2023-2024学年广东省部分名校高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省部分名校高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知y=3x为双曲线C：x2m−yA.13 B.1 C.19 2.在等差数列{an}中，若a1+A.4 B.6 C.8 D.33.圆C：(x+2)2+y2=4和圆DA.内切 B.相交 C.外切 D.外离4.在数列{an}中，若a1=1A.−1 B.−2 C.3 D.45.若直线l的一个方向向量为a=(1,−1,−1)，平面α的一个法向量为b=(1,2,−1)，则(

)A.l//α B.l⊂α C.l⊥α D.l//α或l⊂α6.如图1，抛物面天线是指由抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面)反射器和位于焦点上的照射器(馈源，通常采用喇叭天线)组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为θ，若AF=4,θ=2π3，则F到该抛物线顶点的距离为(

)A.2 B.3 C.4 D.67.在三棱锥SABC中，∠ASC=π3,∠BSC=∠ASB=π2，且SA=SB=SC=1，若M满足SM=SA+2A.72 B.32 C.8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2的直线交双曲线C右支于A.2 B.3 C.2 D.二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列直线与直线l：2x+y+1=0平行，且与它的距离为5的是(

)A.x−2y+6=0 B.2x+y+6=0 C.2x+y−4=0 D.x−2y−4=010.已知直线l：y=k(x+2)，双曲线C：x2−y2A.当k=1时，l与C只有一个交点 B.当k=−1时，l与C只有一个交点

C.当k=12时，l与C的左支有两个交点 D.当k=2时，l与11.已知数列{an}为等比数列，设{an}的前n项和为Sn，{an}的前nA.an=2n−19 B.{Sn+1}为等比数列

C.12.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN折成了直二面角(其中M对应钟上数字3，N对应钟上数字9).设MN的中点为O，|MN|=43，已知长度为2的时针OA指向了钟上数字8，长度为3的分针OB指向了钟上数字12，现在小王准备安装长度为3的秒针OC(安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细)，则下列说法正确的是(

)

A.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则OA⊥BC

B.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则NA//平面OBC

C.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则BC与AM所成角的余弦值为147

D.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则四面体OABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量m=(3,a,b)(a,b∈R)与n=(1,2,3)共线，则a+b=______．14.写出与圆x2+y2=1相切，且在x15.在原点O处发射一束激光，经过直线l：x+y−4=0反射后撞击Q处的一个中子.已知Q的坐标为(3,0)，光束射到l的位置为点P，则P的坐标为______．16.如图所示的数阵由数字1和2构成，将上一行的数字1变成1个2，数字2变成2个1，得到下一行的数据，形成数阵，设an是第n行数字1的个数，bn是第n行数字2的个数，则a6+a7=四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知{an}为等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=1，a3=b2，b2=18.(本小题12分)

已知圆C经过点A(0,4)，B(2,6)，且圆心C在直线y=x+2上．

(1)求线段AB的垂直平分线的方程及圆C的标准方程；

(2)若直线l：x−y=0与圆C相交于D，E两点，圆C与y轴相切于点F，求△DEF的面积．19.(本小题12分)

已知抛物线C：x2=−2py(p>0)的焦点为F，A(x0,−6)是C上的点，且|AF|=15．

(1)求C的方程；

(2)已知直线l交C于M，N两点，且MN的中点为20.(本小题12分)

如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1=2AD，E为DD1上一点．

(1)证明：AC⊥B21.(本小题12分)

记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1,{Snan}是公差为12的等差数列．

(1)求{an}的通项公式；

22.(本小题12分)

动点M(x,y)与定点F(−1,0)的距离和它到直线：x=−4的距离的比是常数12，点M的轨迹为C．

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)若过F的直线l与C交于A，B两点，点P是C上一点，|PF|的最大值为m，最小值为n，且|AF|,m2+n22,|BF|参考答案1.A

2.B

3.A

4.A

5.D

6.B

7.D

8.A

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.ACD

13.15

14.x+y+2=0(15.(1616.16

2n+117.解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，

因为a3=b2，b2=a2+1，所以a3=a2+1，即d=1，

所以an18.解：(1)设线段AB的垂直平分线的斜率为k，则线段AB的中点为(1,5),kAB=6−42−0=1，

所以kAB⋅k=−1，则k=−1，所以线段AB的垂直平分线的方程为y=−x+6．

由y=−x+6y=x+2，解得x=2y=4，得圆心C(2,4)，所以r=|AC|=(2−0)2+(4−4)2=2，

所以圆C的标准方程为(x−2)2+(y−4)2=4．

(2)圆心C到直线l的距离d=|2−4|2=19.解：(1)因为A(x0,−6)是抛物线C上的点，且|AF|=15，

所以|AF|=6+p2=15，

解得p=18，

则抛物线C的方程为x2=−36y；

(2)易知直线l的斜率存在，

不妨设直线l的斜率为k，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

因为M，N两点都在抛物线C上，

所以x12=−36y1x22=−36y20.(1)证明：由题可知，BB1⊥平面ABCD，

∴BB1⊥AC，连接BD，∵四边形ABCD为正方形，

∴AC⊥BD，又BB1∩BD=B，

∴AC⊥平面B1BDE，又B1E⊂平面B1BDE，

∴AC⊥B1E；

(2)解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB=1，E(0,1,a)，0⩽a⩽2，

则A(0,0,0),B1(1,0,2),C(1,1,0),AE=(0,1,a),B1E=(−1,1,a−2)，

易知m=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，

21.解：(1)因为a1=1，故S1a1=1，

所以数列{Snan}是以1为首项，12为公差的等差数列，

即有Snan=1+12(n−1)=n+12，化为Sn=n+12an，

则Sn+1=n+22an+1，两式相减得an+1=n+22an+1−22.解：(1)设点M(x,y)