新高考人教版高中物理题型训练（必修一）专题2.5 追及相遇问题 （人教版2019必修第一册）（学生版）

专题2.5追及相遇问题【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1先远离后靠近的问题】 【题型2先靠近后远离的问题】 【题型3刹车类问题】 【题型4图像问题】 【题型5能否撞上的问题】 【题型6极值问题】 【题型1先远离后靠近的问题】【例1】一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h以内.求：(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；(2)警车发动后要多长时间才能追上货车.【变式1-1】(多选)物体A以10m/s的速度做匀速直线运动。物体A出发后5s，物体B从同一地点由静止出发，做匀加速直线运动，加速度大小是2m/s2，且A、B运动方向相同。则()A．物体B追上物体A所用的时间为5eq\r(3)sB．物体B追上物体A所用的时间为(5＋5eq\r(3))sC．物体B追上物体A前，两者的最大距离为75mD．物体B追上物体A前，两者的最大距离为50m【变式1-2】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？【变式1-3】汽车A以vA＝4m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7m处、以vB＝10m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2m/s2.从刚刹车开始计时．求：(1)A追上B前，A、B间的最远距离；(2)经过多长时间A恰好追上B.【题型2先靠近后远离的问题】【例2】一辆轿车在平直公路的一条车道上以72km/h的速度匀速行驶，突然发现其正前方120m处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车刹车过程的加速度大小为a＝1m/s2，两车相距最近时，距离为22m，忽略司机的反应时间，则货车的速度大小为()A．21.6km/h B．18km/hC．16km/h D．12km/h【变式2-1】一步行者以6.0m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25m处时，绿灯亮了，汽车以1.0m/s2的加速度匀加速启动前进，则()A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36mB．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7mC．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43mD．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远【变式2-2】甲、乙两辆玩具车在同一平直路面上行驶，二者运动的位移－时间图像如图所示，其中乙车的位移－时间图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是()A．甲车先做匀减速直线运动后做匀速直线运动B．乙车一定做初速度为零的匀加速直线运动C．甲车在0～10s内的平均速度为－1.5m/sD．在0～10s内甲、乙两车相遇两次，且相遇时速度可能相等【变式2-3】则()A．在t＝1s时，甲车在乙车后B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5mC．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2sD．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m【题型3刹车类问题】【例3】(多选)两辆汽车在同一直道上以相等的速度v0做同向直线运动，某时刻前车突然熄火做加速度大小为a1的匀减速运动，后车司机经Δt时间后刹车，以大小为a2的加速度做匀减速运动，结果两车同时停下且没有发生碰撞，则在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是()A.eq\f(v0Δt,2) B．v0ΔtC.eq\f(v02,2)(eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)) D.eq\f(v02,2)(eq\f(1,a1)－eq\f(1,a2))【变式3-1】汽车A以vA＝4m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7m处、以vB＝10m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2m/s2。从此刻开始计时。求：(1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少；(2)经过多长时间A恰好追上B。【变式3-2】两辆完全相同的汽车，沿水平道路一前一后匀速行驶，速度均为v0。若前车突然以恒定的加速度a刹车，在它刚停住时，后车以加速度2a开始刹车。已知前车在刹车过程中所行驶的路程为s，若要保证两辆车在上述情况中不发生碰撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为()A．eq\f(1,2)sB．eq\f(3,2)sC．2sD．eq\f(5,2)s【变式3-3】在某个恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶.某时刻两车司机听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，两车刹车后的v－t图象如图所示，下列说法正确的是()A.甲车的加速度大于乙车的加速度B.若t＝24s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最远C.