2025年人教版高考数学一轮复习：利用导数研究函数的单调性、极值和最值（八大考点）

考点巩固卷06利用导数研究函数的单调性、极值和最值

（八大考点）

考点01：利用导数求函数的单调区间

考点02:求已知函数的极值与最值

考点03:已知函数在区间上递增（递减）求参数

考点04:已知函数存在单调区间或在区间上不单调求参数

利用导数研究函数的单调性、极值和最值

考点01:利用导数求函数的单调区间

求已知函数（不含参）的单调区间

①求y=/（x）的定义域

②求广（X）

③令/'（X）＞0,解不等式，求单调增区间

④令/'（%）＜0,解不等式，求单调减区间

注：求单调区间时，令/'（尤）＞0（或/'（x）＜0）不跟等号.

1.己知函数/（x）=2x—31I1X+2O22,则的单调递减区间为（）

B.C.D.

2.函数〃x）=x-21nx的单调递减区间是（）

A.(-oo,2)B.(2,+oo)

C.(0,2)D.(-8,0)

3.函数/(x)=(x-3)e'的单调递增区间是()

A.(-叫2]B.[0,3]C.[1,4]D.[2,+8)

4.函数〃x)=x2-lnx单调递减区间是()

5.已知函数〃x)=x+liw,其导函数为尸(x).

⑴求〃x)在(U)处的切线方程；

⑵求g⑺=/(x)+2/⑺的单调区间.

6.已知函数〃x)=lnx-1+l(其中a为常数).

(1)当。=-1时，求函数"X)的单调区间；

(2)求函数/(X)在％£口,2］上的最小值.

7.已知函数/⑴二环还小q-

⑴当。=0时，求函数的单调区间；

(2)当。=1时，证明：/(x)<|.r+l;

(3)若/(x)既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围.

8.设函数/(力=尤2-(a+2)x+alnx(aeR).

⑴若x=3是的极值点，求a的值，并求/*)的单调区间;

⑵讨论了(尤)的单调性；

(3)若f(x)21,求。的取值范围.

9.已知函数/(尤)=l+1+alnx(a>0)

X

(1)求函数/(无)的单调区间;

(2)函数/(x)有唯一零点X］,函数g(x)=x-sinx-0在R上的零点为巧.证明：玉<3.

e

10.已知函数〃x)=x+ln(依)+'xeX.

⑴当a=l时，求曲线y=/(x)在点(L〃l))处切线的斜率；

⑵当a=-1时，讨论了(x)的单调性.

考点02:求已知函数的极值与最值

1.函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y=«x)在点x=a的函数值五。)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，(a)=0；而且在点x=a附

近的左侧,(尤)<0,右侧/(x)>0.则。叫做函数y=A尤)的极小值点，式①叫做函数>=大尤)的极小值.

(2)函数的极大值：

函数y=/(x)在点x=b的函数值近6)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，/'(6)=0；而且在点x=b附

近的左侧,(尤)>0,右侧,(x)<0.则6叫做函数y=/(尤)的极大值点，式6)叫做函数y=/(x)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

2.函数的最大(小)值

(1)函数式尤)在区间［a,切上有最值的条件：

如果在区间出，切上函数y=Kx)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y=/(x)在区间［a,切上的最大(小)值的步骤：

①求函数y=/(x)在区间(a,6)上的极值；

②将函数y=#x)的各极值与端点处的函数值八0,共6)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小

值.

11.函数/■(x)=gd+x2-3x+l,则下列结论错误的是()

A.〃x)在区间(0,2)上不单调B.〃x)有两个极值点

C.有两个零点D.在(-8,0)上有最大值

12.函数/(x)=31nx+；x2-4元的极大值为()

57

A.—2B.—C.—3D.—

22

13.函数〃x)=lnx-W的极大值为()

e

A.—2B.0C.eD.1

14.若函数〃x)=；x3+尤2-1在(a,a+5)上存在最小值，则实数。的取值范围是.

