（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测09 导数与函数的单调性（教师版）

第页第09讲导数与函数的单调性知识讲解导函数与原函数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导＞0f(x)在(a，b)上单调递增＜0f(x)在(a，b)上单调递减＝0f(x)在(a，b)上是常数函数利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导函数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.[常用结论]1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立.2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解.考点一、函数与导函数图象之间的关系【例1】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数的单调性即可判断.【详解】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.【变式1】已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.【详解】由题给函数的图象，可得当时，，则，则单调递增；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递增；则单调递增区间为，；单调递减区间为故仅选项C符合要求.故选：C【变式2】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（

）

A．B．C．D．【答案】D【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号，据此可判断的图象.【详解】由的图象可知，在上为单调递减函数，故时，，故排除A，C；当时，函数的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，故选：D.考点二、利用导数求不含参函数的单调性【例2】设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)3个【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可；（2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间；（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数.【详解】（1）因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以.（2）由（1）得，则，令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增，即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，，即所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，在上单调递减，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点；当时，在上单调递增，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，，所以，则单调递增，所以在上无极值点；综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.【变式3】已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围.【详解】（1）当时，,令得,当时，,当时，,∴函数在上单调递增；上单调递减；（2）[方法一]【最优解】：分离参数,设函数,则,令，得,在内,单调递增；在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是.[方法二]：构造差函数由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解．构造函数，求导数得．当时，在区间内单调递增，所以，在内最多只有一个零点，不符合题意；当时，，令得，当时，；当时，；所以，函数的递增区间为，递减区间为．由于，当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即．构造函数，则，所以的递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且．所以，实数a的取值范围为．[方法三]分离法：一曲一直曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同的解．因为，所以两边取对数得，即，问题等价为与有且仅有两个交点．①当时，与只有一个交点，不符合题意．②当时，取上一点在点的切线方程为，即．当与为同一直线时有得直线的斜率满足：时，与有且仅有两个交点．记，令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减；时，最大值为，所当且时有．综上所述，实数a的取值范围为．[方法四]：直接法．因为，由得．当时，在区间内单调递减，不满足题意；当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减．因为，且，所以，即，即，两边取对数，得，即．令，则，令，则，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，所以，则的解为，所以，即．故实数a的范围为．]【变式4】已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析.(2)【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.【详解】（1）令,则则当当,即.当,即.所以在上单调递增,在上单调递减（2）设设所以.若,，即在上单调递减,所以.所以当,符合题意.若当,所以..所以,使得,即,使得.当,即当单调递增.所以当,不合题意.综上,的取值范围为.考点三、利用导数求含参函数的单调性【例3】已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.【详解】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.【变式5】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．【答案】(1)答案见解析；(2)和.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.【详解】(1)由函数的解析式可得：，导函数的判别式，当时，在R上单调递增，当时，的解为：，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；综上可得：当时，在R上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减.(2)由题意可得：，，则切线方程为：，切线过坐标原点，则：,整理可得：，即：，解得：，则，切线方程为：,与联立得，化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为解得,，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.【变式6】已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有三个零点，，，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）先判断出，将转化为，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.【详解】（1）由，可知定义域，，令，则，①当时，，则成立，即成立，所以在上单调递增；②当时，令，得，记，，当变化时，，的变化情况如下表+0-0+↗极大值↘极小值↗所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（2）因为函数有三个零点，，，不妨设，所以，即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.由，知，故，因为，所以，即，因此，令，所以，令，则在上单调递减，且，，成立，所以在上单调递减，且，因此，则，所以.考点四、根据函数单调性求参数值或范围【例4】若函数在是增函数，则a的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：由条件知在上恒成立，即在上恒成立．∵函数在上为减函数，∴,∴．故选D．【变式7】设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.【答案】【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：.【变式8】已知函数在R上是增函数，则的最大值为．【答案】【分析】对求导，由为上的增函数可知恒成立，由二次函数的性质可得，△，从而可得，两边同乘可得，利用换元法及二次函数的性质即可求得的最大值．【详解】因为函数在上是增函数，所以恒成立，所以，△，又，所以，则由△，可得，两边同时乘以，可得，令，，则，当时，取得最大值，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为．故答案为：．【基础过关】1.已知函数.(1)求的单调区间；(2)若在上恒成立，求证：.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)证明见解析【分析】（1）在定义域范围内求导函数大于零或小于零的解集即可；（2）将问题转化为在上恒成立，含参讨论得时，有最大值即证明.【详解】（1）因为的定义域为，所以，令得或；令得.所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）因为：在上恒成立，即在上恒成立，设.则.①若，则单调递增，的值域为，故不能恒成立，故舍去；②若，则当时，；当时，，从而在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值，所以.2.已知函数，．(1)当，求的单调递减区间；(2)若在恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)单调递减区间为；(2)【分析】（1）根据导函数和原函数的单调性关系，先设求得，得到函数单调区间；（2）把在上恒成立,转化为在上恒成立，令,即得恒成立求参即可.【详解】（1）当时，，所以，令，所以，当时，，故为增函数；当时，，故为减函数，所以，即，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.（2）因为，所以，所以在上恒成立，即在上恒成立，转化为在上恒成立，令，，则且当时，恒成立，故在上为增函数，所以，即时不满足题意；当时，由，得，若，则，故在上为减函数，在上为增函数，所以存在，使得，即时不满足题意；若，则，故在上为减函数，所以，所以恒成立，综上所述，实数的取值范围是.3.已知函数．(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)当时，证明：，．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）求得，转化为在上恒成立，进而转化为在上恒成立，令，求得，得出函数的单调性和最大值，即可求解.（2）当时，得到且，当时，只需使得，利用导数求得单调递增，得到；当时，显然满足；当时，由和，得到，即可得证.【详解】（1）解：由函数，可得，因为在上单调递增，可得在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极大值，即为最大值，所以，即实数a的取值范围为.（2）解：当时，，可得当时，可得，要使得，只需使得，令，可得，所以单调递增，又由，所以，所以单调递增，所以；当时，可得且，所以，满足；当时，可得，因为且，所以，所以，综上可得，对于，都有.4.已知，．(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求a的取值范围．【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减；(2)【分析】（1）将导数化为求其零点并讨论零点的大小，结合导数的符号求解.（2）结合第（1）问的结果，利用函数的单调性、极值的符号构造不等式求解.【详解】（1）∵，∵，∴，当，，单调递增，当，，单调递减，当，，单调递增．综上所述，在和上单调递增，在上单调递减．（2）情况一：若，即时，由的单调性，其在上恒为正，无零点，在增区间至多有一个零点，不符题意．情况二：若，即时，由于，由零点存在定理，在区间上存在一个零点，取，则，，，，当时，，由于在区间上单调递增，故在恒为正，无零点，由零点存在定理，在区间上存在一个零点，符合题意，情况三：若，即时，同情况二可得在增区间恒为正，无零点，仅有一个零点，不符题意.综上，a的取值范围是．课后训练1.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据的图像，得到不同范围下，的正负，得到的单调性，得到答案.【详解】由的图象知，当时，，故，单调递增；当时，，故，当，，故，等号仅有可能在x＝0处取得，所以时，单调递减；当时，，故，单调递增，结合选项只有C符合.故选：C.2.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用的导函数，结合在区间上的单调性列不等式组求得的取值范围.【详解】由，则，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，又函数在区间上单调递减，所以，解得，故选：A.3.已知(1)当时，求单调区间；(2)当时，恒成立，求的取值范围；【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间；(2)【分析】（1）求导后，根据恒成立可得结论；（2）方法一：由可知，使得在上单调递增，根据可知；将代回验证，知，利用导数可证得，知满足题意；方法二：易说明，求得后，令，则，令，分别在和的情况下，得到的单调性，进而确定使得恒成立的的范围；（3）令，由（2）得；令，采用累加法可求得，进而放缩得到，整理即可得到结论.【详解】（1）当时，，，，，（当且仅当时取等号），恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间.（2）当时，恒成立，即，恒成立；方法一：，，使得在上单调递增，当时，，，解得：；当时，，，，设，则，在上单调递增，，，即满足题意；综上所述：的取值范围为.方法二：，，，，则由，恒成立得：；，，令，则，令，则，①当，即时，方程的解为，设，的对称轴为，当时，，，其中，则当，即时，；当时，即时，；在上单调递减，在上单调递增，，当时，，与，恒成立相矛盾，故舍去；②当，即时，，即在上单调递增，，即，恒成立；综上所述：实数的取值范围为.4.已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，若，求证：；(3)求证：对于任意都有．【分析】（1）求出函数的定义域，求导，再分类讨论，根据导函数的符号即可求出函数的单调区间；