为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48mD.若两车发生碰撞，则可能是在开始刹车24s以后的某时刻发生的【题型4图像问题】【例4】随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手机，然而开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图甲所示，一辆出租车在平直公路上以v0＝20m/s的速度匀速行驶，此时车的正前方x0＝63.5m处有一辆电动车，正以v1＝6m/s的速度匀速行驶，而出租车司机此时开始低头看手机，3.5s后才发现危险，司机经0.5s反应时间后，立即采取紧急制动措施。若从司机发现危险开始计时，出租车的速度—时间图像如图乙所示，重力加速度g取10m/s2。(1)若出租车前面没有任何物体，从司机开始低头看手机到出租车停止运动的这段时间内，出租车前进的距离是多少？(2)通过计算判断电动车是否会被撞。若不会被撞，求二者之间的最小距离；若会相撞，求从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞。【变式4-1】如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v-t图像如图乙所示。已知B车在第1s内与A车的距离缩短了x1＝12m。(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小；(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离s0应满足什么条件？【变式4-2】如图所示，图线Ⅰ和Ⅱ分别表示先后从同一地点以相同速度v做竖直上抛运动的两物体的v-t图线，则两物体()A．在第Ⅰ个物体抛出后3s末相遇B．在第Ⅱ个物体抛出后4s末相遇C．在第Ⅱ个物体抛出后2s末相遇D．相遇时必有一个物体速度为零【变式4-3】在水平直轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？(请用临界法与图象法分别分析解题)【题型5能否撞上的问题】【例5】m/s2，刹车时的加速度大小a2＝5m/s2.为了避免与小狗发生碰撞，汽车的自动驾驶系统该作出的正确判断是()A.汽车应保持原速通过B.汽车应刹车减速C.汽车应加速通过D.不论汽车是加速还是刹车均不能避免与小狗发生碰撞【变式5-1】(多选)汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌(如图所示)，以提醒后面驾车司机减速安全通过。在夜间，有一货车因故障停驶，后面有一小轿车以30m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50m内的物体，并且他的反应时间为0.6s，制动后最大加速度为5m/s2。假设小轿车始终沿直线运动。下列说法正确的是()A．小轿车从刹车到停止所用的最短时间为6sB．小轿车的刹车距离(从刹车到停止运动所走的距离)为80mC．小轿车运动到三角警示牌时的最小速度为20m/sD．三角警示牌至少要放在货车后58m远处，才能有效避免两车相撞【变式5-2】A、B两辆列车在能见度很低的雾天里在同一轨道上同向行驶，A车在前，速度vA＝10m/s，B车在后，速度vB＝30m/s。当B车发现A车时就立刻刹车。已知B车在进行刹车测试时发现，若车以30m/s的速度行驶时，刹车后至少要前进1800m才能停下，假设B车刹车过程中加速度恒定。为保证两辆列车不相撞，则能见度至少要达到()A．400m B．600mC．800m D．1600m【变式5-3】某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200m处有一安全车正以10m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2m/s2的加速度追赶.(1)求赛车出发3s末的瞬时速度大小；(2)求赛车何时追上安全车？追上之前与安全车最远相距多少？(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)【题型6极值问题】【例6】若A、B两辆车相距2m，沿同一直线同向运动，B车在前做初速度为零，加速度为a1的匀加速直线运动，A车在后面做初速度为2m/s，加速度为a2的匀加速直线运动，讨论a1与a2满足什么条件时两车相遇一次？【变式6-1】(多选)为解决疫情下“最后500米”配送的矛盾，将“人传人”的风险降到最低，目前一些公司推出了智能物流机器人。机器人运动的最大速度为1m/s，当它过红绿灯路口时，发现绿灯时间是20s，路宽是19.5m，它启动的最大加速度是0.5m/s2，下面是它过马路的安排方案，既能不闯红灯，又能安全通过的方案是()A．在停车线等绿灯亮起，以最大加速度启动B．在距离停车线1m处，绿灯亮起之前2s，以最大加速度启动C．在距离停车线2m处，绿灯亮起之前2s，以最大加速度启动D．在距离停车线0.5m处，绿灯亮起之前1s，以最大加速度启动【变式6-2】图(a)为自动感应门，门框上沿中央安装有传感器，当人与传感器的水平距离小于或等于某个设定值(可称为水平感应距离)时，中间两扇门分别向左右平移，当人与传感器的距离大于设定值时，门将自动关闭。图(b)为感应门的俯视图，A为传感器位置，虚线圆是传感器的感应范围，已知每扇门的宽度为d，最大移动速度为v0，若门开启时先匀加速运动而后立即以大小相等的加速度匀减速运动，每扇门完全开启时的速度刚好为零，移动的最大距离为d，不计门及门框的厚度。(1)求门开启时做加速和减速运动的加速度大小；(2)若人以v0的速度沿图中虚线s走向感应门，要求人到达门框时左右门同时各自移动eq\f(d,2)的距离，那么设定的传感器水平感应距离l应为多少？(3)若以(2)的感应距离设计感应门，欲搬运宽为eq\f(7d,4)的物体(厚度不计)，并使物体中间沿虚线s垂直地匀速通过该门，如图(c)所示，物体的移动速度不能超过多少？【变式6-3】一汽车在直线公路上以54km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14m处有一辆自行车以5m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4s的反应时间后，司机开始刹车，则：(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？(2)若汽车刹车时的加速度只为4m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？

