2023-2024学年河北省承德市高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省承德市2023-2024学年高二上学期期末数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4，本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章．一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】观察可知，该数列的前面整数部分为奇数，后面分数部分正负相间，首项的分数部分为负，分母为，分子为，故该数列的一个通项公式可以为，故选：D2.已知直线,直线.若,则（）A.4 B.-2 C.4或-2 D.3【答案】A【解析】因为，所以，即，得或.当时，，，符合题意；当时，，，，重合.故.故选：A.3.已知等比数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，当时，，可得，当时，，因为数列为等比数列，可得，解得.故选：D.4.已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为的最小值为1，所以．因为的周长为34，所以，所以．因为，所以，所以椭圆C的标准方程为．故选：C.5.在三棱锥中，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】连接，根据向量的运算法则，可得.故选：B.6.某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，则，将代入，故，解得，所以该抛物线的焦点到顶点的距离为m.故选：B7.在三棱锥中，平面分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为平面，都在面内，所以，又，所以，所以两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设平面的法向量为，则所以取，得．设直线与平面所成的角为，所以．故选：B8.已知直线与交于点，则的最大值为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得直线恒过坐标原点，直线恒过定点，且，所以，所以与的交点在以为直径的圆上，则点的坐标满足（不含点）．可设，且，则，所以当时，的最大值为．故选：D二、选择题：本大题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.等差数列的前n项和为，若，，则（）A.的公差为1 B.的公差为2C. D.【答案】ACD【解析】设的公差为d，由，，得，解得，故A正确，B错误；，，C，D正确.故选：ACD10.已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因为，所以曲线为，直线为，当时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等，则A错误；当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，则B正确；当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，则C不正确；当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负，则D正确．故选：BD．11.已知圆和圆是圆上一点，是圆上一点，则下列说法正确的是（）A.圆与圆有四条公切线B.两圆的公共弦所在的直线方程为C.的最大值为12D.若，则过点且与圆相切的直线方程为【答案】BCD【解析】对于A，圆、的圆心、半径依次分别为，圆心距满足，所以两圆相交，圆与圆有两条条公切线，故A错误；对于B，两圆、方程相减得，，化简并整理得两圆的公共弦所在的直线方程为，故B正确；对于C，由题意，当且仅当四点共线，取最大值，故C正确，对于D，，即点在圆上面，又，所以过点且与圆相切的直线方程为，化简并整理得，过点且与圆相切的直线方程为，故D正确.故选：BCD.12.已知数列满足，，为的前项和，则（）A.为等比数列B.的通项公式为C.为递减数列D.当或时，取得最大值【答案】AC【解析】因为，所以，即，，又因为，所以，所以为首项为，公比为的等比数列，A正确；，所以，B错误；因为函数是减函数，所以为递减数列，C正确；令，即，解得，所以时，，时，，所以当或时，取得最大值，D错误.故选：AC三、填空题：本大题共4小题，把答案填在答题卡中的横线上．13.若数列满足，则__________.【答案】【解析】因，，所以，，，所以是周期为3的数列，故.故答案为：.14.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为__________.【答案】【解析】由题可知，解得，所以，故的焦距为.故答案为：15.在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_________．【答案】【解析】在长方体中，，，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，所以，.因此，异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.16.在数列与中，已知，则________．【答案】1【解析】由题意知，，所以为常数列，即，所以．故答案为：1.四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）当时，，当时，.符合，所以的通项公式为.（2）由（1）可得，则，所以数列的前项和.18.一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．解：（1）依题意，该动圆的圆心到点与到直线的距离相等．又点不在直线上，根据抛物线的定义可知，该动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线C的方程为．（2）设，由题意知直线l斜率存在，则，则，两式相减得，即．因为线段AB的中点坐标为，所以，则，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即．19.已知圆过点和，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）经过点的直线与圆相切，求的方程.解：（1）设圆的方程为，根据题意，可得，解得，所以圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得，则直线的方程为，即.故直线的方程为或.20.如图，在三棱锥中，平面，，，F是的中点，且．（1）求的长;（2）求二面角的正弦值.解：（1）因为平面，，故以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系．设，由，得，，，．因为F是中点，所以，则，．又，所以，解得，故．（2）由（1）可知，，则，，．设平面的法向量为，则，令，得．设平面的法向量为，则，令，得．所以，故二面角的正弦值为．21.已知正项数列满足,数列的前n项和为,且.（1）求的通项公式；（2）证明：．解：（1）因为，且，所以，所以，即，所以．当时，所以，所以．因为，所以，所以．也符合上式，所以．当时，．因为，所以当时，，所以当时，，即，所以当时，数列是以为首项的常数列，即（），所以（），所以的通项公式为（2）因为，所以，两式相减得，所以．