（2）令，由，可证得恒成立，即，结合可证得；（3）利用，对进行放缩，即可证明不等式成立.【详解】（1）函数的定义域是．由已知得，．①当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增；②当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；③当时，当时，，单调递增；④当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．综上，①当时，函数在上单调递减，上单调递增；

②当时，函数在单调递增上单调递减，上单调递增；

③当时，函数在单调递增；

④当时，函数在单调递增，上单调递减，上单调递增．（2）当时，.由（1）知，函数在单调递增且；令，令，令，解得；令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以.令，则，所以恒成立，

不妨设，则，所以，所以，所以，所以.（3）由（2）知，时，，即，故在时恒成立，

所以，，，，相加得.5.已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)【分析】（1）求导后分类讨论，根据导数的符号可得函数的单调性；（2）将原不等式变形为，构造函数，根据的单调性将不等式化为，再参变分离，构造函数，利用导数求出最值可得结果.【详解】（1）的定义域为，，当时，，在上为增函数；当时，由，得，由，得，所以在上为减函数，在上为增函数.综上所述：当时，在上为增函数；当时，在上为减函数，在上为增函数.（2），设，则原不等式恒成立等价于在上恒成立，，在上为增函数，则在上恒成立，等价于在上恒成立，等价于在上恒成立，令，，令，得，令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以，故.随堂检测1.如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据导函数的图象在区间内的函数的范围，判断出函数区间上各点处切线的斜率的范围，根据导函数的图象得导函数函数值的符号，得函数的单调性，再结合四个选项可得答案.【详解】由的图象可知，当时，，则在区间上，函数上各点处切线的斜率在区间内，对于A，在区间上，函数上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确；对于B，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确；对于C，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确；对于D，由的图象可知，当时，，当时，，当时，，所以函数上各点处切线的斜率在区间内，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，而函数的图象均符合这些性质，故D正确.故选：D2.若函数在区间上单调递增，则的取值范围为.【答案】【分析】利用导数，转化为，在区间恒成立，参变分离后，即可求解.【详解】，在区间恒成立，所以，在区间恒成立，即在区间恒成立，所以.故答案为：3.已知函数.(1)当时，求的单调递增区间；(2)若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）代入求导得，再次设导函数为新函数进行求导得到其单调性和其零点，从而得到的单调增区间；（2）法一：令，利用导数和零点存在定理得存在唯一正实数使得，从而得到，再利用隐零点法得，再次设新函数进行求导从而得到的范围；法二：同法一求得，则，利用基本不等式有，从而得到的范围.【详解】（1）当时，，，设又，∴在上单调递增，又，∴当时，当时，∴的单调递增区间为.（2）对函数求导得，，令，则，∴在上单调递增，又，当时，故存在唯一正实数使得，