2024年沪教版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪教版高一数学下册月考试卷835考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知直线a∥直线b，直线b∥平面α；则直线a与平面α的位置关系是（）

A.a∥α

B.a与α相交。

C.a⊂α

D.a∥α或a⊂α

2、下面的函数中，周期为的偶函数是A.B.C.D.3、【题文】已知集合则等于（）A.B.C.D.4、【题文】如下四个函数，其中既是奇函数，又在是增函数的是()A.B.C.D.5、有下列关系：（1）人的年龄与他（她）体内脂肪含量之间的关系；（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；（3）红橙的产量与气候之间的关系；（4）学生与他（她）的学号之间的关系．其中有相关关系的是（）A.（1）、（2）B.（1）、（3）C.（1）、（4）D.（3）、（4）6、已知角α在第三象限，且cosα=﹣则sinα的值为（）A.B.-C.D.-7、已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为12，则实数a的值为（）A.B.2C.3D.4评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、（2009•宜昌校级自主招生）已知：如图，凸五边形ABCDE中，S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1，则S五边形ABCDE=____．9、已知则f（x）=____．10、【题文】若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：

。x

1

2

3

4

x

1

2

3

4

f(x)

2

3

4

1

g(x)

2

1

4

3

则f(g(1))＝____________，满足g(f(x))＝1的x值是________．11、【题文】已知不等式x2－2x＋1－a2＜0成立的一个充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围应满足________．12、【题文】函数在区间(–∞，2)上为减函数，则的取值范围为▲.13、【题文】若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是____．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)14、已知正实数a，b，c成等差数列，且a+b+c=15．

（I）求b的值；

（II）若a+1，b+1；c+4成等比数列；

（i）求a；c的值；

（ii）若a，b，c为等差数列{an}的前三项，求数列的前n项和．

15、已知函数的部分图象如下图，其中是的角所对的边.（1）求的解析式；（2）若中角所对的边求的面积16、己知3sinβ=sin（2α+β），求证：tan（α+β）=2tanα．17、已知函数f（x）的定义域为（0；+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）且当x＞1时，f（x）＞0．

（1）判断函数f（x）在其定义域（0；+∞）上的单调性并证明；

（2）解不等式f（x）+f（x-2）≤3．18、已知函数y=2sin（）（x∈R）

列表：

。xy（1）利用“五点法”画出该函数在长度为一个周期上的简图；

作图：

（2）说明该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变换得到．19、已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（a+c，b-a），=（a-c，b），且⊥．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若2sin2=1，判断△ABC的形状．20、已知平面内两点A（4；0），B（0，2）

（1）求过P（2；3）点且与直线AB平行的直线l的方程；

（2）设O（0，0），求△OAB外接圆方程．评卷人得分四、计算题(共4题，共24分)21、已知α，β为锐角，tanα，tanβ是一元二次方程6x2-5x+1=0的两根，求锐角α+β的值．（备选公式）22、若f（x）=，则方程f（4x）=x的根是____．23、△ABC中，AB=AC=5厘米，BC=8厘米，⊙O分别切BC、AB、AC于D、E、F，那么⊙O半径为____厘米．24、（2005•深圳校级自主招生）如图所示；MN表示深圳地铁二期的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区．取MN上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75度．已知MB=400m．通过计算判断，如果不改变方向，地铁路线是否会穿过居民区，并说明理由．

（1.732）

解：地铁路线____（填“会”或“不会”）穿过居民区．评卷人得分五、证明题(共2题，共16分)25、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．26、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分六、综合题(共3题，共30分)27、已知二次函数y=x2-2mx-m2（m≠0）的图象与x轴交于点A；B，它的顶点在以AB为直径的圆上．

（1）证明：A；B是x轴上两个不同的交点；

（2）求二次函数的解析式；

（3）设以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长．28、若记函数y在x处的值为f（x），（例如y=x2，也可记着f（x）=x2）已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象如图所示，且ax2+（b-1）x+c＞0对所有的实数x都成立，则下列结论成立的有____．

（1）ac＞0；

（2）；

（3）对所有的实数x都有f（x）＞x；

（4）对所有的实数x都有f（f（x））＞x．29、已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧）；且A点坐标为（-4，4）．平行于x轴的直线l过（0，-1）点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系；并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】