15.已知函数/(X)=F(2XT),若方程f(x)-左=0有2个不同的实根，则实数%的取值范围是

x-1

16.已知函数/(x)=e£—aln(x+l)的图象在点(0,〃0))处的切线过点(2,1).

(1)求实数。的值；

(2)求〃％)的单调区间和极值.

17.已知函数/(%)=丁+alnx.

⑴当a=-2时，求函数〃x)的图象在点(e〃e))处的切线方程

(2)当a=-2时，求函数/⑺的极值

(3)若g(x)=/(x)+：在口,+功上是单调增函数，求实数a的取值范围.

18.已知函数/'(x)=x+ln(av)+—无e*(a<0).

⑴求函数的极值；

(2)若集合卜7(x)2-1｝有且只有一个元素，求。的值.

19.已知函数f(x)=lnx-x.

2

⑴求函数g(无)=/(幻+2》-4111龙-一的单调区间和极值；

X

(2)若不等式/(x)<(a-l)x+1在(0,+A)上恒成立，求实数。的取值范围.

20.已知/(x)=e2.

(1)求/(x)的单调区间，并求其极值；

(2)画出函数/'*)的大致图象；

(3)讨论函数g(x)=fM-a+l的零点的个数.

考点03:已知函数在区间上递增(递减)求参数

已知函数/(九)在区间。上单调

①已知/(%)在区间。上单调递增oVxe。，/'(x)»0恒成立.

②已知"天)在区间。上单调递减oVxeD,/'(x)W0恒成立.

注：1.在区间内/'(x)>0(/'(x)<0)是函数“X)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件;

2.可导函数〃x)在区间(。,6)是增(减)函数的充要条件是：Vxe(a,b)都有广(“三O(/'(x)WO),且「⑺

在m6)的任意一个子区间内都不恒为。；

3.由函数在区间(。))是增(减)函数，求参数范围问题，可转化为了'(x)》O(/'(x)〈O)恒成立问题求解.

21.若函数〃x)=alnx-x的单调递增区间是(0,2),则”()

A.—2B.—C.-D.2

22

Iyyi

22.已知函数/(%)=彳/—/——7在。,+8)上单调递增，则实数加的取值范围是()

3x-1

A.(-oo,-l]B.1°0，；C.[-l,+oo)D.

23.已知函数〃x)=lnx-依2+%在区间1I,刀上单调递增，则实数〃的最大值是()

A.1B.—C.—D.—

842

24.已知函数〃%)=/—加+尤_5在R上单调递增，则〃的最大值为()

A.3B.-3C.y/sD.—\/3

25.已知函数，(尤)=疝箕-痛之为定义域上的减函数，则加的取值范围是()

A.B.(0,1]C,[1,+co)D.[e,-H»)

26.若对任意的不、々,且不>%，[一；[：*>>3,则机的最大值是.

27.已知函数“力=尤2+(彳一2户-2了+5在区间(3»7-1,加+2)上不单调，则机的取值范围是.

28.若函数/(尤)=:vsinx+cosx-g/在(0,+8)上单调递增，则实数。的取值范围为.

29.已知函数/(x)=xln(x+l)-x2+依(aeR).

(1)若f(x)在定义域内是单调函数，求。的取值范围;

⑵若f(x)有两个极值点耳，巧，求证：xt+x2>0.

30.已知函数/+ax—2a21nx

(1)写出函数的定义域，求当。=1时/■(X)的单调区间；

(2)若a>0,在区间(0,2)上为减函数，求a的取值范围.

考点04:已知函数存在单调区间或在区间上不单调求参数

已知函数/(%)在区间。上不单调O玉使得广(%)=。(且。是变号零点)

31.函数〃x)=(l-x)lnx+依在(1,—)上不单调的一个充分不必要条件是()

A.tZG(l,+oo)B.«e(-oo,0)C.«6(0,+<»)D.ae(-l,+oo)

32.已知函数/(x)=«x+lnx+3在区间(1,2)上不单调，则实数。的取值范围是()

33.已知函数/(x)=lnx-依-2在区间(1,2)上不单调，则实数。的取值范围为()

即B.化1]

A.