22.已知椭圆经过点和．（1）求的方程；（2）若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．解：（1）由题意得，把点的坐标代入，得，解得，所以椭圆的方程为．（2）（方法一）由题意可知均有斜率且不为0，设直线的方程为，联立方程组消去得，可得，解得，所以点坐标为．因为，所以直线的斜率为，同理可得点．当时，有，解得，直线的方程为．当时，直线的斜率，则直线的方程为，即，即，直线过定点．又当时，直线也过点．综上，直线过定点．（方法二）当直线不垂直于轴时，设直线方程为，联立方程组消去得，，即．设，则，．因为，所以，即，，，化简得，解得或，所以直线的方程为或（过点A,不合题意，舍去），所以直线过定点．当直线垂直于轴时，设它的方程为，因为，所以．又，解得或（过点A,不合题意，舍去），所以此时直线的方程为，也过点．综上，直线过定点．河北省承德市2023-2024学年高二上学期期末数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4，本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章．一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】观察可知，该数列的前面整数部分为奇数，后面分数部分正负相间，首项的分数部分为负，分母为，分子为，故该数列的一个通项公式可以为，故选：D2.已知直线,直线.若,则（）A.4 B.-2 C.4或-2 D.3【答案】A【解析】因为，所以，即，得或.当时，，，符合题意；当时，，，，重合.故.故选：A.3.已知等比数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，当时，，可得，当时，，因为数列为等比数列，可得，解得.故选：D.4.已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为的最小值为1，所以．因为的周长为34，所以，所以．因为，所以，所以椭圆C的标准方程为．故选：C.5.在三棱锥中，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】连接，根据向量的运算法则，可得.故选：B.6.某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，则，将代入，故，解得，所以该抛物线的焦点到顶点的距离为m.故选：B7.在三棱锥中，平面分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为平面，都在面内，所以，又，所以，所以两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设平面的法向量为，则所以取，得．设直线与平面所成的角为，所以．故选：B8.已知直线与交于点，则的最大值为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得直线恒过坐标原点，直线恒过定点，且，所以，所以与的交点在以为直径的圆上，则点的坐标满足（不含点）．可设，且，则，所以当时，的最大值为．故选：D二、选择题：本大题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.等差数列的前n项和为，若，，则（）A.的公差为1 B.的公差为2C. D.【答案】ACD【解析】设的公差为d，由，，得，解得，故A正确，B错误；，，C，D正确.故选：ACD10.已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因为，所以曲线为，直线为，当时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等，则A错误；当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，则B正确；当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，则C不正确；当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负，则D正确．故选：BD．11.已知圆和圆是圆上一点，是圆上一点，则下列说法正确的是（）A.圆与圆有四条公切线B.两圆的公共弦所在的直线方程为C.的最大值为12D.若，则过点且与圆相切的直线方程为【答案】BCD【解析】对于A，圆、的圆心、半径依次分别为，圆心距满足，所以两圆相交，圆与圆有两条条公切线，故A错误；对于B，两圆、方程相减得，，化简并整理得两圆的公共弦所在的直线方程为，故B正确；对于C，由题意，当且仅当四点共线，取最大值，故C正确，对于D，，即点在圆上面，又，所以过点且与圆相切的直线方程为，化简并整理得，过点且与圆相切的直线方程为，故D正确.故选：BCD.12.已知数列满足，，为的前项和，则（）A.为等比数列B.的通项公式为C.为递减数列D.当或时，取得最大值【答案】AC【解析】因为，所以，即，，又因为，所以，所以为首项为，公比为的等比数列，A正确；，所以，B错误；因为函数是减函数，所以为递减数列，C正确；令，即，解得，所以时，，时，，所以当或时，取得最大值，D错误.故选：AC三、填空题：本大题共4小题，把答案填在答题卡中的横线上．13.若数列满足，则__________.【答案】【解析】因，，所以，，，所以是周期为3的数列，故.故答案为：.14.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为__________.【答案】【解析】由题可知，解得，所以，故的焦距为.故答案为：15.在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_________．【答案】【解析】在长方体中，，，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，所以，.因此，异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.16.在数列与中，已知，则________．【答案】1【解析】由题意知，，所以为常数列，即，所以．故答案为：1.四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）当时，，当时，.符合，所以的通项公式为.（2）由（1）可得，则，所以数列的前项和.18.一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．解：（1）依题意，该动圆的圆心到点与到直线的距离相等．又点不在直线上，根据抛物线的定义可知，该动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线C的方程为．（2）设，由题意知直线l斜率存在，则，则，两式相减得，即．因为线段AB的中点坐标为，所以，则，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即．19.已知圆过点和，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）经过点的直线与圆相切，求的方程.解：（1）设圆的方程为，根据题意，可得，解得，所以圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得，则直线的方程为，即.故