因为直线a∥直线b，直线b∥平面α

所以若a⊈α；则a∥α．

或者a⊂α．

故选D．

【解析】【答案】利用线面平行的性质定理进行判断．

2、B【分析】试题分析：A、B、C、D四个选项中只有是偶函数，周期为故选B．考点：三角函数的周期性与奇偶性【解析】【答案】B3、B【分析】【解析】因为所以。

【解析】【答案】B4、C【分析】【解析】解：对于A；由于函数y=-x+1是R上的减函数，故A错；

对于B，因为y=x3是R上的增函数，所以y=-x3是R上的减函数；故B错；

对于C，函数y=-满足f（-x）=-f（x）；所以函数是奇函数；

又因为函数的图象是分布在二；四象限的双曲线；所以在（-∞，0）上函数是增函数，故C正确；

对于D，函数y=3=根据幂函数y=是R上的增函数，可得是R上的减函数；故D不正确．

故选C【解析】【答案】C5、B【分析】【解答】解：∵相关关系是一种不确定的关系；是非随机变量与随机变量之间的关系；

（2）；（4）是一种函数关系；

∴具有相关关系的有：（1）（3）；

故选：B．

【分析】相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，（2）（4）是一种函数关系，（1）（3）的两个变量具有相关性．6、B【分析】【解答】解：∵角α在第三象限，且cosα=﹣

∴sinα＜0，且sinα=﹣

故选：B

【分析】根三角函数同角的关系式进行求解．7、C【分析】解：①当0＜a＜1时。

函数y=ax在[1；2]上为单调减函数。

∴函数y=ax在[1，2]上的最大值与最小值分别为a，a2；

∵函数y=ax在[1；2]上的最大值与最小值和为12

∴a+a2=12；

∴a=3（舍）

②当a＞1时。

函数y=ax在[1；2]上为单调增函数。

∴函数y=ax在[1，2]上的最大值与最小值分别为a2；a

∵函数y=ax在[1；2]上的最大值与最小值和为12

∴a+a2=12；

∴a=3；

故选：C

对底数a分类讨论；根据单调性，即可求得最大值与最小值，列出方程，求解即可得到a的值．

本题考查了函数最值的应用，但解题的关键要注意对a进行讨论，属于基础题．【解析】【答案】C二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】【分析】先根据AB∥CF，BC∥AF得出ABCF为平行四边形，再根据△DEF∽△ACF，求出S△AEF的面积，即可求出五边形ABCDE的面积．【解析】【解答】解：∵AB∥CF；BC∥AF；

∴，即S△ABC=S△ACF=1；

又∵AC∥DE；

∴△ACF∽△DEF

设S△AEF=x，则S△DEF=1-x；

∵△AEF的边AF与△DEF的边DF上的高相等；

∴=；

∵△DEF∽△ACF；

∴===1-x；

整理解得x=；

故SABCDE=3S△ABC+S△AEF==．

故答案为：．9、略

【分析】

∵

设t≥-1；

则x=（t+1）2；

∴f（t）=（t+1）2-1=t2+2t；t≥-1．

∴f（x）=f（x）=x2+2x（x≥-1）．

故答案为：x2+2x（x≥-1）．

【解析】【答案】由设t≥-1，则x=（t+1）2；由此能求出f（x）．

10、略

【分析】【解析】f(g(1))＝f(2)＝3；由g(f(x))＝1，知f(x)＝2，所以x＝1.【解析】【答案】3，111、略

【分析】【解析】由题意可知；当0＜x＜4时；

x2－2x＋1－a2＜0成立；

令f(x)＝x2－2x＋1－a2；

∴f(4)＜0得；a＜－3或a＞3；

f(0)＜0得；a＞1或a＜－1.

综上，a＞3或a＜－3.【解析】【答案】a＜－3或a＞312、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】的解集为空集，就是1=[]max＜