(2)

(12、

C.D.

4(23J

7

34.已知函数在(1,欣)上不单调，〃x)=aY+：则实数a的取值范围是()

A.S,1)B.(0,1)C.d-R)

35.已知函数/(X)=,以3+犬2+X

+3在［0,2］上不单调，则a的取值范围是()

A.B-

。ITT

=一;Y+6x-81nx在，加+1］上不单调，则实数相的取值范围是(

36.已知/(工)

A.(L2)B.(3,4)C.(l,2]u[3,4)D.(1,2)U(3,4)

7

37.已知函数〃x)=aY+二在(1,—)上不单调，则实数。的取值范围是()

X

A.B.(0,1)C.(1,+co)D.［0,£|

38.已知函数"无)=g依3-2x(aeR).

⑴若。=2,求函数的极小值；

(2)讨论函数/(尤)的单调性；

(3)若/⑶=3,令g(x)=〃x)+Hnx,且g(x)在(0,应］上不单调，求实数机的取值范围.

39.已知函数/(x)=e「a(x+l),OeR,若在［0』上不单调,求a的取值范围.

40.已知函数〃x)=$3+办2_5x+6在x=_l处取得极大值，且极大值为3.

⑴求a,6的值：

⑵求“X)在区间(加,2机-1)上不单调，求机的取值范围.

考点05:利用函数的单调性比较大小

①/卜）=皿在（0,e）T在（e,+。。）,，在x=e时，取得最大值且为！

xe

②极大值左偏，且/⑵=/⑷

③若0<b<a<e,则^>Wb。=ab>b°

ab

e<b<a<+oo,贝!<lnb"na"<Z?"

ab

口诀：大指小底永为大（大小指e）

。心思想二：对数等比定市）

111InxInyminx+ninyInz

log”X=1。乱y=zn嬴=嬴—1na+〃1nL.a+,山沙

mn

mlnx+nlny_In%根+lny〃_Inxy_Inzz_xm

mlntz+nln/?mlntz+nln/?mlntz+nln/?mln^z+nln/7

41.若函数/(x)对任意的XER都有/'(x)v/(x)+2成立，则2/(ln2)与/(21n2)-2的大小关系为()

A.2/(ln2)>/(21n2)-2B.2/(ln2)</(21n2)-2

C.2/(ln2)=/(21n2)-2D.无法比较大小

1314

42.已知./陋=旦］泰，则下列有关。，仇。的大小关系比较正确的是()

(2024Je(2023J

A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

43.比较-小…Jc=9的大小关系为（）

A.a>c>bB.b>c>a

C.b>a>cD.a>b>c

44.若函数/(x)对任意的xeR都有r(x)</(x)恒成立，贝U2/(2)与e2/(ln2)的大小关系正确的是()

A.2"2)>e2/(ln2)B.2/(2)=e2/(ln2)

C.2/(2)<e2/(ln2)D.无法比较大小

45.对于一些不太容易比较大小的实数,我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知a=6ln5,b=7M,c=81-3,

要比较。，b,。的大小，我们就可通过构造函数/(x)=lnxln(ll-x)来进行比较，通过计算，你认为下列关

系正确的一项是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

46.已知“=百，6=ln(6+1),c=H/，试比较a,b,c的大小()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

47.我们比较熟悉的网络新词，有“抄办”、“内卷”、“躺平”等，定义方程〃x)=T(x)的实数根x叫做函数

的“躺平点”.若函数g(x)=e*-X,/?(%)=Inx,o(x)=2023x+2023的“躺平点”分别为a,b,c,则a,b,

c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

5i

48.设a=ln—,O=—,c=e4,比较。1,。的大小关系()

44

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

1ln2ln3

49.已知〃=|1『，6=[(]3，。=(理17，试比较区40的大小关系()

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

50.已知〃=!力二e】。-l,c=Win竺,，试比较。涉,c大小关系()

