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文档简介
2025届江苏省如皋、如东高考数学四模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若,,,则()A. B.C. D.2.若的展开式中二项式系数和为256,则二项式展开式中有理项系数之和为()A.85 B.84 C.57 D.563.已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的-一个公共点,且,设椭圆和双曲线的离心率分别为,则的关系为()A. B.C. D.4.已知等差数列的前13项和为52,则()A.256 B.-256 C.32 D.-325.设为抛物线的焦点,,,为抛物线上三点,若,则().A.9 B.6 C. D.6.已知、分别是双曲线的左、右焦点,过作双曲线的一条渐近线的垂线,分别交两条渐近线于点、,过点作轴的垂线,垂足恰为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.7.设,则()A. B. C. D.8.在平面直角坐标系中,将点绕原点逆时针旋转到点,设直线与轴正半轴所成的最小正角为,则等于()A. B. C. D.9.已知复数满足,其中是虚数单位,则复数在复平面中对应的点到原点的距离为()A. B. C. D.10.已知锐角满足则()A. B. C. D.11.已知函数,若有2个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.12.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图所示的流程图中,输出的值为______.14.将一颗质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的的概率是___.15.设Sn为数列{an}的前n项和,若an0,a1=1,且2Sn=an(an+t),n∈N*,则S10=_____.16.函数的值域为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且(1)求数列{a(2)求数列{1Sn}的前18.(12分)已知椭圆:(),四点,,,中恰有三点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的左右顶点分别为.是椭圆上异于的动点,求的正切的最大值.19.(12分)在中,角的对边分别为,且,.(1)求的值;(2)若求的面积.20.(12分)已知直线是曲线的切线.(1)求函数的解析式,(2)若,证明:对于任意,有且仅有一个零点.21.(12分)某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖.如图,该弓形所在的圆是以为直径的圆,且米,景观湖边界与平行且它们间的距离为米.开发商计划从点出发建一座景观桥(假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行),桥面在湖面上的部分记作.设.(1)用表示线段并确定的范围;(2)为了使小区居民可以充分地欣赏湖景,所以要将的长度设计到最长,求的最大值.22.(10分)已知动圆恒过点,且与直线相切.(1)求圆心的轨迹的方程;(2)设是轨迹上横坐标为2的点,的平行线交轨迹于,两点,交轨迹在处的切线于点,问:是否存在实常数使,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系,进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的增函数,则,即;指数函数为上的增函数,则;指数函数为上的减函数,则.综上所述,.故选:C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较,一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较,考查推理能力,属于基础题.2、A【解析】
先求,再确定展开式中的有理项,最后求系数之和.【详解】解:的展开式中二项式系数和为256故,要求展开式中的有理项,则则二项式展开式中有理项系数之和为:故选:A【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定,基础题.3、A【解析】
设椭圆的半长轴长为,双曲线的半长轴长为,根据椭圆和双曲线的定义得:,解得,然后在中,由余弦定理得:,化简求解.【详解】设椭圆的长半轴长为,双曲线的长半轴长为,由椭圆和双曲线的定义得:,解得,设,在中,由余弦定理得:,化简得,即.故选:A【点睛】本题主要考查椭圆,双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.4、A【解析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.【详解】由,,得.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质,等差数列的等和性应用能快速求得结果.5、C【解析】
设,,,由可得,利用定义将用表示即可.【详解】设,,,由及,得,故,所以.故选:C.【点睛】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题,考查学生等价转化的能力,是一道容易题.6、B【解析】
设点位于第二象限,可求得点的坐标,再由直线与直线垂直,转化为两直线斜率之积为可得出的值,进而可求得双曲线的离心率.【详解】设点位于第二象限,由于轴,则点的横坐标为,纵坐标为,即点,由题意可知,直线与直线垂直,,,因此,双曲线的离心率为.故选:B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算,解答的关键就是得出、、的等量关系,考查计算能力,属于中等题.7、D【解析】
结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出,,,即可选出答案.【详解】由,即,又,即,,即,所以.故选:D.【点睛】本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.8、A【解析】
