备战2024年高考数学一轮复习易错题08不等式含解析

易错点08不等式—备战2024年高考数学一轮复习易错题【典例分析】（2024年一般高等学校招生全国统一考试数学）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依据，结合基本不等式及二次函数学问进行求解.【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.【易错警示】易错点1．随意消项致误【例1】解不等式;．【错解】原不等式可化为：，因为，所以，所以，故原不等式的解集为：．【错因】错误是由于随意消项造成的，事实上，当时，原不等式亦成立．【正解】原不等式可化为：或，解得或或．所以原不等式的解集为：易错点2．认为分式不等式与二次不等式等价致误【例2】解不等式;．【错解】原不等式可化为：，解得，所以原不等式的解集为．【错因】没有考虑分母不能为0【正解】原不等式可化为：，解得，所以原不等式的解集为．易错点3．不等式两边同乘一个符号不确定的数致误【例3】解不等式;．【错解】不等式两边同乘以得：，解得，所以原不等式的解集为．【错因】两边同乘以，导致错误【正解】原不等式可化为：，解得或，所以原不等式的解集为．易错点4．漏端点致误【例4】集合，且，则实数的取值范围是______【错解】，若使，需满意．解得，所以实数a的取值范围是．【错因】忽视了集合的两个端点值-1和2，其实当时，满意；当时，即时也满意．【正解】若使，需满意，解得，所以实数的取值范围是．易错点5．忽视基本不等式成立的前提“正数”【例5】求函数的值域．【错解】因为，所以函数的值域为．【错因】没有考虑为负数的情形．【正解】由题意，函数的定义域为．当时，，当时取得等号；当时，，当时取得等号．综上，求函数的值域是．易错点6．忽视基本不等式取等的条件【例6】求函数的最小值．【错解】函数，所以函数的最小值为2．【错因】运用基本不等式求函数的最值时，肯定验证等号成立的条件即才能取等号．上述解法在等号成立时，在实数范围内是不成立的．【正解】，令，在时是单调递增的，．故函数的最小值是．易错点7．多次运用基本不等式，忽视等号是否同时成立【例7】已知两个正实数，满意，求的最小值．【错解】由已知得，，所以最小值是2．【错因】两次运用基本不等式，其中等号成立必需满意，而的等号成立时，必需有，因为均为正数，所以两个等号不会同时成立，所以上述解法是错误的．【正解】，当且仅当且，即时取等号，，即最小值为．【变式练习】一、单选题1．（2024·贵州铜仁伟才学校高一期中）已知，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：取a=-2,b=-1,代入到各个选项中得到正确答案为C．2．（2024·河北省高二开学考试）若正数a，b满意，则的最小值为（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】因为，所以，因为a，b为正数，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为16，故选：C.3．（2024·广东省执信中学高二月考）“”是“，成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】时，，“，”等价于，而可推出，不能推出，所以“”是“，”成立的充分不必要条件，故选A.4．（2024·贵州铜仁伟才学校高一期中）若不等式对随意实数均成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，不等式，可化为，当，即时，不等式恒成立，符合题意；当时，要使不等式恒成立，需，解得，综上所述，所以的取值范围为，故选C．5．（2024·安徽省太和第一中学高一期末）设正实数满意，则当取得最大值时，的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，且，则，即，取等号时有：，且；，当且仅当时取得最大值：，故选：B.二、多选题6．（2024·山东省泰安一中高二期中）下列说法正确的有（）A．不等式的解集是B．“，”是“”成立的充分条件C．命题，，则，D．“”是“”的必要条件【答案】ABD【解析】由得，，，A正确；时肯定有，但时不肯定有成立，如，满意，但，因此“，”是“”成立的充分条件，B正确；命题，，则，，C错误；不能推出，但时肯定有成立，“”是“”的必要条件，D正确．故选：ABD．7．（2024·宁阳县第四中学高二期末）若，则下列不等式,其中正确的有（）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由题：由基本不等式可得：，所以A正确；当时，，所以B错误；，所以，即，所以C正确；因为，所以即，所以D正确.故选：ACD8．（2024·山东省高三其他）对于实数a，b，m，下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若且，则【答案】ABCD【解析】对实数a，b，m．，，A正确；，分三种状况，当时，；当时，；当时，，成立，B正确；，，，C正确；若，且，，且．，设，，在区间上单调递增，，即，D正确．故选：ABCD9．（2024·山东省高三其他）已知函数，若在和处切线平行，则（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由题意知，因为在和处切线平行，所以，即，化简得，A正确；由基本不等式及，可得，即，B错误；，C错误；，D正确．故选：AD10．（2024·海南省高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD【真题演练】1．【2024年新高考全国Ⅰ】已知a>0，b>0，且a+b=1，则A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.2．【2024年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形态可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去）.故选：C．【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算实力，是一道简单题.3．【2024年高考浙江】设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有2个元素，且S，T满意：①对于随意的x，yS，若x≠y，则xyT；②对于随意的x，yT，若x<y，则S．下列命题正确的是A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素【答案】A【解析】首先利用解除法：若取，则，此时，包含4个元素，解除选项D；若取，则，此时，包含5个元素，解除选项C；若取，则，此时，包含7个元素，解除选项B；下面来说明选项A的正确性：设集合，且，，则，且，则，同理，，，，，若，则，则，故即，又，故，所以，故，此时，故，冲突，舍.若，则，故即，又，故，所以，故，此时.若，则，故，故，即，故，此时即中有7个元素.故A正确.故选：A．【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后依据此新定义去解决问题，有时还须要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学学问，所以说“新题”不肯定是“难题”，驾驭好三基，以不变应万变才是制胜法宝.4．【2024年高考全国II卷理数】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满意，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满意的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满意的序列是A． B． C． D．【答案】C【解析】由知，序列的周期为m，由已知，，对于选项A，，不满意；对于选项B，，不满意；对于选项D，，不满意；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解实力以及数学运算实力，是一道中档题.5．【2024年高考江苏】已知，则的最小值是▲．【答案】【解