2024学年成都市高二数学（上）12月期末调研考试卷附答案解析

学年成都市高二数学（上）12月期末调研考试卷考试时间120分钟，满分150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.向量，，则向量在向量上的投影向量是(

)A. B. C. D.2.若直线的方向向量是，则直线的倾斜角的范围是A. B. C. D.3.已知抛物线和双曲线的公切线是与抛物线的切点，与抛物线的准线交于，为抛物线的焦点，若，则抛物线的方程是(

)A. B. C. D.4.若为双曲线：的左焦点，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，则的取值范围是(

)A. B. C. D.5.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则(

)A.与，与，与，与都相互独立B.与是对立事件

C.D.6.下列命题中正确的是(

)A.点关于平面对称的点的坐标是

B.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则

C.已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则

D.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为7.以下四个命题表述正确的是(

)若点，圆的一般方程为，则点在圆上；圆的圆心到直线的距离为；圆与圆外切；两圆与的公共弦所在的直线方程为．A. B. C. D.8.等腰直角内接于抛物线，其中为抛物线的顶点，，的面积为，为的焦点，为上的动点，则的最大值为(

)A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是(

)A.考生参赛成绩的平均分约为分

B.考生参赛成绩的第百分位数约为分

C.分数在区间内的频率为

D.用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人10.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上第一象限的点，且，过点的直线与交于，两点，圆，则(

)A.

B.若，则直线倾斜角的正弦值为

C.若的面积为，则直线的斜率为

D.过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是(

)A.平面平面B.直线与所成角的余弦值为

C.平面与平面夹角的余弦值为D.点到直线的距离的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12.，两名乒乓球选手进行决赛，根据赛前两位选手的统计数据，在一局比赛中获胜的概率是，若采用“五局三胜制”，则选手获胜的概率为

．13.若点在椭圆上，则称点为点的一个“椭点”已知直线与椭圆相交于，两点，且，两点的“椭点”分别为，，以线段为直径的圆经过坐标原点，则的值为_____．14.已知椭圆的左右顶点分别为，，且，为上不同两点位于轴右侧，，关于轴的对称点分别为为，，直线、相交于点，直线、相交于点，已知点，则的最小值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题分在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点．用向量，，表示，；若，求实数，，的值．16.本小题分为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球个，白球个红球编号为“，，”，白球编号为“，”取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个白球获胜编号之和为获胜分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；当时，求游戏三的获胜概率；一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．17.本小题分在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过两点和，直线的方程为．求圆的方程；当时，为直线上的定点，若圆上存在唯一一点满足，求定点的坐标；设点，为圆上任意两个不同的点，若以为直径的圆与直线都没有公共点，求实数的取值范围．18.本小题分如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点是线段的中点．求平面与平面所成锐二面角的余弦值求出直线到平面的距离．19.本小题分如图，已知椭圆：的离心率为，与轴正半轴交于点，过原点不与轴垂直的动直线与交于，两点．求椭圆的标准方程；设直线、的斜率分别为、，证明：为定值，并求出该定值；以点为圆心，为半径的圆与直线、分别交于异于点的点和点，求与面积之比的取值范围．

答案和解析1.【答案】

【解答】

解：向量，，

则，，，

所以向量在向量上的投影向量为

，

，

故选A．2.【答案】

【解答】解：若直线的方向向量是，

则直线的斜率，

则，则或．

故选D．3.【答案】

解：如图过作抛物线的准线于，根据抛物线的定义可知，，

，在中，，，

即直线的斜率为，故设的方程为：

，

由，消去得，

则，解得，即：，

由得，，得，

则抛物线的方程是，

故选A．4.【答案】

解：由得，，，则左焦点，右焦点，因为题中给出为双曲线：的左焦点，所以，，又因为双曲线与过原点的直线都关于原点对称，所以，根据双曲线的定义知，所以，设，则，设，，则．

