2023-2024学年湖南省长沙市浏阳市高二上学期期末质量监测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线的斜率，所以该直线的倾斜角为.故选：B2.“”是“2，，8成等比数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】2，，8成等比数列，等价于，所以“”是“2，，8成等比数列”的充分不必要条件.故选：A3.已知等差数列中，，则数列的前8项和等于（）A.42 B.50 C.72 D.90【答案】C【解析】根据题意，等差数列中，，则．故选：C4.如图，在平行六面体中,为的中点，则用向量可表示向量为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得：.故选：B.5.已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（）A. B.C.与相交但不垂直 D.或【答案】D【解析】由直线的方向向量是，平面的法向量是，得，即，所以或.故选：D6.作圆上一点处切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（）A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】将点代入圆的方程：，所以点在圆上，因为：圆心，所以直线的斜率：，所以：切线的斜率为：，的方程为：，即：，又因为：直线与直线平行，所以：.所以：直线与直线的距离：，故A项正确.故选：A.7.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】抛物线中，当时，，则点在抛物线外，抛物线的焦点，准线，过作直线的垂线，垂足为，连接，则，于是，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，所以点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为.故选：C8.直线交椭圆于两点，为椭圆上异于的点，，的斜率分别为，且，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设点，则根据椭圆的对称性知点，显然，由与，相减得，整理得，而，于是，所以，所以该椭圆的离心率为.故选：A二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（）A.实轴长为6 B.焦距为5C.离心率为 D.焦点到渐近线的距离为4【答案】AD【解析】由双曲线，可得，则，可得双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为，所以A正确，B、C不正确；又由双曲线的渐近线方程为，即，且焦点，不妨设右焦点，渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，所以D正确.故选：AD.10.在平面上，动点与两定点满足（且），则的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆.已知动点与两定点满足，记的轨迹为圆.则下列结论正确的是（）A.圆方程为：B.过点作圆的切线，则切线长是C.过点作圆的切线，则切线方程为D.直线与圆相交于两点，则的最小值是【答案】ABD【解析】对于A，由题意点，，因为，所以，即，所以动点M的轨迹圆C的方程为，正确；对于B，由选项A知圆心，半径，设切点为D，所以，则，因为，所以，即过点作圆的切线，切线长是，正确；对于C，因为，所以点在圆上，因为，所以过点的切线斜率为，所以切线方程为，即，错误；对于D，由，可得，联立，解得，即该直线恒过定点，因为，所以点在圆内，由图知，当轴时，此时，有最小值是，正确.故选：ABD11.如图所示，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则（）A.直线与所成的角为B.直线与平面所成的角为C.直线与平面平行D.平面截正方体所得的截面面积为【答案】AC【解析】对选项A：如图1所示，连接，，，，则，，，故是平行四边形，故，即，为直线与所成的角，为等边三角形，故，正确；对选项B：如图2所示，为中点，连接，，，故为平行四边形，故，平面，则为直线与平面所成的角，，故，错误；对选项C：如图3所示，为中点，连接，，，，则，，故为平行四边形，故，平面，平面，故∥平面，同理可得∥平面，，故平面∥平面，平面，故直线与平面平行，正确；对选项D：如图4所示，连接，，，则，，，故为平行四边形，故，则，则梯形为平面截正方体所得的截面，，，，等腰梯形的高为，，错误；故选：AC12.关于函数，下列判断正确的是（）A.是的极大值点B.函数有且只有1个零点C.对不等式在上恒成立D.对任意两个正实数，且，若，则【答案】BC【解析】对于A，，，令，得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，为的极小值点，A错误；对于B，，则，所以函数在上单调递减，又，所以函数有且只有1个零点，B正确；对于C，若在上恒成立，得在上恒成立，则令，则，令，，当时，，单调递减，，即，在上单调递减，故函数，则，C正确；对于D，令，，则在上单调递减，则，即，，，结合A选项可得，，函数在上单调递增，则，即对任意两个正实数，且，若，则，D错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知空间向量，则______．【答案】【解析】空间向量，所以.故答案为：14.已知直线的倾斜角，直线，则的斜率为__．【答案】【解析】∵直线的倾斜角，直线，∴的倾斜角为，∴的斜率为，故答案为:．15.在数列中，，则______.【答案】【解析】由得，又，则数列为首项为1，公差为1的等差数列，所以，得，所以，所以.故答案为：16.已知实数，满足,则代数式的最大值为______.【答案】【解析】因实数，满足，，故可知点的轨迹是以为两焦点的椭圆，轨迹方程为：，故可设该椭圆的参数方程为：（为参数）则，故当时，取得最大值为故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.矩形ABCD两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆E的方程．解：（1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3又因为点在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为，即；（2）由，解得：，故点A的坐标为，因为矩形ABCD两条对角线的交点为，所以点M为矩形ABCD外接圆圆心．又因为，从而矩形ABCD外接圆E的方程为.18.如图，在正四棱柱中，，，点是的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）在正四棱柱中，以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系．因为，，，所以，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为．（2），设平面的一个法向量为．则，得，取，得，，故平面的一个法向量为．于是，所以直线与平面所成角的正弦值为．19.综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知，是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位mm），分别求抛物线和双曲线的方程．解：对于双曲线，有，，，，双曲线的方程为；抛物线的顶点的横坐标是，抛物线的方程为．20.已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）求的值及数列的通项公式；（2）若求数列的前项和解：（1），，成等差数列，，即，当时，，即，当时，，是等比数列，，则，得，数列的通项公式为，；（2），则前项和，，两式相减可得，化简可得．21.如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．（1）求点到平面的距离；（2）已知点在线段上，且直线与平面所成的角为，求出的值．解：（1）连接，∵，是的中点，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，菱形中，，所以是正三角形，∴．