参考答案【题型1先远离后靠近的问题】【例1】一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h以内.求：(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；(2)警车发动后要多长时间才能追上货车.答案(1)75m(2)12s解析(1)当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等.则：t1＝eq\f(v1,a)＝eq\f(10,2.5)s＝4sx货＝v1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t0＋t1))＝10×(5.5＋4)m＝95mx警＝eq\f(1,2)at12＝eq\f(1,2)×2.5×42m＝20m所以两车间的最大距离Δx＝x货－x警＝75m(2)警车达到最大速度v＝90km/h＝25m/s的时间：t2＝eq\f(v,a)＝10s此时两车的位移分别为x警′＝eq\f(v2,2a)＝eq\f(252,2×2.5)m＝125mx货′＝v1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t0＋t2))＝10×(5.5＋10)m＝155m两车距离Δx′＝x货′－x警′＝30m警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追上货车，则：Δt＝eq\f(Δx′,v－v1)＝2s所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12s，才能追上货车.【变式1-1】(多选)物体A以10m/s的速度做匀速直线运动。物体A出发后5s，物体B从同一地点由静止出发，做匀加速直线运动，加速度大小是2m/s2，且A、B运动方向相同。则()A．物体B追上物体A所用的时间为5eq\r(3)sB．物体B追上物体A所用的时间为(5＋5eq\r(3))sC．物体B追上物体A前，两者的最大距离为75mD．物体B追上物体A前，两者的最大距离为50m解析：选BC设物体B出发后经时间t追上物体A，则：xA＝xB，vA(t＋5)＝eq\f(1,2)at2，解得t＝(5＋5eq\r(3))s，故A错误，B正确；相遇前相距最大距离时vA＝vB，用时为Δt，则2Δt＝10，解得Δt＝5s，则xA＝vA(5＋Δt)＝10×(5＋5)m＝100m，xB＝eq\f(1,2)aΔt2＝eq\f(1,2)×2×52m＝25m，故Δx＝xA－xB＝75m，故C正确，D错误。【变式1-2】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？答案2s6m解析解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at所以t＝eq\f(v,a)＝2sΔx＝vt－eq\f(1,2)at2＝6m.解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－eq\f(1,2)at2代入已知数据得Δx＝6t－eq\f(3,2)t2由二次函数求极值的条件知：t＝2s时，Δx有最大值6m所以t＝2s时两车相距最远，为Δx＝6m.解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，v1＝6m/s所以有t1＝eq\f(v1,a)＝eq\f(6,3)s＝2s，Δx＝eq\f(v1t1,2)＝eq\f(6×2,2)m＝6m.【变式1-3】汽车A以vA＝4m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7m处、以vB＝10m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2m/s2.从刚刹车开始计时．求：(1)A追上B前，A、B间的最远距离；(2)经过多长时间A恰好追上B.答案(1)16m(2)8s解析汽车A和B的运动过程如图所示．(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA，触得t＝3s此时汽车A的位移xA＝vAt＝12m汽车B的位移xB＝vBt－eq\f(1,2)at2＝21m故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16m.(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝eq\f(vB,a)＝5s运动的位移xB′＝eq\f(vB2,2a)＝25m汽车A在t1时间内运动的位移xA′＝vAt1＝20m此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12m汽车A需再运动的时间t2＝eq\f(Δx,vA)＝3s故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8s.【题型2先靠近后远离的问题】【例2】一辆轿车在平直公路的一条车道上以72km/h的速度匀速行驶，突然发现其正前方120m处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车刹车过程的加速度大小为a＝1m/s2，两车相距最近时，距离为22m，忽略司机的反应时间，则货车的速度大小为()A．