2024年沪教版高三数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪教版高三数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是（）A.x＞3B.x＜3C.x＞4D.x＜42、△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB=3，且，则AD的长为（）A.1B.C.D.33、有10级台阶，一次每步跨上一级，二级或三级，共7步走完，则不同的走法总数是（）A.175B.42C.77D.354、设全集U=R，集合A={x|x≥3}，B={x|0≤x＜5}，则集合（∁UA）∩B=（）

A.{x|0＜x＜3}

B.{x|0≤x＜3}

C.{x|0＜x≤3}

D.{x|0≤x≤3}

5、已知和点M满足若存在实数m使得成立，则m=（）A.2B.3C.4D.56、下列命题中正确的是（）A.如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B.过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C.平面a不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD.若直线l不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l垂直的直线评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、计算5=____．8、直线y=-1的图象与曲线y=x2-|x|+a的图象有四个不同的交点，则实数a的取值范围是____．9、已知，且点P（a，b）在幂函数f（x）的图象上，则f（8）=____．10、归纳原理分别探求：

（1）凸n边形的内角和f（n）=____；

（2）凸n边形的对角线条数f（n）=____；

（3）平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f（n）=____．11、若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1）且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=则实数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内零点的个数为____．12、已知sinθ+2cosθ=0，则=______．评卷人得分三、判断题(共7题，共14分)13、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）14、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）15、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）16、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）17、空集没有子集．____．18、任一集合必有两个或两个以上子集．____．19、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、证明题(共1题，共8分)20、在三棱锥S-ABC中；平面SAB⊥平面SBC，BC⊥SA，AS=AB，过A作AP⊥SB，垂足为F，点E；G分别是棱SA，SC的中点。

求证：（1）平面EFG∥平面ABC；

（2）AB⊥BC．评卷人得分五、计算题(共3题，共21分)21、已知，，则tan（β-2α）=____．22、在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是____．23、已知α、β是锐角，cosα=，cosβ=，求α+β的值．评卷人得分六、综合题(共4题，共12分)24、已知函数f（x）=，在x=0，x=处存在极值。

（1）求实数a，b的值；

（2）函数y=f（x）的图象上存在两点A；B，使得△AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围；

（3）当c=e时，讨论关于x的过程f（x）=kx（k∈R）的实根个数．25、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，E为AA1的中点，O是BD1的中点．

（Ⅰ）求证：平面A1BD1⊥平面ABB1A1；

（Ⅱ）求证：EO∥平面ABCD．26、已知命题p：对任意x∈[，2]，都有x2-（a2-a）x+1≤0，若p是真命题，求实数a的取值范围．27、1个科学家与其余16个人通信，他们通信所讨论的仅有三个问题，而任意两个科学家之间通信讨论的是同一个问题，证明至少有三个科学家通信时所讨论的是同一个问题．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】【分析】由x＞π⇒x＞3，而反之不成立，即可判断出结论．【解析】【解答】解：由x＞π⇒x＞3；而反之不成立，因此x＞π的一个必要不充分条件是x＞3．

故选：A．2、C【分析】【分析】作DG∥AB，DH∥AC，证明△ADH≌△ADG，可得AG=DH=AC，根据△BDH∽△BCA，可得BH=BA=1，从而HA=HD=2，根据等腰三角形知识可求AD的长．【解析】【解答】解：如图，作DG∥AB，DH∥AC，则向量，∴AG=AC

因为AD平分∠BAC；所以∠BAD=∠DAC=30°

因为DG∥AB；所以∠ADH=30°=∠DAH，所以AH=DH

同理；AG=DG

∴△ADH≌△ADG

∴AG=DH=AC

又因为△BDH∽△BCA，所以BH=BA=1

所以HA=HD=2

根据等腰三角形知识可知AD=23、C【分析】【分析】设出在上台阶的过程中，上一级，两级和三级的次数，根据共有10级，要走7步，列出方程，根据设出的位置上不小于零知，有两种情况，针对于两种情况进行分析，得到结果．【解析】【解答】解：设跨上一级的x次；二级的y次，三级的z次，那么。

x+2y+3z=10；x+y+z=7，x，y，z≥0．

那么y+2z=3；两种情况：y=3，z=0，x=4．

所以有3次跨上2级；7次跨上一级．

有C73=35方法从7步去选择2级的3步的位置．

y=1，z=1，x=5，先在7步中选择3级位置的C71；

然后在剩下6步中选择2级的位置C61；共有7×6=42．

∴根据分类计数原理知总共有35+42=77种走法．

故选C．4、B【分析】

因为A={x|x≥3}，所以∁UA={x|x＜3}，所以（∁UA）∩B═{x|0≤x＜3}．

故选B．

【解析】【答案】先根据补集的定义求出集合A的补集∁UA，然后和集合B进行交集运算，可求（∁UA）∩B．

5、B【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于和点M满足则可知点M是三角形的重心，同时存在实数m使得成立，则可知那么解得m=3，故答案为B.考点：角平分线定理【解析】【答案】B6、B【分析】解：如果两条直线都平行于同一个平面；

