高考数学总复习《直线、平面平行的判定及性质》专项测试卷及答案

第第页高考数学总复习《直线、平面平行的判定及性质》专项测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________复习要点1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质定理与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．一直线与平面平行1．直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．2．判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊄α，,b⊂α，,a∥b))⇒a∥α性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α，,a⊂β，,α∩β＝b))⇒a∥b二平面与平面平行1．平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面．2．判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α，,b⊂α，,a∩b＝P，,a∥β，,b∥β))⇒α∥β性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β，,α∩γ＝a，,β∩γ＝b))⇒a∥b常/用/结/论1．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．2．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．3．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．4．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．1．判断下列结论是否正确．(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．()(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．()(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)2．(2024·广东深圳福田区统考)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，有以下说法：①若m∥α，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；③若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n；④若m⊂α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n.其中正确的说法是()A．①④ B．①②④C．①②③ D．②③④解析：对于①，由m∥α，则存在直线a⊂α，使得m∥a，∵m⊥β，∴a⊥β，则α⊥β，故①正确；对于②，假设m∥n时，存在α∩β＝b，m⊂α，n⊂β，m∥b，n∥b，且m⊄β，n⊄α，符合条件，但α与β相交，故②错误；对于③，由α⊥β，设α∩β＝c，当m∥c∥n，且m⊄α，n⊄β时，m∥α，n∥β，故③错误；对于④，由m∥β，则任意直线d⊂β，直线d与直线m的位置关系为异面或平行，∵m⊂α，且α∩β＝n，∴m∥n，故④正确．故选A.答案：A3．在三棱柱ABC­A1B1C1中，D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若A1C∥平面BC1D，则D为()A．棱AB的中点 B．棱A1B1的中点C．棱BC的中点 D．棱AA1的中点解析：如图，当D为棱A1B1的中点时，取AB的中点E，连接A1E，EC，易知A1E∥BD，DC1∥EC，又DC1∩BD＝D，A1E∩EC＝E，∴平面A1CE∥平面BC1D，又A1C⊂平面A1CE，则A1C∥平面BC1D.故选B.答案：B4．如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．答案：平行四边形题型线面平行的判定与性质典例1(2023·全国乙卷，文)如图，在三棱锥P­ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2eq\r(2)，PB＝PC＝eq\r(6)，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO.本题的核心条件，特殊的位置关系，必有点F特殊的数量关系．(1)求证：EF∥平面ADO；(2)若∠POF＝120°，求三棱锥P­ABC的体积．此条件暗示△POF的特殊性，即平面POF⊥平面ABC.(1)证明：如图，连接DE.设AF＝tAC，t∈[0,1]，则eq\o(BF,\s\up15(→))＝eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(AF,\s\up15(→))＝(1－t)eq\o(BA,\s\up15(→))＋teq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(AO,\s\up15(→))＝－eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→)).由BF⊥AO，AB⊥BC，得eq\o(BF,\s\up15(→))·eq\o(AO,\s\up15(→))＝[(1－t)eq\o(BA,\s\up15(→))＋teq\o(BC,\s\up15(→))]·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\o(BA,\s\up15(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up15(→))))＝(t－1)eq\o(BA,\s\up15(→))2＋eq\f(1,2)teq\o(BC,\s\up15(→))2＝4(t－1)＋4t＝0，以{eq\o(BA,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))}为基底，进行数量积的运算，从而求得点F的特殊数量关系.以上计算集中于△ABC中．解得t＝eq\f(1,2)，则F为AC的中点．另一种有意义的逆推：因为PC∥平面DAO，若EF不平行于PC，且满足EF∥平面DAO⇒平面PAC∥平面DAO，显然错误！从而判断EF∥PC.由D，E，O，F分别为PB，PA，BC，AC的中点，可得DE∥AB，DE＝eq\f(1,2)AB，OF∥AB，OF＝eq\f(1,2)AB，即DE∥OF，DE＝OF，则四边形ODEF为平行四边形，所以EF∥DO，又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，所以EF∥平面ADO.(2)解：过P作PM垂直FO的延长线交于点M.因为PB＝PC，O是BC的中点，所以PO⊥BC，在Rt△PBO中，PB＝eq\r(6)，BO＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(2)，所以PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(6－2)＝2.