21.6km/h B．18km/hC．16km/h D．12km/h答案A解析轿车速度为v轿＝72km/h＝20m/s，设货车速度为v货，当二者速度相等时，距离最近，有t＝eq\f(v轿－v货,a)；eq\f(v轿＋v货,2)t＋22m＝v货t＋120m，解得：v货＝6m/s＝21.6km/h，故A正确，B、C、D错误．【变式2-1】一步行者以6.0m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25m处时，绿灯亮了，汽车以1.0m/s2的加速度匀加速启动前进，则()A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36mB．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7mC．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43mD．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远解析：选B汽车以1.0m/s2的加速度匀加速到6.0m/s时二者相距最近。汽车加速到6.0m/s所用时间t＝6s，人运动距离为6×6m＝36m，汽车运动距离为18m，二者最近距离为18m＋25m－36m＝7m，A、C错误，B正确。人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，D错误。【变式2-2】甲、乙两辆玩具车在同一平直路面上行驶，二者运动的位移－时间图像如图所示，其中乙车的位移－时间图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是()A．甲车先做匀减速直线运动后做匀速直线运动B．乙车一定做初速度为零的匀加速直线运动C．甲车在0～10s内的平均速度为－1.5m/sD．在0～10s内甲、乙两车相遇两次，且相遇时速度可能相等答案B解析甲车先做匀速运动后静止不动，选项A错误；乙车的x－t图像为关于x轴对称的抛物线的一部分，由此得位移方程x＝－eq\f(1,2)at2，可知乙车做初速度为零的匀加速直线运动，选项B正确；甲车在10s内的平均速度v＝eq\f(Δx,Δt)＝－0.6m/s，选项C错误；从图像中可知图线相交两次，则两车相遇两次，图线的斜率表示速度，可知两次相遇时甲、乙速度都不同，选项D错误．【变式2-3】则()A．在t＝1s时，甲车在乙车后B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5mC．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2sD．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m答案BD解析根据v－t图像知，甲、乙两车都沿正方向运动．t＝3s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30m/s，v乙＝25m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”对应位移知，0～3s内甲车位移x甲＝eq\f(1,2)×3×30m＝45m，乙车位移x乙＝eq\f(1,2)×3×(10＋25)m＝52.5m．故t＝0时，甲、乙两车相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5m，即甲车在乙车前方7.5m，选项B正确；0～1s内，x甲′＝eq\f(1,2)×1×10m＝5m，x乙′＝eq\f(1,2)×1×(10＋15)m＝12.5m，Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5m＝Δx1，说明在t＝1s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x甲－x甲′＝45m－5m＝40m，选项D正确．【题型3刹车类问题】【例3】(多选)两辆汽车在同一直道上以相等的速度v0做同向直线运动，某时刻前车突然熄火做加速度大小为a1的匀减速运动，后车司机经Δt时间后刹车，以大小为a2的加速度做匀减速运动，结果两车同时停下且没有发生碰撞，则在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是()A.eq\f(v0Δt,2) B．v0ΔtC.eq\f(v02,2)(eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)) D.eq\f(v02,2)(eq\f(1,a1)－eq\f(1,a2))答案AD解析前车减速到零所需时间为：t1＝eq\f(v0,a1)，减速通过的位移为：x1＝eq\f(v02,2a1)，后车在Δt时间内通过的位移为x′＝v0Δt，后车减速到零经历的时间为：t2＝eq\f(v0,a2)，减速通过的位移为：x2＝eq\f(v02,2a2)，由于两车同时停下且没有发生碰撞，故t1－Δt＝t2，x′＋x2＝x1＋s0，联立解得，在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是：s0＝eq\f(v0Δt,2)或eq\f(v02,2)(eq\f(1,a1)－eq\f(1,a2))，故A、D正确，B、C错误．【变式3-1】汽车A以vA＝4m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7m处、以vB＝10m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2m/s2。从此刻开始计时。求：(1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少；(2)经过多长时间A恰好追上B。[解题指导]汽车A和B的运动过程如图所示。