令，解得或，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以的取值范围为，所以的取值范围是．

故选D．

5.【答案】

【解答】解：

对于由于两人射击的结果没有相互影响，则与，与，与，与都相互独立，故A正确

对于表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，

即与不是对立事件，故B错误

对于，故C错误

对于，故D错误

故选：．6.【答案】

解：对于，点关于平面对称的点的坐标是，选项错误

对于，若直线的方向向量为，平面的法向量为，

，有，则或，选项错误对于，已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则，解得，选项错误．

对于，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，

则直线与平面所成的角为，选项正确

故选D．7.【答案】

【解答】

解：点代入圆可得，所以点在圆上，故正确

由可得，则圆心为，

由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离为，故错误

圆化为，圆心为，半径，圆化为，

圆心为，半径，则圆心距，故两圆外切，故正确

两圆方程相减可得，故公共弦所在方程为，故错误，

综上，正确的为．

故选B．8.【答案】

【解答】

解：设等腰直角三角形的顶点，，则，．

由得：，

，即，

，，，

，即，关于轴对称．

直线的方程为：，

与抛物线联立，解得或，

故AB，

．

的面积为，

；

焦点，设，

则，，设

到准线的距离等于，

则．

令，，

则当且仅当时，等号成立．

故的最大值为，

故选：．9.【答案】

解：对选项A：由图可知考生的平均成绩为

，故A错误；对于选项B，由频率分布直方图知第百分位数位于内，

则第百分位数为，故B正确对选项C：分数在区间内的频率为，故C正确；对选项D：区间应抽取人，故D错误．

故选BC．10.【答案】

解：设，则，则，，故，故A正确；

设直线，联立则，

设，，则，，

故，解得，

则直线倾斜角的正弦值为，故B错误

，解得，

则直线的斜率为，故C正确

易知，圆可化为，圆心，半径，易知为其中一条切线，切点为，且两切点连线与垂直，，

故两切点连线为，即，故D正确．

故选ACD．11.【答案】

解：以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

则，，，，，

所以，，，

所以，，所以，，

又，，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面，故A正确

因为，所以，所以，，

所以直线与所成角的余弦值为，故B错误；

因为，所以，设平面的法向量为，则

令，解得，，所以，

又易得平面的一个法向量为，

设平面与平面的夹角为，

所以，，

即平面与平面夹角的余弦值为，故C正确

设，

所以，

所以，，

所以点到直线的距离，

当且仅当时，等号成立，所以点到直线的距离的最小值为，D错误．

故选AC．12.【答案】

解：若比赛进行了局，则获胜的概率是；若比赛进行了局，获胜的概率是；

若比赛进行了局，获胜的概率是．

故所求为．

故答案为．13.【答案】

解：设，，则，，

由以为直径的圆经过坐标原点，得，

即，

由，消除整理得：，

，，

，

，

，

即

，

故答案为．14.【答案】

解：设点

，则：，，

则

，

，

，

点的轨迹方程为，

即点的轨迹方程为，

同理可得，点也在双曲线上，

点恰为双曲线的左焦点，

设双曲线的右焦点为，

根据双曲线定义可得：

，

的最小值为．

故答案为．15.【答案】解：，

，

，，．

16.【答案】解：设事生“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，

游戏一中取出一个球的样本空间为，则，

因为，所以，所以游戏一获胜的概率为．

游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间，，

则，因为，，，，

所以，所以，所以游戏二获胜的概率为．

游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为，

时，样本的个数为，所以所求概率为；

设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”，

则，且，，互斥，，，相互独立，

所以

又，且，，互斥，

所以

若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则，所以，即．

进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：第二次

第一次当，，，时，，舍去，

当，，时，，满足题意，

因此的所有可能取值为，，．

17.【答案】解：设圆的方程为，

将，坐标代入，得：

，解得

所以圆的方程为．设，，，

则，

化简得，此圆与圆相切，

所以有，解得，

所以的坐标为或．

记以为直径的圆为圆，为中点，设圆上有一动点，

设，则圆的半径，

于是

其中为，的夹角，，

因为，

所以．

故点在以为圆心，为半径的圆的内部含边界，

所以点到直线的距离，即，

解得．

18.【答案】解：因为在梯形中，，，，如图：过作交于，可得，

则，所以，得，

又平面平面，平面平面，平面，所以平面

因为四边形为矩形，所以，又平面平面，又平面平面，平面，所以平面，

则，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，

所以，，，，

设平面的法向量为，

则，取，可得，

设平面的法向量为，

则，取，可得，

所以，

．

所以平面与平