999

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

考点06:利用函数单调性处理抽象不等式

单调性定义的等价形式

(1)函数〃X)在区间[a㈤上是增函数：

=任取再,％e[a,b],且再</，者口有/(尤1)一/(%)<0；

o任取再，尤e[a,b],且再x2,〉0;

%]~X2

=任取七,%&[a,b],且芭工/，(占一%)1/(%)一/(%)]>。；

=任取石,%e[a,b]，且不H%—->0

(2)函数〃x)在区间[a㈤上是减函数:

=任取e[a,b],且X]</，都有/(占)一/(%)>。；

o任取尤1，%e[a,瓦|,且七H%，"')一<0;

M-x2

=任取再,％2^[a,b],且占,(%1-x2)[/(%1)-/(%2)]<0;

O任取再,％e[a,“，且再H%，―7T^<°-

定义法判断函数奇偶性

判断了(-x)与/(尤)的关系时，也可以使用如下结论：

f(—九)

如果/(—X)-/(%)=。或女尸=l(/(x)w0),则函数/(%)为偶函数；

如果/(—X)+/(%)=0或玄]=-l(/(x)w0),则函数/(九)为奇函数.

利用单调性、奇偶性解不等式原理

1、解〃加)</5)型不等式

(1)利用函数的单调性，去掉函数符号"f,将"抽象”的不等式问题转化为"具体"的不等式问题求

解；

(2)若不等式一边没有函数符号"于：而是常数(如/(机)<。)，那么我们应该将常数转化带有函数符

号的函数值再解。

2、”同为奇函数，形如“加)+/(〃)<0的不等式的解法

第一步：将/(〃)移到不等式的右边，得到/(间>-/(〃)；

第二步：根据/(%)为奇函数，得到/(771)>/(-«)；

第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号,列出不等式求解。

51.已知函数〃"=ln(e'+e)关于x的不等式/(刈的解集为[凡+°°),则尸+皿-。)=()

A.-2B.-1C.0D.1

52.若函数"x）=lnx与g（x）=；ax-l（a＞0）的图象有且仅有一个交点，则关于x的不等式

/■（彳一4）＜。一1—5"5的解集为（）

A.(-co,5)B.(5,+oo)C.(5,6)D.(4,5)

x2+(Q+1)X+Q,X

53.已知函数g(x)=<，若不等式g（x）＜0的解集为［-1，H，则实数a的取值范围为（

〃(x-1)+21nx,x>1

A.(-oo,-2]B.(-oo,-l]

C.[-2,-1]D.(-2,-1]

54.关于元的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数〃的取值范围为（）

（x—2）

55.定义在（0,+功上的函数八％）的导函数为了'（%）,若靖⑴-/（力＜0,且"2）=0,则不等式（1）〃力＞。

的解集为（）

A.(0,2)B.(1,2)C.(0,1)D.(2,+8)

「1cr

si.n——71X,xe[-1,0]

2

56.己知定义在R上的奇函数7■（%）满足：/«='，则关于X的不等式2〃x)>3x在

——xi——X2,XE(—009—1)

44

xe（0,+co）的解集为（）

A.13U(3,6)g』［u（2,4）

B.

C.］。，1（4,5）gu(2,3)

D.

57.已知函数/（力=1暇工-工+1,则不等式/（%）＞。的解集是（）

A.（0,1）B.（l,2）u（2,y）C.（1,2）D.（2,+oo）

58.已知函数竽'关于'的不等式।-£＞°的解集中有且只有一个整数’则实数0的范围是（）

21n3

c.,ln2

9

59.定义在(1,桂)上的函数小)的导函数为了'。)，且(彳-1)/口)-/。)>/-2%对任意尤©(1,+8)恒成立.