[解析](1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA，解得t＝3s此时汽车A的位移xA＝vAt＝12m汽车B的位移xB＝vBt－eq\f(1,2)at2＝21m故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16m。(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝eq\f(vB,a)＝5s，运动的位移xB′＝eq\f(vB2,2a)＝25m汽车A在t1时间内运动的位移xA′＝vAt1＝20m此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12m汽车A需再运动的时间t2＝eq\f(Δx,vA)＝3s故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8s。[答案](1)16m(2)8s【变式3-2】两辆完全相同的汽车，沿水平道路一前一后匀速行驶，速度均为v0。若前车突然以恒定的加速度a刹车，在它刚停住时，后车以加速度2a开始刹车。已知前车在刹车过程中所行驶的路程为s，若要保证两辆车在上述情况中不发生碰撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为()A．eq\f(1,2)sB．eq\f(3,2)sC．2sD．eq\f(5,2)s解析：选B因后车以加速度2a开始刹车，刹车后滑行的距离为eq\f(1,2)s；在前车刹车滑行的时间内，后车匀速运动的距离为2s，所以，两车在匀速行驶时保持的距离至少应为2s＋eq\f(1,2)s－s＝eq\f(3,2)s。【变式3-3】在某个恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶.某时刻两车司机听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，两车刹车后的v－t图象如图所示，下列说法正确的是()A.甲车的加速度大于乙车的加速度B.若t＝24s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最远C.为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48mD.若两车发生碰撞，则可能是在开始刹车24s以后的某时刻发生的答案C解析甲车的加速度大小a1＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(Δv1,Δt1)))＝eq\f(16,48)m/s2＝eq\f(1,3)m/s2乙车的加速度大小a2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(Δv2,Δt2)))＝eq\f(20,40)m/s2＝eq\f(1,2)m/s2所以甲车的加速度小于乙车的加速度，故A错误；t＝24s时，两车速度相等，开始时，甲在前、乙在后同向行驶，所以若t＝24s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最近，故B错误；0～24s内，甲车的位移x1＝eq\f(16＋8,2)×24m＝288m乙车的位移x2＝eq\f(20＋8,2)×24m＝336m两者位移之差Δx＝x2－x1＝48m所以为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48m，故C正确；t＝24s时，两车速度相等，若两车速度相等时没有相撞，则速度相等后，甲车的速度比乙车的大，两车不可能相撞，故D错误.【题型4图像问题】【例4】随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手机，然而开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图甲所示，一辆出租车在平直公路上以v0＝20m/s的速度匀速行驶，此时车的正前方x0＝63.5m处有一辆电动车，正以v1＝6m/s的速度匀速行驶，而出租车司机此时开始低头看手机，3.5s后才发现危险，司机经0.5s反应时间后，立即采取紧急制动措施。若从司机发现危险开始计时，出租车的速度—时间图像如图乙所示，重力加速度g取10m/s2。(1)若出租车前面没有任何物体，从司机开始低头看手机到出租车停止运动的这段时间内，出租车前进的距离是多少？(2)通过计算判断电动车是否会被撞。若不会被撞，求二者之间的最小距离；若会相撞，求从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞。解析：(1)根据题意可知，出租车先匀速行驶t1＝3.5s，然后在反应时间t2＝0.5s内继续匀速行驶，再匀减速行驶t3＝4.0s停止，总位移为x＝v0(t1＋t2)＋eq\f(1,2)v0t3＝120m。(2)由题图乙可知，出租车做匀减速运动的加速度大小为a＝eq\f(|Δv|,t3)＝5m/s2，设两车速度相等时，出租车的刹车时间为Δt，则有v0－aΔt＝v1，解得Δt＝2.8s，出租车的位移为x1＝v0(t1＋t2)＋eq\f(1,2)(v0＋v1)Δt，代入数据可解得x1＝116.4m。电动车的位移为x2＝v1(t1＋t2＋Δt)＝40.8m，因为x1－x2＝75.6m>63.5m，故电动车会被撞。设出租车刹车后经过时间t′电动车被撞，则有v0(t1＋t2)＋v0t′－eq\f(1,2)at′2＝x0＋v1(t1＋t2＋t′)，代入数据解得t′＝0.6s(另一解不符合题意，舍去)。答案：(1)120m(2)电动车会被撞刹车后经过0.6s二者相撞【变式4-1】如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v-t图像如图乙所示。已知B车在第1s内与A车的距离缩短了x1＝12m。(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小；(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离s0应满足什么条件？