函数与方程思想在数列问题的解题研究

函数与方程思想在数列问题的解题研究目录TOC\o"1-3"\h\u254891.绪论 5178851.1.研究现状 531671.2.研究意义 562301.3.研究内容与方法 579142.理论基础 6289172.1.数学的思想与方法 6230162.2.函数与方程思想的概述 642282.3.函数与方程的联系 6113332.4.数列的基础理论 777992.5.普通高中课程标准中函数与方程部分解读 8109903.函数与方程思想在数列问题的解题研究 85283.1.在数列含参量问题中的应用 8220223.2.在数列最值中的应用 985153.3.函数的周期性和单调性的应用 10124493.4.函数的不动点和函数变换的应用 1171644.数列解题教与学的建议 1219124.1.学习建议 1237204.2.教学建议 1326174参考文献 1431773致谢 14摘要：数学教育担负着立德树人的根本任务、发挥了综合性教育的重要功效。它反映出强烈的教育取向,其中一项主要的特征就是数学学科基本知识,涵盖了数学抽象、逻辑推理、数字构造、直觉思维、数学计算与统计分析。为了在高考中获得理想的分数,最关键的要具有良好的数学思想品质与较好的数学素质,而良好的思想品质和较好的数学素质的形成,离不开对数学思维方式的训练。函数与方程思想是高中数学思想之一，它在数学解题过程中广泛应用，包含了在解三角、不等式、解析几何、立体几何、数列问题各个方面的应用，贯穿了整个高中。数列作为一种特殊的函数，数列问题的解题思路往往与函数与方程思想密切相关，在一些数列的综合创新应用问题中,可以回归数列的函数本质,借助相应函数的构建与应用,利用函数的单调性、最值等基本性质来分析与解决相应的数列问题。因此，研究函数与方程思想在数列问题的解题中的应用，可以帮助学生更好地理解和掌握数列问题的解题方法，提高其解题能力。关键词:函数与方程思想；数列；解题绪论研究现状在数学思想方法的研究领域，已经涌现出大量的论文。然而，关于“函数与方程思想”的应用和解题方面的研究相对较少。尽管一些学者已经探讨了该思想的应用和教学指导，但这些研究还不够全面，也没有形成完整的体系。因此，本文将重点研究“函数与方程思想”在数列问题中解题的应用。研究意义函数与方程思想是高中数学教学的基石，对于解决数列问题尤为重要。在高考中，与函数和数列相关的题目占据显著比例，尤其是与函数相关的试题大约占20%的比重。这些题目往往结合其他知识点进行综合考察，不仅要求考生掌握丰富的知识，还要求他们灵活应用函数与方程思想。因此，本文的研究具有双重意义：一方面帮助学生从函数的新视角理解数列，另一方面拓宽他们的思维视野，提升解决复杂问题的能力。研究内容与方法对函数与方程思想在数学教育中的重要性研究，对函数与方程思想的基本概念和数列问题的解题难点研究，函数与方程思想在数列问题中的应用方法和实例分析研究。高考数学中涉及到很多数列问题，因此，系统研究函数与方程思想在高考数学中的应用，可以深入挖掘函数与方程思想在数列问题中的应用，提高学生的高考数学解题能力。探究学生在函数与方程思想方法方面的短板和优势，并提出相应的教学策略和方法，以提高学生的数学解题能力。本研究采用文献综述和实证研究相结合的方法，以收集和分析现有的研究和实践资料为主，以问卷调查为辅。具体方法如下：1.文献综述：通过查阅相关的学术论文、研究报告、政策文件等，对己有的研究和实践进行系统分析和综合评价。2.实证研究：通过收集有关函数与方程思想再数列问题的应用的资料，对现状和存在的问题进行深入了解和分析。3.综合分析：将文献综述和实证研究的结果进行综合分析，提出相应的解决方案和发展建议。理论基础数学的思想与方法数学思维方法从小学就开始渗透，实际上，在知识大爆炸的新时代，无论是成人还是儿童，无论是教师还是学生，我们大多数人无法像智能机器人那样记忆大量的知识，但我们掌握了思考的方法、学习的方法、创新的方法，就能够不断进步，具备可持续发展的终身学习能力，适应日新月异的时代，因此数学思想方法对人的影响是终身的。