山东专用2024新高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布课时作业63随机事件的概率含解析

课时作业63随机事务的概率一、选择题1．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事务为(D)A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红球、黑球各一个解析：红球、黑球各取一个，则肯定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事务，又任取两球还包含“两个红球”这个事务，故不是对立事务．2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产状况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一个产品是正品(甲级)的概率为(C)A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08解析：记抽检的产品是甲级品为事务A，是乙级品为事务B，是丙级品为事务C，这三个事务彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，则下列说法正确的是(A)A．甲获胜的概率是eq\f(1,6) B．甲不输的概率是eq\f(1,2)C．乙输了的概率是eq\f(2,3) D．乙不输的概率是eq\f(1,2)解析：“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事务，所以“甲获胜”的概率是P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，故A正确；“乙输了”等于“甲获胜”，其概率为eq\f(1,6)，故C不正确；设事务A为“甲不输”，则A是“甲胜”“和棋”这两个互斥事务的并事务，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)(或设事务A为“甲不输”，则A是“乙获胜”的对立事务，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3))，故B不正确；同理，“乙不输”的概率为eq\f(5,6)，故D不正确．4．依据某医疗探讨所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人须要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为(D)A．15% B．20%C．45% D．65%解析：因为某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现在能为A型病人输血的有O型和A型，故能为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D.5．袋子中有大小、形态完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中随意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为(C)A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(2,9) D.eq\f(5,18)解析：由18组随机数得，恰好在第三次停止摸球的随机数是142,112,241,142，共4组，所以恰好第三次就停止摸球的概率约为eq\f(4,18)＝eq\f(2,9)，故选C.6．随着互联网的普及，网上购物已渐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满足状况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种状况回答)，统计结果如表：满足状况不满足比较满足满足特别满足人数200n21001000依据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满足”或“满足”的概率是(C)A.eq\f(7,15) B.eq\f(2,5)C.eq\f(11,15) D.eq\f(13,15)解析：由题意，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以对网上购物“比较满足”或“满足”的人数为1200＋2100＝3300，由古典概型概率公式可得对网上购物“比较满足”或“满足”的概率为eq\f(3300,4500)＝eq\f(11,15).7．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．依据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为(D)A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45解析：设[25,30)上的频率为x，由全部矩形面积之和为1，即x＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的频率为0.25.所以产品为二等品的概率为0.04×5＋0.25＝0.45.8．(多选题)利用简洁随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事务A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是(ABC)A．P(B)＝eq\f(7,10) B．P(A∪B)＝eq\f(9,10)C．P(A∩B)＝0 D．P(A∪B)＝P(C)解析：由题意知A，B，C为互斥事务，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P(B)＝eq\f(7,10)，P(A)＝eq\f(2,10)，P(C)＝eq\f(1,10)，则P(A∪B)＝eq\f(9,10)，故A、B、C正确，D错误．故选ABC.二、填空题9．掷一个骰子的试验，事务A表示“小于5的偶数点出现”，事务B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事务A＋eq\x\to(B)发生的概率为eq\f(2,3).解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，明显A与eq\x\to(B)互斥，从而P(A＋eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).10．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可看法，其余持反对看法，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对看法的有6_912人．解析：在随机抽取的50人中，持反对看法的频率为1－eq\f(14,50)＝eq\f(18,25)，则可估计该地区对“键盘侠”持反对看法的有9600×eq\f(18,25)＝6912(人)．11．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为eq\f(1,12).解析：从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数，有n＝eq\f(9×8,2)＝36(种)情形，其中一个数是另一个数的3倍的事务有{1,3}，{2,6}，{3,9}，共3种情形，所以由古典概型的概率计算公式可得其概率是P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).12．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为eq\f(10,21).解析：从袋中任取2个球共有Ceq\o\al(2,15)＝105(种)取法，其中恰有1个白球、1个红球共有Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,5)＝50(种)取法，所以所取的球恰有1个白球、1个红球的概率为eq\f(50,105)＝eq\f(10,21).三、解答题13．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为eq\f(6,300)＝eq\f(1,50)，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×eq\f(1,50)＝1,150×eq\f(1,50)＝3,100×eq\f(1,50)＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)方法1：设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的全部基本领件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本领件的出现是等可能的．记事务D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事务D包含的基本领件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝eq\f(4,15)，即这2件商品来自相同地区的概率为eq\f(4,15).方法2：这2件商品来自相同地区的概率为eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(3＋1,15)＝eq\f(4,15).14．一个盒子里装有三张卡片，分别标记为数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．解：由题意知，(a，b，c)全部的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．(1)设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事务A，则事务A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为eq\f(1,9).(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事务B，则事务eq\x\to(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq\f(8,9).15．某同学同时掷两颗匀称的正方体骰子，得到的点数分别为a，b，则椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的离心率e>eq\f(\r(3),2)的概率是eq\f(1,3).解析：同时掷两颗匀称的正方体骰子，得到的点数分别为a，b，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,6)种状况．当a>b时，离心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2))>eq\f(\r(3),2)，所以a>2b，符合a>2b的有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝1))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝1))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5,b＝1))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝1))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5,b＝2))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝2))，共6种状况．同理，当a<b时，符合离心率e>eq\f(\r(3),2)的状况也有6种．综上可知，离心率e>eq\f(\r(3),2)的概率为eq\f(6＋6,C\o\al(1,6)C\o\al(1,6))＝eq\f(1,3).16．无重复数字的五位数a1a2a3a4a5，当a1<a2，a2>a3，a3<a4，a4>a5时称为波形数，则由1,2,3,4,5随意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是eq\f(2,15).解析：∵a2>a1，a2>a3，a4>a3，a4>a5，∴a2