因为AB⊥BC，OF∥AB，所以OF⊥BC.又PO∩OF＝O，PO，OF⊂平面POF，所以BC⊥平面POF.可推得平面POF⊥平面ABC，从而作PM⊥平面ABC时点M在FO的延长线上．又PM⊂平面POF，所以BC⊥PM.又BC∩FM＝O，BC，FM⊂平面ABC，所以PM⊥平面ABC，即三棱锥P­ABC的高为PM.因为∠POF＝120°，所以∠POM＝60°，所以PM＝POsin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).又S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，所以VP­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PM＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\f(2\r(6),3).判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行定义的逆定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．对点练1(1)(2024·四川成都模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，△BCD为等边三角形，∠DAB＝120°，AD＝AB＝PD＝PB＝2，点E为PC的中点．证明：BE∥平面PAD.(2)(2024·福建厦门双十中学月考)如图1所示，在四边形ABCD中，BC⊥CD，E为BC上一点，AE＝BE＝AD＝2CD＝2，CE＝eq\r(,3)，将四边形AECD沿AE折起，使得BC＝eq\r(,3)，得到如图2所示的四棱锥．若平面BCD∩平面ABE＝l，证明：CD∥l.图1图2(1)证明：如图，取CD的中点M，连接EM，BM，∵E为PC中点，∴EM∥PD，又EM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EM∥平面PAD.∵△BCD为等边三角形，∴MB⊥CD，∵∠DAB＝120°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝30°，∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝60°＋30°＝90°，∴AD⊥CD，∴MB∥AD.又MB⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴MB∥平面PAD.∵EM∩MB＝M，EM，MB⊂平面EMB，∴平面EMB∥平面PAD，∵EB⊂平面EMB，∴EB∥平面PAD.(2)证明：连接DE(图略)，因为CE⊥CD，CE＝eq\r(,3)，CD＝1，所以DE＝2，sin∠CDE＝eq\f(\r(,3),2)，又∠CDE∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠CDE＝eq\f(π,3)，因为DE＝2，AE＝AD＝2，所以△ADE是等边三角形，所以∠DEA＝eq\f(π,3)，故CD∥AE.又AE⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，所以CD∥平面ABE，因为CD⊂平面BCD，平面BCD∩平面ABE＝l，所以CD∥l.题型面面平行的判定与性质典例2(2024·四川绵阳中学月考)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.思考判定定理，即需要两组平行线的关系．证明：(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1，又在三棱柱ABC­A1B1C1中，B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．两条平行线确定一个平面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1綉AB，∴A1G∥EB，A1G＝eq\f(1,2)A1B1＝eq\f(1,2)AB＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.应用判定定理.平面A1EF内两条相交直线A1E，EF都平行于平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．(6)向量法：证明两平面的法向量平行．对点练2(2024·四川达州一诊)如图所示，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，P是棱AD上一点，且AP＝eq\f(a,3)，过B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝()A.eq\f(2\r(,2),3)aB.eq\f(\r(,2),3)aC.eq\f(\r(,2),2)aD.eq\f(2\r(,3),3)a解析：如图，连接BD，PD1，PB1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥DD1，BB1＝DD1，∴四边形DD1B1B是平行四边形，∴B1D1∥BD.又∵在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，∴B1D1∥PQ，∴PQ∥BD，∴∠PQD＝∠BDC，又∵∠PDQ＝∠BCD＝90°，∴△PDQ∽△BCD，∴eq\f(PQ,BD)＝eq\f(PD,BC).又∵正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，∴BC＝a，PD＝AD－AP＝a－eq\f(a,3)＝eq\f(2a,3)，BD＝eq\r(,2)a，∴PQ＝eq\f(PD·BD,BC)＝eq\f(\f(2a,3)×\r(,2)a,a)＝eq\f(2\r(,2),3)a.故选A.答案：A题型平行关系的综合应用典例3(2024·河北邯郸一中模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，AB＝3，CD＝2，PD＝AD＝5，E是PD上的一点．(1)若PB∥平面ACE，求eq\f(PE,ED)的值；此问关键在于由位置关系，推导数量关系．(2)若E是PD的中点，过点E作平面α∥平面PBC，平面α与棱PA交于点F，求三棱锥P­CEF的体积．解：(1)连接BD交AC于点O，在△PBD中，连接OE(图略)，∵OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，PB∥平面ACE，∴OE∥PB.∵AB＝3，CD＝2，利用PB∥平面ACE，由性质定理，作辅助面．平面PBD∩平面EAC＝OE，这样OE∥PB.∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(BO,DO)＝eq\f(PE,ED)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(PE,ED)的值为eq\f(3,2).(2)过点E作EM∥PC交CD于点M，过点M作MN∥BC交AB于点N，连接EN，则平面EMN即平面α，逆推：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∩平面PCD＝EM，,α∥平面PBC))⇒EM∥PC.同理：α∩平面ABC