所以【解析】【答案】三、解答题(共7题，共14分)14、略

【分析】

（I）由题意，得

由（1）（2）两式，解得b=5（4分）

（II）（i）因为a+1，b+1；c+4成等比数列；

所以（a+1）（c+4）=（b+1）2（3）

由（2）式，得c=10-a代入（3），整理得a2-13a+22=0

解得a=2或a=11

故a=2；c=8或a=11，c=-1（舍）

所以a=2；c=8（8分）

（ii）因为a，b，c为等差数列{an}的前三项；

所以

当x=1时，数列的前n项

当x≠1时，数列的前n项①②

①-②：=

所以（12分）

【解析】【答案】（I）利用正实数a，b，c成等差数列，且a+b+c=15，建立方程组，即可求b的值；

（II）（i）根据等比数列的性质，结合正实数a，b，c成等差数列，且a+b+c=15；即可求a，c的值；

（ii）确定数列的图象；分类讨论，利用等差数列求和公式及错位相减法，即可得到结论．

15、略

【分析】试题分析：（1）根据图像可知的最大值为可知再根据周期可得再由的图像一个最高点的坐标为可知从而结合可得因此所求解析式为（2）根据面积计算公式可知只需求得的值，即可求得的面积，而条件中结合（1）中所求，即可建立关于的方程，从而求得的值：由得，即联立得试题解析：（1）∵由图像可知2分函数的最小正周期得3分由得4分∵∴5分故6分（2）由得，7分即8分又∵得10分由得，11分13分考点：1.三角函数的图像和性质；2.三角恒等变形.【解析】【答案】（1）（2）16、证明：将条件化为：3sin[（α+β）﹣α]=sin[（α+β）+α]，

展开得：3sin（α+β）cosα﹣3cos（α+β）sinα

=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，即：2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，

由cos（α+β）cosα≠0，两边同除以cos（α+β）cosα，

可得：tan（α+β）=2tanα．【分析】【分析】把已知等式左边的角β变为（α+β）﹣α，右边的角2α+β变为（α+β）+α，然后左右两边分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，移项合并后，在等式两边同时除以cosαcos（α+β），利用同角三角函数间的基本关系变形可得证。17、略

【分析】

（1）设0＜x1＜x2⇒＞1；依题意，利用单调性的定义可证得，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；

（2）f（x）+f（x-2）≤3⇔f（x）+f（x-2）≤f（8）⇔解之即可．

本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的应用及函数的单调性，考查方程思想与综合运算能力，属于中档题．【解析】解：（1）函数f（x）在定义域（0；+∞）上单调递增．

证明如下：

设0＜x1＜x2，则＞1；

∵当x＞1时，f（x）＞0恒成立，f（x）+f（）=0；

∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（）=f（）＞0；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴函数f（x）在定义域（0；+∞）上单调递增；

（2）∵f（x）+f（x-2）≤3=f（8）；且函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；

∴解得：2＜x≤4；

∴不等式f（x）+f（x-2）≤3的解集为{x|2＜x≤4}．18、略

【分析】

（1）直接利用五点法列出表格；在给的坐标系中画出图象即可．

（2）利用平移变换与伸缩变换；直接写出变换的过程即可．

本题考查三角函数图象的画法，三角函数的伸缩变换，基本知识的考查．【解析】解：（1）列表：

。0π2πxy020-20作图：

（6分）

（2）由y=sinx（x∈R）的图象向左平移单位长度，得到y=sin（）（8分）

纵坐标不变，横坐标伸长原来的2倍，得到函数y=sin（）（10分）

横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=2sin（）．（12分）19、略

【分析】

（Ⅰ）利用向量的数量积的坐标运算可得c2=a2+b2-ab，再利用余弦定理可得cosC=从而可得角C的大小；

（Ⅱ）利用降幂公式可得cosA+cosB=1，而C=从而可得利用三角恒等变换可得从而可得A，继而可判断△ABC的形状．

本题考查△ABC的形状的判断，着重考查向量的数量积的坐标运算，余弦定理的应用及三角恒等变换的综合应用，属于中档题．【解析】解：（Ⅰ）由题意得

即c2=a2+b2-ab（3分）

由余弦定理得∵0＜C＜π，∴（6分）

（Ⅱ）∵∴1-cosA+1-cosB=1（7分）

∴（9分）

∴∴

∴∵0＜A＜π，∴（11分）

∴△ABC为等边三角形．（12分）20、略

【分析】

（1）求出直线的斜率；利用点斜式求出直线方程；

（2）根据题意；△AOB是以AB为斜边的直角三角形，因此外接圆是以AB为直径的圆．由此算出AB中点C的坐标和AB长度，结合圆的标准方程形式，即可求出△AOB的外接圆的方程．

本题着重考查了直线方程，考查圆的方程、中点坐标公式和三角形形状的判断等知识，属于基础题．【解析】解：（1）由已知得．

由点斜式

∴直线l的方程x+2y-8=0．

（2）OA⊥OB；可得△AOB的外接圆是以AB为直径的圆。

∵AB中点为C（2，1），|AB|=2．∴圆的圆心为C（2，1），半径为r=．

可得△AOB的外接圆的方程为（x-2）2+（y-1）2=5．四、计算题(共4题，共24分)21、略

【分析】【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到tanα+tanβ=，tanα•tanβ=，然后利用题中给的公式有tan（α+β）=；把

tanα+tanβ=，tanα•tanβ=整体代入得到tan（α+β）==1，再根据特殊角的三角函数值即可得到锐角α+β的值．【解析】【解答】解：∵tanα，tanβ是一元二次方程6x2-5x+1=0的两根；