那么这两条直线平行；相交或异面；故A不正确；

由平面与平面垂直的判定定理；

知过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直；故B正确；

由平面与平面垂直的判定定理；知平面a不垂直平面β；

则平面α内不存在直线垂直于平面β；故C不正确；

由直线与平面垂直的性质定理；知若直线l不垂直于平面α；

则在平面α内存在与l垂直的直线；故D不正确．

如果两条直线都平行于同一个平面；那么这两条直线平行；相交或异面；由平面与平面垂直的判定定理，知B正确；由平面与平面垂直的判定定理，知C不正确；由直线与平面垂直的性质定理，知D不正确．

本题考查平面的基本定理及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象力的培养．【解析】【答案】B二、填空题(共6题，共12分)7、略

【分析】【分析】根据对数的运算性质即可求出答案【解析】【解答】解：5=5×=5×3=15；

故答案为：158、略

【分析】【分析】在同一个坐标系中，画出直线y=-1与曲线y=x2-|x|+a=的图象，根据它们的图象有四个不同的交点，可得a-＜-1＜a，从而求得a的范围．【解析】【解答】解：在同一个坐标系中，画出直线y=-1与曲线y=x2-|x|+a=的图象；

根据它们的图象有四个不同的交点，可得a-＜-1＜a，解得；

故答案为（-1，-）．9、2【分析】【分析】先化简a，b得点P的坐标，再设幂函数f（x）=xa，由点P在幂函数y=f（x）的图象上，知2a=，由此能求出f（x），最后将x=8代入即可求得结果．【解析】【解答】解：a==2，b==；

∴P（2，）．

设幂函数f（x）=xa；

∵点（2，）在幂函数y=f（x）的图象上；

∴2a=；

∴a=．

∴f（x）=x．

∴f（8）=2

故答案为：2．10、（n-2）180°2+（n-1）n【分析】【分析】本题考查的知识点是归纳推理（1）由三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，五边形的内角和为540°，我们进行归纳推理，易得到结论；（2）我们由三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，我们进行归纳推理，易得到结论；（3）我们由两个圆相交将平面分为4分，三个圆相交将平面分为8分，四个圆相交将平面分为14部分，我们进行归纳推理，易得到结论．【解析】【解答】解：（1）∵三角形的内角和为180°；

四边形的内角和为360°=2×180°；

五边形的内角和为540°=3×180°

故凸n边形的内角和f（n）=（n-2）180°

（2）∵三角形有0=条对角线；

四边形有2=条对角线；

五边形有5=条对角线

凸n边形的对角线条数f（n）=

（3）∵一个圆将平面分为2份

两个圆相交将平面分为4=2+2份；

三个圆相交将平面分为8=2+2+4份；

四个圆相交将平面分为14=2+2+4+6份；

平面内n个圆；其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f（n）=2+（n-1）n

故答案为：（n-2）180°，，2+（n-1）n11、8【分析】【解答】解：因为f（x+2）=f（x），所以函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数，因为x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2；所以作出它的图象，则y=f（x）的图象如图所示：（注意拓展它的区间）

再作出函数g（x）=的图象；

容易得出到交点为8个．

故答案为：8．

【分析】由f（x+2）=f（x），知函数y=f（x）（x∈R）是周期为2的函数，进而根据f（x）=1﹣x2与函数g（x）=的图象得到交点为8个．12、略

【分析】解：由sinθ+2cosθ=0；

得=tanθ=-2；

所以

=（tanθ+1）2

=（-2+1）2

=1．

故答案为：1．

由sinθ+2cosθ=0求出tanθ的值；再用平方关系与弦化切，求值即可．

本题主要考查了同角的三角函数关系应用问题，是基础题．【解析】1三、判断题(共7题，共14分)13、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×14、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√15、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×16、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√17、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．18、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．19、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、证明题(共1题，共8分)20、略