若/(2)=3,则不等式/(为>/一》+1的解集为()

A.(1,2)B.(2,+8)

C.(1,3)D.(3,+劝

60.已知定义在R上的奇函数满足/(2+x)=),且当x«0,l]时/(x)>万，则不等式“力Vsinn

在[-3,3]上的解集为()

A.[-2,0]3[2,3]B.[-1,3]

C.[-1,2]D.[-3-2]U[0,2]

考点07:根据极值点(最值点)求参数

题型1：已知极值点求参数的值.

1.已知函数“X)有极值点升,求参数的值或范围，一般有两种情况：

(1)由/(而)=0可以解出参数的值，这类题较为简单，只需由/(%)=()求出参数的值，再代回((X)去

研究“X)的单调性，确认“X)在X=X。处取得极值即可.

(2)由((%)=0不能解出参数的值，这类题一般需要对参数进行分类讨论，研究函数的单调性，当/(同

的表达式较为复杂时，可能需要用到二阶导数，甚至三阶导数.

当我们知道函数的具体极值点是极大值还是极小值求参数时，也可以利用下面高观点方法，当然，这个方

法仅供有兴趣的同学了解，并非通法，它在解决一些问题时要方便一些.

2.极值第二充分条件：若天充n/'(Xo)=O,且/'(/)片0,则若固(%)<0,则y=/(x)在/处

取得极大值；若/'(见)〉0,则y=/(x)在/处取得极小值.

3.极值第二充分条件：

若/(%)在X=/处具有直到”阶的连续导数，且/'(%)=/"(％)=…="T(x0)=0,但尸")(%)丰0,

则：当〃为偶数时，/(%)为函数/(X)的极值，当〃为奇数时，/(%)不是函数/(X)的极值.

题型2：已知极值个数求参数的范围

这类问题的形式就是已知/（x,a）存在几个极值点，求参数a的取值范围.这类问题实质是考察导函数的变

号零点个数，注意：是“变号”零点.通常情况下，这类问题可通过求导后讨论导函数的零点个数来完成,

首选分离参数的方法解决，若不行，再将导函数作为一个新的函数来讨论其零点个数.

61.若函数/（x）=d+；（a+3）x2+◎在％=_1处取得极值，则实数。的取值范围是（）

A.（3,-H»）B.（-<»,3）C.（YO,3）U（3,+°°）D.[0,3]

62.已知函数/（%）=工3+3;次2+«%+祖2在x=-l处取得极值0,则根+〃=（）

A.4B.11C.4或HD.3或9

63.若函数/（"=-%3+3依?+1在乂=2处取得极值，则函数在区间[-1』上的最小值为（）

A.-1B.1C.3D.5

64.若函数/（x）=ae*-/（aeR）有两个极值点占用，且王<马,则下列结论中不正确的是（）

占1

A.相>1B.e2<—

%

C.”的范围是D.山川+山马<0

65.若函数〃尤）=皿-〃优有两个极值点，则实数加的取值范围为（）

X

A・卜£lB.C.（0,,）D.L

66.若x=l为函数/（力=。（》-。）（尸1）2的极大值点，则实数。的取值范围为（）.

A.a>lB.a<\

C.a<0或Q>1D.0<a<l

67.函数〃尤）=^一3%在区间（m,2）上有最小值，则加的取值范围是（）

68.已知函数“x）=（2Y+冰+a）e"若在x=-2处取得极小值，则a的取值范围是（）

A.（4,+co）B.[4,+oo）C.[2,+co）D.（2,+oo）

2

69.已知函数”x）=5-41wc在区间（。-1,。+4）上有定义，且在此区间上有极值点，则实数。的取值范围

是.

70.已知函数，(x)=/+++3x+i,若x=—3是函数/(x)的驻点，则实数。=

考点08:导函数图像与原函数图像的关系

原函数与导函数互相判断应遵循以下步骤：

①若已知导函数判断原函数

第一步：观察导函数丁轴的上下cr(x)>o,r(x)<o),上则为递增，下则为递减.

第二步：导函数y轴的值越大，则原函数增的越快(斜率越大)

②若已知原函数判断导函数

第一步：观察原函数是上坡路还是下坡路，若为上坡路则导函数尸(x)>0,若为下坡路则.