设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为,由任意角的三角函数的定义可以求得的值,依题有,则,利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图,设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为因为点在角的终边上,所以依题有,则,所以,故选:A【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式,属于基础题.9、B【解析】
利用复数的除法运算化简z,复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选:B【点睛】本题考查了复数的除法运算,模长公式和几何意义,考查了学生概念理解,数学运算,数形结合的能力,属于基础题.10、C【解析】
利用代入计算即可.【详解】由已知,,因为锐角,所以,,即.故选:C.【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用,考查学生的运算能力,是一道基础题.11、C【解析】
令,可得,要使得有两个实数解,即和有两个交点,结合已知,即可求得答案.【详解】令,可得,要使得有两个实数解,即和有两个交点,,令,可得,当时,,函数在上单调递增;当时,,函数在上单调递减.当时,,若直线和有两个交点,则.实数的取值范围是.故选:C.【点睛】本题主要考查了根据零点求参数范围,解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.12、A【解析】
根据题意,可得几何体,利用体积计算即可.【详解】由题意,该几何体如图所示:该几何体的体积.故选:A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】
根据流程图依次运行直到,结束循环,输出n,得出结果.【详解】由题:,,,结束循环,输出.故答案为:4【点睛】此题考查根据程序框图运行结果求输出值,关键在于准确识别循环结构和判断框语句.14、【解析】
先求出基本事件总数6×6=36,再由列举法求出“点数之和等于6”包含的基本事件的个数,由此能求出“点数之和等于6”的概率.【详解】基本事件总数6×6=36,点数之和是6包括共5种情况,则所求概率是.故答案为【点睛】本题考查古典概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.15、55【解析】
由求出.由,可得,两式相减,可得数列是以1为首项,1为公差的等差数列,即求.【详解】由题意,当n=1时,,当时,由,可得,两式相减,可得,整理得,,即,∴数列是以1为首项,1为公差的等差数列,.故答案为:55.【点睛】本题考查求数列的前项和,属于基础题.16、【解析】
利用换元法,得到,利用导数求得函数的单调性和最值,即可得到函数的值域,得到答案.【详解】由题意,可得,令,,即,则,当时,,当时,,即在为增函数,在为减函数,又,,,故函数的值域为:.【点睛】本题主要考查了三角函数的最值,以及利用导数研究函数的单调性与最值,其中解答中合理利用换元法得到函数,再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键,着重考查了推理与预算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)an=2n【解析】
(1)先设出数列的公差为d,结合题中条件,求出首项和公差,即可得出结果.(2)利用裂项相消法求出数列的和.【详解】解:(1)设公差为d的等差数列{an}且a1+a则有:a1解得:a1=3,所以:a(2)由于:an所以:Sn则:1S则:Tn=1【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.18、(1);(2)【解析】
(1)分析可得必在椭圆上,不在椭圆上,代入即得解;(2)设直线PA,PB的倾斜角分别为,斜率为,可得.则,,利用均值不等式,即得解.【详解】(1)因为关于轴对称,所以必在椭圆上,∴不在椭圆上∴,,即.(2)设椭圆上的点(),设直线PA,PB的倾斜角分别为,斜率为又∴.,,(不妨设).故当且仅当,即时等号成立【点睛】本题考查了直线和椭圆综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.19、(1)3(2)78【解析】试题分析:(1)由两角和差公式得到,由三角形中的数值关系得到,进而求得数值;(2)由三角形的三个角的关系得到,再由正弦定理得到b=15,故面积公式为.解析:(1)在中,由,得为锐角,所以,所以,所以.(2)在三角形中,由,所以,由,由正弦定理,得,所以的面积.20、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)对函数求导,并设切点,利用点既在曲线上、又在切线上,列出方程组,解得,即可得答案;(2)当x充分小时,当x充分大时,可得至少有一个零点.再证明零点的唯一性,即对函数求导得,对分和两种情况讨论,即可得答案.【详解】(1)根据题意,,设直线与曲线相切于点.根据题意,可得,解之得,所以.(2)由(1)可知,则当x充分小时,当x充分大时,∴至少有一个零点.∵,①若,则,在上单调递增,∴有唯一零点.②若令,得有两个极值点,∵,∴,∴.∴在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.∴极大值为.,又,∴在(0,16)上单调递增,∴,∴有唯一零点.综上可知,对于任意,有且仅有一个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义的运用、利用导数证明函数的零点个数,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意零点存在定理的运用.21、(1),;(2)米.【解析】
(1)过点作于点再在中利用正弦定理求解,再根据求解,进而求得.再根据确定的范围即可.(2)根据(1)有,再设,求导分析函数的单调性与最值即可.【详解】解:过点作于点则,在中,,,由正弦定理得:,,,,,因为,化简得,令,,且,因为,故令即,记,当时,单调递增;当时,单调递减,又,当时,取最大值,此时,的最大值为米.【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用,需要根据题意建立角度与长度间的关系,进而求导分析函数的单调性,根据三角函数值求解对应的最值即可.属于难题.22、(1);(2)存在,.【解析】
(1)根据抛物线的定义,容易知其轨迹为抛物线;结合已知点的坐标,即可求得方程;(2)由抛物线方程求得点的坐标,设出直线的方程,利用导数求得点的坐标,联立直线的方程和抛物线方程,结合韦达定理,求得,
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