【分析】【分析】（1）由三角形中位线性质得EF∥AB；从而EF∥平面ABC，同理：FG∥平面ABC，由此能证明平面EFG∥平面ABC．

（2）由已知条件推导出AF⊥BC，利用BC⊥SA，由此能证明BC⊥面SAB，即可证明AB⊥BC．【解析】【解答】证明：（1）∵AS=AB；AF⊥SB，∴F是SB的中点；

∵E；F分别是SA、SB的中点；

∴EF∥AB；

又∵EF⊄平面ABC；AB⊆平面ABC；

∴EF∥平面ABC；

同理：FG∥平面ABC；

又∵EF∩FG=F；EF；FG⊆平面ABC；

∴平面EFG∥平面ABC．

（2）∵平面SAB⊥平面SBC；平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面SAB；

∴AF⊥SB；

∴AF⊥平面SBC；

又∵BC⊂平面SBC；∴AF⊥BC；

∵BC⊥SA；SA∩AF=A，SA；AF⊂平面SAB；

∴BC⊥面SAB；

∵AB⊂面SAB；

∴BC⊥AB．五、计算题(共3题，共21分)21、【分析】【分析】由同角三角函数间的倒数关系tanαcotα=1，由cotα的值求出tanα的值，然后把所求式子中的角β-2α，变形为-（2α-β），根据正切函数为奇函数，得到tan（β-2α）=-tan（2α-β），再利用两角和与差的正切函数公式化简，将各种的值代入即可求出值．【解析】【解答】解：∵tanαcotα=1，cotα=；

∴tanα=2，又tan（α-β）=；

则tan（β-2α）

=-tan（2α-β）

=-tan[α+（α-β）]

=-

=．

故答案为：22、【分析】【分析】先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ=，求出圆的直角坐标方程，求出圆心和半径，然后求点的极坐标即可．【解析】【解答】解：∵圆的极坐标方程是=，即；

则该圆直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即=4；

表示以A（1，）为圆心半径等于2的圆；

AO=2，sinθ=，cosθ=，故可取θ=π；

该圆的圆心的极坐标是；

故答案为：．23、略

【分析】【分析】根据α，β均为锐角，求出sinα，sinβ的值，再根据余弦函数和的公式，求出cos（α+β），进而确定α+β的值．【解析】【解答】解：；α是锐角

∴

；β是锐角

∴

∵0＜α+β＜π

∴六、综合题(共4题，共12分)24、略

【分析】【分析】（1）当x＜1时，先对函数f（x）进行求导，由题意知x=0，x=是方程f′（x）=0的两实根，由韦达定理可求出a，b的值．

（2）根据分段函数，分类讨论，利用=0；结合函数思想即可求实数c的取值范围．

（3）将方程转化为函数y=k与y=f（x），将方程根的问题转化为函数图象交点问题解决．【解析】【解答】解：（1）当x＜1时，f′（x）=-3x2+2ax+b．

由极值点的必要条件可知x=0，x=是方程f′（x）=0的两根；

则0+=，0×=-，解得a=1，b=0．

（2）由（1）知，f（x）=；

根据条件得A，B的横坐标互为相反数，不妨设A（-t，t3+t2）；B（t，f（t）），（t＞0）．

若t＜1，则f（t）=-t3+t2；

由题意=0，即-t2+（t3+t2）（-t3+t2）=0；此时t=0，不合题意，舍去；

若t≥1，则f（t）=c（et-1-1）．

由于AB的中点在y轴上；且∠AOB是直角，所以B点不可能在x轴上，即t≠1．

同理由=0，即-t2+（t3+t2）•c（et-1-1）=0；

∴c=．

由于函数g（t）=（t＞1）的值域是（0；+∞）；

∴实数c的取值范围是（0；+∞）

（3）当c=e时，f（x）=．

当x≥1时，f′（x）=＞0；此时函数在[1，+∞）上是增函数；

如图，又当x=时，f（x）取得极大值；

由图象知当k∈（0，）时；函数y=k与y=f（x）有3个不同的交点，即方程有3个实根．

故实数k的取值范围为（0，）．25、略

【分析】【分析】（Ⅰ）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为A1D1⊥平面ABB1A1，A1D1⊂平面A1BD1，利用面面垂直的性质推断出平面A1BD1⊥平面ABB1A1．

（Ⅱ）连接BD，AC，设BD∩AC=G，连接0G．证明四边形AGOE是平行四边形，所以OE∥AG，又因为EO⊄平面ABCD，AG⊂平面ABCD．所以EO∥平面ABCD．【解析】【解答】证明：（Ⅰ）在正方体ABCD-A1B1