导函数尸(6<o

第二步：原函数斜率越大，则导函数y轴的值越大，原函数斜率越小，则导函数y轴的值越小.

71.己知函数的导函数为/'(x),定义域为(0,+功，且函数g(尤)=(x-6)3.尸(X)的图象如图所示，则

A.有极小值”6),极大值”1)

B.仅有极小值〃6),极大值“10)

C.有极小值/⑴和“6),极大值〃3)和/(10)

D.仅有极小值/⑴，极大值“10)

72.已知函数y=〃x),其导数尸⑺的图象如下图所示，则y=()

/\3r

w

A.在(-e,0)上为增函数

B.在x=l处取得极小值

C.在x=0处取得极大值

D.在(4,+e)上为增函数

73.已知定义域为可的函数/⑴的导函数为数⑺,7(。)<““，且/'(X)的图象如图所示，则的

A.[/(^),B.[/(x2),/(x4)]C.[/(a),/(/?)]D.[/(x2),/(/?)]

74.已知函数y=/a)的导函数y=r(x)图象如图所示，则下列说法正确的是()

B.£?是极大值点

C.f(x)的图象在点了=项处的切线的斜率等于0

D.在区间(。㈤内一定有2个极值点

75.已知函数〃x)的导函数/⑺的图象如图所示，则/(尤)的图象可能是()

76.函数y=〃x)的图象如图所示，y=/(x)为函数y=/(x)的导函数，则不等式矿(x)>0的解集为(

A.(-co,-3)u(-1,0)u(1,+oo)B.(一力,-3)5—1,0)50,1)

C.(-3,-1)°(1,+力)D.(-3,-l)u(O,l)

77.已知函数/(了)=加+加+5+4的图象如图所示，则下列正确的是()

B.a<0,c>0

D.a>0,c<0

78.已知函数〃x)(xwR)的图象如图所示，则不等式矿(无)>0的解集为(

B.(-1,0)52,小)

D.-co,-II(2,+oo

79.已知定义在(-2,2)上的函数/(x)的导函数为了'(x),且/'(x)在(-2,2)上的图象如图所示，则()

A.1是7Xx)的极小值点B.1是/(x)的极大值点

C.-1是/(x)的极小值点D.-1是/(x)的极大值点

80.如果函数y=/(x)的导函数y=/'(x)的图象如图所示，则以下关于y=判断正确的是()

A.在区间(2,4)上是严格减函数B.在区间(1,3)上是严格增函数

C.x=-3是极小值点D.x=4是极小值点

参考答案与试题解析

考点巩固卷06利用导数研究函数的单调性、极值和最值

(八大考点)

考点01：利用导数求函数的单调区间

利用导数研究函数的单调性、极值和最值

膏方端技巧及考点利体

考点01:利用导数求函数的单调区间

求已知函数（不含参）的单调区间

①求y=/（x）的定义域

②求广（X）

③令/'（x）＞0,解不等式，求单调增区间

④令/'（%）＜0,解不等式，求单调减区间

注：求单调区间时，令/'（尤）＞0（或/'（x）＜0）不跟等号.

1.已知函数/（x）=2x—31nr+2022,则/'（x）的单调递减区间为（）

A.°4B.C.D.

【答案】A

【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导后，由/'（力＜0可求出其递减区间.

【详解】“X）的定义域为（。,+巧，广（无）=2-：=

令r（x）＜o,解得0＜“＜’,

所以“X）的单调递减区间为1o,£|,

故选：A.

2.函数，(x)=x-21nx的单调递减区间是()

A.(-00,2)B.(2,+oo)

C.(0,2)D.(-8,0)

【答案】C

【分析】求出导函数:(力=王/，令尸(力<0,即可得解.

【详解】由函数/(x)=x—21nx,可得:⑺=1_：=干(x>0),

令/'(x)<0,可得0<x<2,所以函数〃x)=x—21nx的单调递减区间是(0,2).

