单口网络任一线性无源单口网络如图4-9-1所示,设其电压、电流的参考方向关联,且电流为参考正弦量,即
i=Imsinwt
则电压可表示为
u=Umsin(wt+y)
式中,y为电压u与电流i的相位差,亦即该网络的阻抗角。4.9.1网络吸收的瞬时功率
网络吸收的瞬时功率
p=ui=Imsinwt·Umsin(wt+y)=UIcosy-UIcos(2wt+y)
图4-9-2为一电感性无源单口网络电压、电流和功率的波形图。从波形图中不难看出:电压、电流同为正值或同为负值时,瞬时功率为正值,网络吸收功率;若电压和电流一正一负,则瞬时功率为负值,网络发出功率。这说明网络与外电路有能量的交换。含储能元件的单口网络一般情况下(除非端口电压与电流同相)对外都会有能量的交换。从波形图中还可看到:功率曲线与横轴所围成的图形,在横轴上方部分的面积比横轴下方部分的大,说明网络吸收的能量多于释放的能量,即网络与外电路交换能量的同时,内部(由于电阻的存在)也要消耗一部分能量。
图4-9-2任意线性无源单口网络电压、电流和功率的波形4.9.2有功功率、无功功率、视在功率和功率因数
1.有功功率
将瞬时功率的表示式代入有功功率的定义式
不难得到网络吸收的有功功率
P=UIcosy
对于RLC串联单口,可知电路的有功功率
P=UIcosy=URI=PR
即等于电阻的有功功率。这是因为电路中只有电阻是耗能元件;电感和电容都是储能元件,它们只进行能量的“吞吐”而不消耗能量。可以证明,对于任意线性无源单口网络,其有功功率等于该网络内所有电阻的有功功率之和。
2.无功功率
由于储能元件的存在,网络与外部一般会有能量的交换,能量交换的规模仍可用无功功率来衡量,其定义为
Q=UIsiny
对于RLC串联电路,可得
Q=UIsiny=(UL-UC)I=QL+QC
即电路的无功功率等于电感和电容的无功功率之和。可以证明,对于任意线性无源单口网络,其所吸收的无功功率等于该网络内所有电感和电容的无功功率之和。当网络为感性时,阻抗角y>0,则无功功率Q>0;若网络为容性,阻抗角y<0,则无功功率Q<0。需要指出的是:无功功率的正负只说明网络是感性还是容性,其绝对值才体现网络对外交换能量的规模。电感和电容无功功率的符号相反,标志它们在能量吞吐方面的互补作用。利用它们互相补偿,可以限制网络对外交换能量的规模。以RLC串联电路为例,由于串联电路各元件的电流相同,但电容和电感的电压反相,因此两元件的瞬时功率符号相反;当其中一个元件吸收能量的同时,另一个元件恰恰在释放能量,一部分能量只在两元件之间往返转移,电路整体与外部交换能量的规模也就相对缩小了。
3.视在功率
由于网络对外有能量的交换,因此,使网络吸收的有功功率小于电压与电流有效值的乘积,即
P=UIcosy<UI
此时乘积UI虽不是已经实现的有功功率,却是一个有可能达到的“目标”(有可能实现的最大有功功率),故称电压有效值与电流有效值的乘积为网络的视在功率(apparentpower),用S表示,即
S=UI
为区别于有功功率,视在功率不用瓦(W),而用伏安(VA)为单位。发电机、变压器等电源设备的容量就是用视在功率来描述的,它等于额定电压与额定电流的乘积。
有功功率和无功功率可分别用视在功率表示为
P=UIcosy=Scosy
Q=UIsiny=Ssiny
4.功率因数
有功功率与视在功率的比值称为网络的功率因数(powerfactor),用
表示,即
则可得
=cosy
即无源单口网络的功率因数
等于该网络阻抗角(或电压超前于电流的相位差角)y的余弦值,y角因此也被称做功率因数角。显然,网络为电阻性时,才有
=1,P=S;感性和容性情况下
都小于1,即P<S。4.9.3复功率和功率三角形
视在功率、有功功率、无功功率和功率因数之间的关系,可用一复数来统一表示。令 ,这个复数称为复数功率,简称复功率。
若用I*表示网络电流相量的共轭复数,即I*=I∠-ji,则复数I*与网络电压相量的乘积为
图4-9-3功率三角形显然,乘积仍是一个复数,其模为网络的视在功率,辐角即网络的功率因数角;其实部为网络的有功功率,而虚部则是网络的无功功率,故称乘积为网络的复功率。复功率既然是复数,当然也可以用复平面上的有向线段来表示,如图4-9-3所示。图中,、P与jQ构成一个直角三角形,称为功率三角形。显然,同一无源单口网络的功率三角形与电压三角形、阻抗三角形都是相似形。
例4-9-1
RLC串联电路接220V工频电源,已知R=30W,L=382mH,C=40mF,求电路的功率因数,并计算电路的电流及视在功率、有功功率和无功功率。
解
XL=2pfL=2×3.14×50×382×10-3=120W
电路的复阻抗
Z=R+jX=30+j(120-80)=30+j40=50∠53.1°W
电路的功率因数
电路的电流为
视在功率
S=UI=220×4.4=968VA
有功功率:
P=Scosy=968×0.6=580.8W
无功功率:
4-9-1线性无源单口网络的有功功率、无功功率和网络内各元件的有功功率、无功功率有怎样的关系?
4-9-2电感和电容的无功功率符号相反意味着什么?如何限制线性无源单口网络对外交换能量的规模?
4-9-3什么是功率三角形?线性无源单口网络的功率三角形和阻抗三角形、电压三角形有怎样的关系?思考与练习
4-9-4如图4-9-4所示线性无源单口网络接正弦电压U,电阻R1已知,且电压表V、V1、V2的读数分别为U、U1、U2,试证明负载消耗的功率为
图4-9-4题4-9-4图
学习任务:
(1)提高功率因数的意义;
(2)提高功率因数的方法。
获取能力:
(1)了解为什么要提高功率因数;
(2)掌握感性负载并联电容提高功率因数的方法。
交流电力系统中的负载多为感性负载,功率因数普遍小于1。如广泛使用的异步电动机,功率因数在满载时不过0.8左右,空载和轻载时仅为0.2~0.5;照明用的日光灯功率因数也只有0.3~0.5。4.10功率因数的提高4.10.1提高功率因数的意义
大家都知道,直流电路的功率等于电流与电压的乘积,而交流电路则不然。在计算交流电路的平均功率时还要考虑电压与电流间的相位差y,即
P=UIcosy
式中的cosy是电路的功率因数。前面已介绍,电压与电流间的相位差或电路的功率因数决定于电路(负载)参数。只有在电阻负载(例如白炽灯、电阻炉等)的情况下,电压和电流才同相,其功率因数为1。对其它负载来说,其功率因数均介于0与1之间。当电压与电流之间有相位差时,即功率因数不等于1,电路中发生能量互换,出现无功功率Q=UIsiny。这样就会引起下面
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