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文档简介

湖南省怀化市重点中学2025届高三第二次调研数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知定义在R上的偶函数满足,当时,,函数(),则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为()A.2 B.4 C.5 D.62.如图,在平面四边形中,满足,且,沿着把折起,使点到达点的位置,且使,则三棱锥体积的最大值为()A.12 B. C. D.3.函数的图象在点处的切线为,则在轴上的截距为()A. B. C. D.4.已知全集,集合,,则阴影部分表示的集合是()A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A. B. C. D.6.若双曲线的焦距为,则的一个焦点到一条渐近线的距离为()A. B. C. D.7.在中,,,,点满足,则等于()A.10 B.9 C.8 D.78.关于函数,有下述三个结论:①函数的一个周期为;②函数在上单调递增;③函数的值域为.其中所有正确结论的编号是()A.①② B.② C.②③ D.③9.已知实数满足不等式组,则的最小值为()A. B. C. D.10.()A. B. C.1 D.11.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷200个点,己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是()A. B. C.10 D.12.已知f(x)=是定义在R上的奇函数,则不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集为()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-4,3) D.(-3,4)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线的两条渐近线方程为,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为.14.已知函数是定义在上的奇函数,其图象关于直线对称,当时,(其中是自然对数的底数,若,则实数的值为_____.15.已知公差大于零的等差数列中,、、依次成等比数列,则的值是__________.16.某学习小组有名男生和名女生.若从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛,则选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)[选修45:不等式选讲]已知都是正实数,且,求证:.18.(12分)已知三棱柱中,,是的中点,,.(1)求证:;(2)若侧面为正方形,求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若点在曲线上,点在曲线上,求的最小值及此时点的坐标.20.(12分)如图,内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,平面ABC,,.(1)求证:平面ACD;(2)设,表示三棱锥B-ACE的体积,求函数的解析式及最大值.21.(12分)如图,在三棱柱中,,,,为的中点,且.(1)求证:平面;(2)求锐二面角的余弦值.22.(10分)已知函数.(Ⅰ)当时,讨论函数的单调区间;(Ⅱ)若对任意的和恒成立,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由函数的性质可得:的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,由函数图像的作法可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数满足,可得的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,函数的图像与函数()的图像的位置关系如图所示,可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4.故选:B【点睛】本题主要考查了函数的性质,考查了数形结合的思想,掌握函数的性质是解题的关键,属于中档题.2、C【解析】

过作于,连接,易知,,从而可证平面,进而可知,当最大时,取得最大值,取的中点,可得,再由,求出的最大值即可.【详解】在和中,,所以,则,过作于,连接,显然,则,且,又因为,所以平面,所以,当最大时,取得最大值,取的中点,则,所以,因为,所以点在以为焦点的椭圆上(不在左右顶点),其中长轴长为10,焦距长为8,所以的最大值为椭圆的短轴长的一半,故最大值为,所以最大值为,故的最大值为.故选:C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值,考查学生的空间想象能力与计算求解能力,属于中档题.3、A【解析】

求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程,从而可求切线的纵截距.【详解】,故,所以曲线在处的切线方程为:.令,则,故切线的纵截距为.故选:A.【点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距,注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标,因此截距有正有负,本题属于基础题.4、D【解析】

先求出集合N的补集,再求出集合M与的交集,即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由,,可得或,又所以.故选:D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合,集合的交集和补集的运算,属于基础题.5、D【解析】循环依次为直至结束循环,输出,选D.点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.6、B【解析】

根据焦距即可求得参数,再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线的焦距为,故可得,解得,不妨取;又焦点,其中一条渐近线为,由点到直线的距离公式即可求的.故选:B.【点睛】本题考查由双曲线的焦距求方程,以及双曲线的几何性质,属综合基础题.7、D【解析】

利用已知条件,表示出向量,然后求解向量的数量积.【详解】在中,,,,点满足,可得则==【点睛】本题考查了向量的数量积运算,关键是利用基向量表示所求向量.8、C【解析】

①用周期函数的定义验证.②当时,,,再利用单调性判断.③根据平移变换,函数的值域等价于函数的值域,而,当时,再求值域.【详解】因为,故①错误;当时,,所以,所以在上单调递增,故②正确;函数的值域等价于函数的值域,易知,故当时,,故③正确.故选:C.【点睛】本题考查三角函数的性质,还考查推理论证能力以及分类讨论思想,属于中档题.9、B【解析】