故选：C.

3.函数/(x)=(x-3)e，的单调递增区间是()

A.(-oo,2]B.[0,3]C.[1,4]D.[2,+8)

【答案】D

【分析】对函数求导并令导函数大于零，解不等式可得其单调递增区间.

【详解】易知函数"x)的定义域为R,可得r(x)=e，+(x-3)e'=(x-2)e"

令广(无)20,解得出2.

所以函数Ax)的单调递增区间是[2,e).

故选：D

4.函数"x)=f-Inx单调递减区间是(

【答案】A

【分析】求导后，令/'(x)W0,解出即可.

2

【详解】ff(x)=2x--1=^9r^,-1x>0,

XX

令/⑺皿解得0<.冬

所以单调递减区间为［o，W］.

故选：A.

5.已知函数/(x)=x+lnx,其导函数为尸(x).

⑴求在(1,1)处的切线方程；

(2)求g(x)=y(x)+2f'(x)的单调区间.

【答案】⑴—

(2)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(I,+03)

【分析】(1)利用导数的几何意义即可得解；

(2)利用导数与函数单调性的关系即可得解.

【详解】(1)因为〃x)=x+lnx的导数为〃x)=l+1,

所以在(LI)处的切线斜率为化=/。)=2,而〃l)=l+lnl=l

故所求的切线方程为kl=2(x-1),即y=2x-l.

(2)因为8(司=/(耳+2/(耳=犬+1皿+2(1+/),定义域为(0,+“)

r-r-p.if\.12x"+x—2(x—l)(x+2)

所以g'(x)=1+----=——\—=1——仝——L,(x>0)

XXrX"X

解g'(x)>0得X>1,解g'(尤)<0得0<x<l,

所以g(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为。,也).

6.已知函数小)=1门-2+1(其中a为常数).

(1)当。=—1时，求函数了。)的单调区间；

⑵求函数/(无)在无eU，2］上的最小值.

【答案】(1)单调递增区间为。,”)；单调递减区间为(0」)

(2)答案见解析

【分析】(1)根据/'(X)的正负确定了(X)单调区间；

(2)分类讨论。，根据单调的单调性确定/(x)的最小值.

【详解】(1)/(x)=lnx+-(x>O),/,(x)=--■\=

XXXX

令/'(x)>0解得X>1,所以“X)的单调递增区间为(1,+8)

令/'(x)<0解得O<X<1,所以/(X)的单调递减区间为(0,1)

(2)++

XXXX

①当时，广(力>0,/(力在［1,2］上单调递增，=

②当—lKa<0时，/'(x)>O,/(x)在［1,2］上单调递增，/(x)min=/(l)=l-«;

③当一2<a<—1时，令/'(无)>0和/'(力<0分另!］解得一。<》和一。>》，

则在［1,-上单调递减，［一。,2］单调递增，所以/(41ta=/(—a)=ln(-4)+2；

④当aW-2时，/(^)<0,/(x)在［1,2］上单调递减.

综上所述：当aN-l时，/(411n=l-a；

当-2<。<一1时，/⑺疝。=ln(-a)+2；

当aW—2时，/Wmn=ln2+1-|.

7.已知函数〃”=年还(“—>

⑴当。=0时，求函数〃x)的单调区间；

⑵当。=1时，证明：/(x)<|.r+l；

(3)若/•(%)既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间是(e,+立),函数/(x)的单调递减区间是(0,1),(l,e).

⑵证明见解析(3)0<o<l

【分析】(1)先求出函数的定义域，然后对函数后由导数的正负可求出函数单调区间；

(2)不等式转化为1n(x+i)</x+l,构造函数〃(x)=ln(x+l)-*,利用导数求出其单调区间，利用其

单调性可证得结论；

1t—CL

(3)设r=x+a,令g(r)=F，则转化为g⑺既有极大值又有极小值，则Int--------

/(')=F令

s⑺=lm-9=+然后对函数求导后，分aWO,a=l,a>l,0<。<1四种情况讨论即可得答案.