数学思想是人们对数学理论与内容核心概念的深入领悟。在常见的数学四大思想中，函数与方程的思想揭示了变量之间的动态关系与静态等式；分类讨论的思想则有助于我们按照不同情况细分问题，逐一攻克；变换与化归的思想则是将复杂问题转化为简单问题的有力工具；数形结合的思想则通过直观图形与抽象数学语言的结合，深化了我们对问题的理解。此外，还有许多其他数学思想在实际应用中发挥着重要作用，它们从不同角度帮助我们解决数学问题，拓宽了我们的思维视野。函数与方程思想的概述函数思想的核心在于忽略非数学特征，为考虑的数学对象构建数学模型。这涉及到建立各变量间的函数关系，并利用函数表达式结合其性质，如奇偶性、单调性、周期性、最值以及不动点变换等来解决问题。作为最基础的数学思想之一，函数思想不仅有助于提升学生的问题分析观察能力，还能培养他们的独创性和发散性思维。此外，函数思想常常与方程思想、化归思想以及建模思想相互交融，共同应用于数学问题的解决中。鉴于函数知识涉及的内容如此丰富，学生需要熟练掌握函数相关的横向和纵向知识，并能够灵活应用。方程思想是基于题目中各个变量的等量关系，通过设立未知量并建立包含已知条件的方程或方程组来解决问题的思维方式。作为最基础的数学思想之一，它对于解决数学问题具有重要意义。深入掌握函数与方程思想，不仅有助于解决数列问题，还能够促进数学素养的培养。REF_Ref32566\r\h[1]函数与方程的联系函数与方程，这两者间存在着深刻的内在联系，犹如数学中的一对亲密伙伴。在解题或实际应用中，它们往往能够相互转化，共同揭示问题的本质。方程的解，实质上是寻找函数图像的零点，或是两个函数图像交点的横坐标值。这一过程，实际上是在利用函数的大小关系，确定方程中自变量的取值范围，从而深刻体现了函数与方程之间的内在联系。正是这种相互转化的灵活性，使得我们在解决问题时能够游刃有余，将复杂的问题简化，从而更容易找到答案。无论是利用方程求解函数的零点，还是通过函数关系确定方程的自变量范围，都体现了函数与方程在解题中的相辅相成，共同引领我们走向问题的深处，揭示其内在的奥秘。函数思想的核心在于构建相应的函数模型，深入探究问题中的变量变化。这种思想强调从发展和联系的角度观察变量的动态运动，从而有效应用函数原理解决数学问题。相对地，方程思想则侧重于建立等式关系，即研究运动中的静态部分。函数与方程，一动一静，相互补充，它们的灵活运用能够显著提升解题效率。实际上，函数的研究与方程的研究紧密相连，包括方程的建立与求解过程，都是函数研究中不可或缺的一环。函数与方程思想是将函数思想与方程思想相互融合，通过二者的联系形成的一种综合性的数学思维方式。我们需灵活运用函数与方程思想来解决相关的数列问题。这不仅是深化数学理解的关键，也是高考中考察学生能力的重要方面。数列的基础理论数列的定义：数列是按照一定顺序排列着的一列数，在函数的意义下，数列是某一定义域为正整数或它的有限子集1,2,3,4⋯n的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，其图像是无限个或者有限个孤立的点，数列的一般形式为a1a2数列的通项公式：当数列的第n项an与项数n数列的表示方法：解析法，列表法，图像法。表一：等差（等比）数列的基本性质等差数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠通项公式aa等差（等比）中项对任意两个数a,b有且仅有一个等差中项a+b如果a,b,c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2前n项和公式SS=特殊性质在等差数列{an}中，若m,n,p,q∈N∗，则有若m+n=p+q，则有am+an=ap+a在等比数列{an}中，若m,n,p,q∈N∗，则有若m+n=p+q，则有aman=apaq,特别地，若普通高中课程标准中函数与方程部分解读普通高中数学课程标准强调数学素养的培养，注重数学知识与实际生活的结合，倡导自主学习、合作学习和探究学习。