∴、、两两垂直．以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设是平面的一个法向量，则，令，得，设点到平面的距离为，则，所以，点到平面的距离为.（2）由题意可知，平面的一个法向量为，，，设，，则，∵直线与平面所成的角为，，整理可得，解得，所以，．22.已知函数．（1）若在定义域内为单调递减函数，求a的取值范围；（2）求证：当且时，．解：（1）定义域为，因为在定义域内为单调递减函数，所以，所以，令，所以，令得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，所以，故a的取值范围是.（2）且时，所以，令，，所以，令，则恒成立，所以上单调递增，即在上单调递增，因为，，所以存在，有，即，所以所以当时，，上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，故.湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线的斜率，所以该直线的倾斜角为.故选：B2.“”是“2，，8成等比数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】2，，8成等比数列，等价于，所以“”是“2，，8成等比数列”的充分不必要条件.故选：A3.已知等差数列中，，则数列的前8项和等于（）A.42 B.50 C.72 D.90【答案】C【解析】根据题意，等差数列中，，则．故选：C4.如图，在平行六面体中,为的中点，则用向量可表示向量为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得：.故选：B.5.已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（）A. B.C.与相交但不垂直 D.或【答案】D【解析】由直线的方向向量是，平面的法向量是，得，即，所以或.故选：D6.作圆上一点处切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（）A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】将点代入圆的方程：，所以点在圆上，因为：圆心，所以直线的斜率：，所以：切线的斜率为：，的方程为：，即：，又因为：直线与直线平行，所以：.所以：直线与直线的距离：，故A项正确.故选：A.7.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】抛物线中，当时，，则点在抛物线外，抛物线的焦点，准线，过作直线的垂线，垂足为，连接，则，于是，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，所以点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为.故选：C8.直线交椭圆于两点，为椭圆上异于的点，，的斜率分别为，且，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设点，则根据椭圆的对称性知点，显然，由与，相减得，整理得，而，于是，所以，所以该椭圆的离心率为.故选：A二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（）A.实轴长为6 B.焦距为5C.离心率为 D.焦点到渐近线的距离为4【答案】AD【解析】由双曲线，可得，则，可得双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为，所以A正确，B、C不正确；又由双曲线的渐近线方程为，即，且焦点，不妨设右焦点，渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，所以D正确.故选：AD.10.在平面上，动点与两定点满足（且），则的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆.已知动点与两定点满足，记的轨迹为圆.则下列结论正确的是（）A.圆方程为：B.过点作圆的切线，则切线长是C.过点作圆的切线，则切线方程为D.直线与圆相交于两点，则的最小值是【答案】ABD【解析】对于A，由题意点，，因为，所以，即，所以动点M的轨迹圆C的方程为，正确；对于B，由选项A知圆心，半径，设切点为D，所以，则，因为，所以，即过点作圆的切线，切线长是，正确；对于C，因为，所以点在圆上，因为，所以过点的切线斜率为，所以切线方程为，即，错误；对于D，由，可得，联立，解得，即该直线恒过定点，因为，所以点在圆内，由图知，当轴时，此时，有最小值是，正确.故选：ABD11.如图所示，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则（）A.直线与所成的角为B.直线与平面所成的角为C.直线与平面平行D.平面截正方体所得的截面面积为【答案】AC【解析】对选项A：如图1所示，连接，，，，则，，，故是平行四边形，故，即，为直线与所成的角，为等边三角形，故，正确；对选项B：如图2所示，为中点，连接，，，故为平行四边形，故，平面，则为直线与平面所成的角，，故，错误；对选项C：如图3所示，为中点，连接，，，，则，，故为平行四边形，故，平面，平面，故∥平面，同理可得∥平面，，故平面∥平面，平面，故直线与平面平行，正确；对选项D：如图4所示，连接，，，则，，，故为平行四边形，故，则，则梯形为平面截正方体所得的截面，，，，等腰梯形的高为，，错误；故选：AC12.关于函数，下列判断正确的是（）A.是的极大值点B.函数有且只有1个零点C.对不等式在上恒成立D.对任意两个正实数，且，若，则【答案】BC【解析】对于A，，，令，得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，为的极小值点，A错误；对于B，，则，所以函数在上单调递减，又，所以函数有且只有1个零点，B正确；对于C，若在上恒成立，得在上恒成立，则令，则，令，，当时，，单调递减，，即，在上单调递减，故函数，则，C正确；对于D，令，，则在上单调递减，则，即，，，结合A选项可得，，函数在上单调递增，则，即对任意两个正实数，且，若，则，D错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知空间向量，则______．【答案】【解析】空间向量，所以.故答案为：14.已知直线的倾斜角，直线，则的斜率为__．【答案】【解析】∵直线的倾斜角，直线，∴的倾斜角为，∴的斜率为，故答案为:．15.在数列中，，则______.【答案】【解析】由得，又，则数列为首项为1，公差为1的等差数列，所以，得，所以，所以.故答案为：16.已知实数，满足,则代数式的最大值为______.【答案】【解析】因实数，满足，，故可知点的轨迹是以为两焦点的椭圆，轨迹方程为：，故可设该椭圆的参数方程为：（为参数）则，故当时，取得最大值为故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.矩形ABCD两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆E的方程．解：（1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3又因为点在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为，即；（2）由，解得：，故点A的坐标为，因为矩形ABCD两条对角线的交点为，所以点M为矩形ABCD外接圆圆心．又因为，从而矩形ABCD外接圆E的方程为.18.如图，在正四棱柱中，，，点是的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）在正四棱柱中，以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系．因为，，，所以，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为．（2），设平面的一个法向量为．则，得，取，得，，故平面的一个法向量为．于是，所以直线与平面所成角的正弦值为．19.综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2m的反射式望远镜，其光学系