【详解】（1）当a=0时，〃尤）=木，函数〃x）的定义域为（O，1）U（1，”），

Inx—1

ln2x

令制x）>0,解得X>e；令（（无）<0,解得0<x<l或l<x<e,

故函数〃尤）的单调递增区间是（e,+8）,函数〃尤）的单调递减区间是（0,1）,（l,e）.

（2）当a=l时，f（x）=皿;+i）,函数/（力的定义域为（-1,0）5°，/），

/、1XI1

不等式/（尤）<5尤+1就是不等式9旬<]X+1（*），

当一1（尤<0时，（*）式等价于ln（x+l）〈丁5；

7r

当x>0时，（*）式等价于ln（x+l）>一.

r\1A丫2

设〃（元）=]n（尤+1）----,=-----------^=7-----------7/------------>0'

''、'尤+2x+1（无+2）一（x+l）（x+2/

故从力在（-1,+8）上单调递增，

2v

故当一l<x<0时，〃a）<MO）=O,即ln（尤+1）〈一，

2x

当x>0时，/z（x）>//（（））=0,即ln（x+l）>.

所以原式成立.

（3）设t=x+a,令=

mt

既有极大值又有极小值等价于g⑺既有极大值又有极小值.

1t—CL

In%-----、-，/\,t-aci1

.（八_t,记s（%）=lm—=lnz+--l.

g"In,'t

“八」a-t-a

①当aWO时，有亚丁。，贝丫⑺在（O」）U（l,口）上单调递增，

故函数s⑺在（o,i）U（i，—）上至多有1个零点，不合题意；

②当。=1时，s（f）在（0,1）上单调递减，在（1,y）上单调递增，且s（l）=0,

故S9)在(O,l)U(l,y)上没有零点，不合题意；

③当Q>1时，S”)在(O,1)U(1M)上单调递减，在［。,y)上单调递增，

又s(l)=a-1>0,s(a)=lna>0,故函数s«)在(O,1)U(L”)上没有零点,不合题意;

④当0<”1时，在(OM)上单调递减，在［a』)U(Ly)上单调递增，

且有s(e)=lne+—-1=—>0,5(1)=tz-l<0,5(tz)=lna<0,

2T221(2丫12

se°=aea——>a1+——1+-——1——

a2\a)a

九2

(这里用不等式：当时，e%>l+x+—)

2

“44、2a

=2-1—r+1=—>0.

2\cra)a2

22

下面证明当xNO时，Nl+x+宁，^(p(x)=ex

则夕'(x)=e"—1一工，t(x)=(p\x)=ex—1—x,贝(|r(x)=e"-120(x20),

所以t(x)="(x)=e"-1-x在［0,+8)上单调递增，

所以。(%)＞。(0)=0,所以(p(x)在［0,+oo)上单调递增,

所以夕(x)N°(O),所以当％之0时，ex＞l+x+—,

2

(Q

所以s(e＞s⑴＜0,s(a)・se。＜0,

k7

又因为函数S(。的图象分别在区间(。,1),(1,y)上连续，

(1.2\

所以函数S⑺在ea,a,(l,e)内各有1个零点，分别记为4和1

故「、马分别为函数g⑺的极大值点、极小值点.即“X)既有极大值又有极小值.

综上，当0＜。＜1时，/'(X)既有极大值又有极小值.

8.设函数〃3)=彳2-(a+2)x+alnx(aeR).

⑴若x=3是/(尤)的极值点，求。的值，并求/(x)的单调区间;

⑵讨论AM的单调性；

⑶若“无)21,求。的取值范围.

【答案】（1）6,单调递增区间（0』）,（3,内），单调递减区间（1,3）

（2）答案见解析（3）（-8-2]

【分析】（1）先求导，令广⑶=0,检验即得解；代入。=6,分另U令r（无）>0,/（无）<0得到单增区间和

单减区间；

（2）根据二次函数及二次不等式的性质，结合函数定义域，分类讨论即可求解