新版高中数学课程标准提出核心素养的概念，注重数学学科的本质和特点，强调数学思想和方法的培养。同时，新版标准还强调培养学生的创新意识和实践能力。相比较而言，新版标准更注重数学学科的本质和特点，强调数学思维方法的培养。函数与方程在高中的很多知识点中占据重要地位，应用广博，是学习的重点之一。函数与方程思想在数列问题的解题研究在数列含参量问题中的应用数列作为一种特殊的函数，考虑等差数列{an}，其通项公式an可以看作关于n的一次函数，记为an=dn+(a1−d)，前n项和Sn可以看作关于n的二次函数，记为Sn=例一：已知数列{an}的通项公式满足6n2−(t+3a解答：设等差数列{an}的通项公式为an=kn+b，把通项公式代入条件得6n2−t+3(kn+b)n+2(kn+b)=0例二：设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn解答：设等差数列{an}的公差为d,则an=dn+(a1−d)，Sn=d例三：设{an}是首项为a，公差为d(d≠0)的等差数列，且前n项和为Sn，令bn=nSnn解答：由已知{bn}为等差数列，令bn=kn+b,Sn=An2+Bn，则有kn+b=nSnn在数列最值中的应用若数列{an}是等差数列，并设Sn为其前n项和，根据等差数列的定义有Sn由于等差数列的前n项和Sn=d2n2+(a1−d2)n，根据二次函数的性质，可以讨论a1,d的符号，以及对称轴x=−a1−d2d若d<0，则函数m+k=2n即m+k2=n为正整数，则等差数列{anm+k=2n+1，则等差数列{an}的第m+k−1若d>0，则函数m+k=2n即m+k2=n为正整数，则等差数列{anm+k=2n+1，则等差数列{an}的第m+k−1例一：等差数列{an}中，a1>0，Sn解答：由S9=S18有9a1+9×82例二：公比为q的等比数列{an}满足：a9=lna解答：由于a9=lna10=lna9q=lna9+lnq>0，则有lnq=a9例三：设{an}是公差为2的等差数列，Sn为其前n项和，若{nSn}为递增数列，求a1的取值范围。解答：由已知Sn=na1+n(n−1)2×2=n2+(a1−1)n，则nSn=n3+(a1−1)n2，由{函数的周期性和单调性的应用数列是一种特殊的函数，所以可以从函数的角度，利用函数与方程思想解决数列问题，其中函数的单调性和周期性都是函数的重要性质。因此可以利用函数的性质解决数列的有关问题，不仅实现了函数思想方法的正迁移，还有利于利用单调性解决数列有关问题进行分类解析并作一定层次的挖掘REF_Ref1241\r\h[5]；由于数列是定义域为正整数或它的有限子集的函数，可以通过导数等方法确定相关函数的单调性，在正整数的定义域内求数列的最值，解决相关数列最值问题。例一：已知等差数列{an}的通项公式为an=2n，Sn为其前n项和，设bn=1解答：由于an=2n，Sn=n(n+1)，bn=1Sn+1+1Sn+2+1Sn+3+⋯+1S2n=1(n+1)(n+2)+1数列作为特殊的函数，相应于周期函数有周期数列的定义：若对任意的n∈N∗，存在一个常数T(T∈N∗)，恒有an+T=an，则称{an}是以T表二：常见的周期数列及其周期数列的递推关系周期a3a3a4a2a6例二：已知定义在R上的函数f(x)对于任意的x都有f(x+2)=1+f(x)1−f(x)成立，设an=f(n)解答：由函数的递推关系得：f(x+4)=1+f(x+2)1−f(x+2)=1+1+f(x)1−f(x)1−1+f(x)1−f(x)=−1f(x)，则有例三：已知数列{an}中，an+1+(−1)na解答：由于an+1+(−1)nan=2n−1，变形则有an+2+(−1)n+1an+1=2n+1，(−1)nan+1+an=(−1)例四：数列{an}中，a1=1，a2=2，若对一切n∈N∗有ana解答：取n=1得a3=3，n=2得a4=1，n=3得a5=2，n=4得a6=3；可以猜测数列是周期为3的周期数列，由已知有对一切n∈函数的不动点和函数变换的应用不动点原理是数学上一个重要的定理，也叫压缩映像原理或巴拿赫不动点原理，完整表述为完备的度量空间上，到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点。