∴tanα+tanβ=，tanα•tanβ=

∵tan（α+β）=；

∴tan（α+β）==1；

∴锐角（α+β）=45°．22、略

【分析】【分析】由f（4x）=x建立方程，进行化简配方可解得方程的根．【解析】【解答】解：∵f（4x）=x；

∴（x≠0）

化简，得4x2-4x+1=（2x-1）2=0；

解得；

故答案为：．23、略

【分析】【分析】设圆O的半径是r厘米，连接AO、OE、OF、OD、OB、0C，根据等腰三角形性质求出AD⊥BC，根据勾股定理求出高AD，求出△ABC面积，根据S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO和三角形面积公式代入求出即可．【解析】【解答】解：设圆O的半径是r厘米；

连接AO；OE、OF、OD、OB、0C；

则OE=OF=OD=r厘米；

∵△ABC中；AB=AC，⊙O分别切BC；AB、AC于D、E、F；

∴AD过O；AD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC；

∴BD=DC=×8=4；

根据勾股定理得：AD==3；

∴S△ACB=BC×AD=×8×3=12；

∵S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO；

∴12=BCr+ABr+ACr；

∴r=；

故答案为：．24、略

【分析】【分析】问地铁路线是否会穿过居民区，其实就是求A到MN的距离是否大于圆形居民区的半径．如果大于则不会穿过，反正则会．如果过A作AC⊥MN于C，那么求AC的长就是解题关键．在直角三角形AMC和ABC中，AC为共有直角边，可用AC表示出MC和BC的长，然后根据MB的长度来确定AC的值．【解析】【解答】解：地铁路线不会穿过居民区．

理由：过A作AC⊥MN于C；设AC的长为xm；

∵∠AMN=30°；

∴AM=2xm，MC=m；

∵测得BA的方向为南偏东75°；

∴∠ABC=45°；

∴∠ABC=∠BAC=45°；

∴AC=BC=x；

∵MB=400m；

∴；

解得：（m）

≈546（m）＞500（m）

∴不改变方向，地铁线路不会穿过居民区．五、证明题(共2题，共16分)25、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．26、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．六、综合题(共3题，共30分)27、略

【分析】【分析】（1）求出根的判别式；然后根据根的判别式大于0即可判断与x轴有两个交点；

（2）利用根与系数的关系求出AB的长度；也就是圆的直径，根据顶点公式求出顶点的坐标得到圆的半径，然后根据直径是半径的2倍列式即可求出m的值，再把m的值代入二次函数解析式便不难求出函数解析式；

（3）根据（2）中的结论，求出圆的半径，弦心距，半弦，然后利用勾股定理列式求出半弦长，弦CD的长等于半弦的2倍．【解析】【解答】解：（1）证明：∵y=x2-2mx-m2（m≠0）；

∴a=1，b=-2m，c=-m2；

△=b2-4ac=（-2m）2-4×1×（-m2）=4m2+4m2=8m2；

∵m≠0；

∴△=8m2＞0；

∴A；B是x轴上两个不同的交点；

（2）设AB点的坐标分别为A（x1，0），B（x2；0）；

则x1+x2=-=-=2m，x1•x2==-m2；

∴AB=|x1-x2|===2；

-=-=m；

==-2m2；

∴顶点坐标是（m，-2m2）；

∵抛物线的顶点在以AB为直径的圆上；

∴AB=2（2m2）；

即2=2（2m2）；

解得m2=；

∴m=±；

∴y=x2-2×x-=x2-x-，或y=x2+2×x-=x2+x-；

即抛物线解析式为：y=x2-x-或y=x2+x-；

（3）根据（2）的结论，圆的半径为2m2=2×=1；

弦CD的弦心距为|m|=；

∴CD==；

∴CD=2×=．28、略

【分析】【分析】（1）抛物线开口向上；则a＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，则c＞0，可判断（1）正确；

（2）根据ax2+（b-1）x+c＞0对所有的实数x都成立；可得到抛物线与x轴没有交点，则△＜0，变形△＜0即可对（2）进行判断；

（3）把ax2+（b-1）x+c＞0进行变形即可得到ax2+bx+c＞x；

（4）把f（x）作为变量得到f（f（x））＞f（