作出约束条件的可行域,在可行域内求的最小值即为的最小值,作,平移直线即可求解.【详解】作出实数满足不等式组的可行域,如图(阴影部分)令,则,作出,平移直线,当直线经过点时,截距最小,故,即的最小值为.故选:B【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义,属于基础题.10、A【解析】

利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式,结合复数的模长公式可求得结果.【详解】,,因此,.故选:A.【点睛】本题考查复数模长的计算,同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用,考查计算能力,属于基础题.11、D【解析】

直接根据几何概型公式计算得到答案.【详解】根据几何概型:,故.故选:.【点睛】本题考查了根据几何概型求面积,意在考查学生的计算能力和应用能力.12、C【解析】

由奇函数的性质可得,进而可知在R上为增函数,转化条件得,解一元二次不等式即可得解.【详解】因为是定义在R上的奇函数,所以,即,解得,即,易知在R上为增函数.又,所以,解得.故选:C.【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用,考查了一元二次不等式的解法,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】由已知,即,取双曲线顶点及渐近线,则顶点到该渐近线的距离为,由题可知,所以,则所求双曲线方程为.14、【解析】

先推导出函数的周期为,可得出,代值计算,即可求出实数的值.【详解】由于函数是定义在上的奇函数,则,又该函数的图象关于直线对称,则,所以,,则,所以,函数是周期为的周期函数,所以,解得.故答案为:.【点睛】本题考查利用函数的对称性计算函数值,解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数的周期,考查推理能力与计算能力,属于中等题.15、【解析】

利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质,化简求出公差与的关系,然后转化求解的值.【详解】设等差数列的公差为,则,由于、、依次成等比数列,则,即,,解得,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用,考查计算能力,属于基础题.16、【解析】

从7人中选出2人则总数有,符合条件数有,后者除以前者即得结果【详解】从7人中随机选出2人的总数有,则记选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为事件,∴故答案为:【点睛】组合数与概率的基本运用,熟悉组合数公式三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解析】试题分析:把不等式的左边写成形式,利用柯西不等式即证.试题解析:证明:∵,又,∴考点:柯西不等式18、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)取的中点,连接,,证明平面得出,再得出;(2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,计算,即可得出答案.【详解】(1)证明:取的中点,连接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分别是,的中点,,.(2)解:四边形是正方形,,又,,平面,平面,在平面内作直线的垂线,以为原点,以,,为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,设平面的法向量为,,,则,即,令可得:,,,,.直线与平面所成角的正弦值为,.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质,考查空间向量与空间角的计算,属于中档题.19、(1);(2)最小值为,此时【解析】

(1)消去曲线参数方程的参数,求得曲线的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式,求得曲线的直角坐标方程.(2)设出的坐标,结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法,求得的最小值及此时点的坐标.【详解】(1)消去得,曲线的普通方程是:;把,代入得,曲线的直角坐标方程是(2)设,的最小值就是点到直线的最小距离.设在时,,是最小值,此时,所以,所求最小值为,此时【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程,考查极坐标方程转化为直角坐标方程,考查利用圆锥曲线的参数求最值,属于中档题.20、(1)见解析(2),最大值.【解析】

(1)先证明,,故平面ADC.由,即得证;(2)可证明平面ABC,结合条件表示出,利用均值不等式,即得解.【详解】(1)证明:∵四边形DCBE为平行四边形,∴,.∵平面ABC,平面ABC,∴.∵AB是圆O的直径,∴,且,平面ADC,∴平面ADC.∵,∴平面ADC.(2)解∵平面ABC,,∴平面ABC.在中,,.在中,∵,∴,∴,∴.∵,当且仅当,即时取等号,∴当时,体积有最大值.【点睛】本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积,考查了学生逻辑推理,空间想象,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.21、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)证明后可得平面,从而得,结合已知得线面垂直;(2)以为坐标原点,以为轴,为轴,为建立空间直角坐标系,设,写出各点坐标,求出二面角的面的法向量,由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值.【详解】(1)证明:因为,为中点,所以,又,,所以平面,又平面,所以,又,,所以平面.(2)由已知及(1)可知,,两两垂直,所以以为坐标原点,以为轴,为轴,为建立空间直角坐标系,设,则,,,,,.设平面的法向量,则,即,令,则;设平面的法向量,则,即,令,则,所以.故锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查证明线面垂直,解题时注意线面垂直与线线垂直的相互转化.考查求二面角,求空间角一般是建立空间直角坐标系,用向量法易得结论.22、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)首先求得导函数,然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可;(Ⅱ)

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