用初等数学表达为连续映射f的定义域包含值域，存在一个x使得f(x)=x。函数的不动点在解方程，求函数的解析式以及求解数列问题中应用广泛。REF_Ref1421\r\h[7]定理：若数列{xn}满足xn+1=f(xn)，且存在α(0<α<1)，使dfdx证明：由已知结合拉格朗日中值定理有xn+1−xn=f(xn)−f(xn−1)=dfdx(例一：函数f(x)=x2−2x−3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P(4,5),解答：由已知由直线PQn的方程为y=f(xn)−5xn−4(x−4)+5=(xn2−2xn−3)−5xn−4(x−4)+5=(xn+2)(x−4)+5对于等差数列和等比数列，我们对其已经有了了解，对于不是这两类的数列，可以通过函数变换，转化为这两类数列，使问题简化从而解决相关问题。例二：已知数列{an}中，a1=2，当n≥2时，解答：对an=an−12an−1+1取倒数有2+1an−1=例三：数列{an}中，a1=1，解答：由已知有(n+4)an+1=3nan，等式两边同乘以(n+1)(n+2)(n+3)得(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)an+1=3n(n+1)(n+2)(n+3)an，通过观察令bn=n(n+1)(n+2)(n+3)a数列解题教与学的建议学习建议“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，提升数列解题能力，不仅要学会灵活应用函数与方程思想解决数列问题的各种题型，还需要学生通过大量的练习，在不断的重复训练下能形成永久记忆，最终为学生的数列解题打下扎实的基础。可以通过练习相关的综合题目，培养其解决综合问题的能力。学生应该具有举一反三的能力，学会剖析问题的本质，找到构建解决问题的数学模型。平时练习中可以从多个角度思考，尝试一提多解，即用两种或两种以上的解法解答问题，课余时间可多与同学交流，互相学习，不仅可以开拓自己的思维角度，还可以相互提出比较个性的解题方法，查漏补缺，促进其解题能力的提高。同时，可以多查阅辅导书等资料中的典型一题多解问题，适当应用“题海战术”，开拓思维。REF_Ref2766\r\h[8]在考试中，学生难免会紧张，面对关于数列的综合问题，其实都是纸老虎，我们只要平时训练到位，加上扎实的基本功和良好的心态，就能解答出来了。以平常心对待考试，就能发挥出最佳水平。在考试前，我们应该保持适当的放松不要过度焦虑以及充足的睡眠时间，可以使我们在考试保持清醒的头脑和更加聚精会神的思考数学问题，保证考试质量，更好的发现自己的不足以便查漏补缺。REF_Ref2796\r\h[9]教学建议数列，本质上是一种特殊的函数，其定义域仅限于正整数。在教学过程中，教师可以巧妙地从函数的角度来阐述数列的概念，并列举一些生活中常见的数列实例，从而帮助学生将抽象的数列概念具体化。随后，教师可以循序渐进地引导学生了解一般数列的定义。解决数列问题时，通常需要运用函数知识。为此，教师可以针对性地选择一些题目，指导学生运用函数与方程的思想去解答数列问题，并鼓励学生尝试一题多解，培养他们的思维灵活性和创新能力。值得注意的是，函数与方程思想在数列问题中占据着举足轻重的地位，是解决这类问题的基本且重要的思维方式。因此，在数列教学中，教师应强调其重要性，并让学生认识到转化思想等其他数学方法在数列问题中同样有着广泛的应用。当然，教师在这一过程中主要扮演引导者的角色，而学生则是学习的主体。教