[解析](1)在t1＝1s时A车刚启动，两车缩短的距离为x1＝vBt1代入数据解得B车的速度为vB＝12m/s速度—时间图像的斜率表示加速度，则A车的加速度为a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(vA－0,t2－t1)＝3m/s2。(2)两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于v-t图像的t2＝5s，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，为x＝eq\f(1,2)vB(t1＋t2)＝36m若A、B两车不会相撞，距离s0应满足条件为s0≥36m。[答案](1)12m/s3m/s2(2)s0≥36m【变式4-2】如图所示，图线Ⅰ和Ⅱ分别表示先后从同一地点以相同速度v做竖直上抛运动的两物体的v-t图线，则两物体()A．在第Ⅰ个物体抛出后3s末相遇B．在第Ⅱ个物体抛出后4s末相遇C．在第Ⅱ个物体抛出后2s末相遇D．相遇时必有一个物体速度为零解析：选C根据v-t图像与坐标轴围成的面积表示位移，可知在第Ⅰ个物体抛出后3s末第Ⅰ个物体的位移大于第Ⅱ个物体的位移，而两者从同一地点开始运动，所以在第Ⅰ个物体抛出后3s末没有相遇，故A项错误；在第Ⅱ个物体抛出后4s末即图中第6s末，第Ⅰ个物体的位移为0，第Ⅱ个物体的位移不为0，所以两者没有相遇，故B项错误；在第Ⅱ个物体抛出后2s末，即图中第4s末，两物体的位移相等，所以在第Ⅱ个物体抛出后2s末相遇，故C项正确；图中第4s末两物体相遇，由图看出两个物体的速度均不为零，故D项错误。【变式4-3】在水平直轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？(请用临界法与图象法分别分析解题)答案见解析解析方法一图象法利用v－t图象求解，先作出A、B两车的v－t图象，如图所示.设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v′＝v0－2at对B车有vB＝v′＝at以上两式联立解得t＝eq\f(v0,3a)经时间t两车的位移之差为原来两车间距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知x＝eq\f(1,2)v0·t＝eq\f(1,2)v0·eq\f(v0,3a)＝eq\f(v02,6a)所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤eq\r(6ax).方法二临界条件法两车不相撞的临界条件是，A车追上B车时其速度与B车相等.设从A、B两车相距x到A车追上B车时，A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t；B车的位移为xB、末速度为vB，运动过程如图所示.对A车有xA＝v0t＋eq\f(1,2)(－2a)t2，vA＝v0＋(－2a)t对B车有xB＝eq\f(1,2)at2，vB＝at由两车位移关系有x＝xA－xB追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB联立以上各式解得v0＝eq\r(6ax)故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤eq\r(6ax).【题型5能否撞上的问题】【例5】m/s2，刹车时的加速度大小a2＝5m/s2.为了避免与小狗发生碰撞，汽车的自动驾驶系统该作出的正确判断是()A.汽车应保持原速通过B.汽车应刹车减速C.汽车应加速通过D.不论汽车是加速还是刹车均不能避免与小狗发生碰撞答案C解析小狗走过L1距离的时间为t1＝eq\f(L1,v2)＝eq\f(5,5)s＝1s汽车的速度v1＝40km/h≈11.1m/s，若保持原速行驶，则在t1时间内的位移为x1＝v1t1＝11.1m因为L2＋d1>x1>L2则小狗会与车相撞，选项A错误；若汽车刹车减速，则在t1＝1s内的位移x2＝v1t1－eq\f(1,2)a2t12＝8.6m>L2，则汽车也会与小狗相撞，选项B错误；若汽车加速通过，则在t1＝1s内的位移x3＝v1t1＋eq\f(1,2)a1t12＝13.1m>L2＋d1＝13m则可避免车与小狗相撞，选项C正确，选项D错误.【变式5-1】(多选)汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌(如图所示)，以提醒后面驾车司机减速安全通过。在夜间，有一货车因故障停驶，后面有一小轿车以30m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50m内的物体，并且他的反应时间为0.6s，制动后最大加速度为5m/s2。假设小轿车始终沿直线运动。下列说法正确的是()A．小轿车从刹车到停止所用的最短时间为6sB．小轿车的刹车距离(从刹车到停止运动所走的距离)为80mC．小轿车运动到三角警示牌时的最小速度为20m/sD．三角警示牌至少要放在货车后58m远处，才能有效避免两车相撞解析：选AD设小轿车从刹车到停止时间为t2，则t2＝eq\f(0－v0,a)＝6s，故A正确；小轿车的刹车距离x＝eq\f(0－v02,2a)＝90m，故B错误；反应时间内通过的位移为x1＝v0t1＝18m，减速通过的位移为x′＝50m－18m＝32m，设减速到警示牌的速度为v′，则2ax′＝v′2－v02，解得v′＝2eq\r(145)m/s，故C错误；小轿车驾驶员发现三角警示牌到小轿车停止的过程中，小轿车通过的总位移为x总＝(90＋18)m＝108m，三角警示牌放置的位置到货车的距离为Δx＝(108－50)m＝58m，故D正确。【变式5-2】A、B两辆列车在能见度很低的雾天里在同一轨道上同向行驶，A车在前，速度vA＝10m/s，B车在后，速度vB＝30m/s。当B车发现A车时就立刻刹车。已知B车在进行刹车测试时发现，若车以30m/s的速度行驶时，刹车后至少要前进1800m才能停下，假设B车刹车过程中加速度恒定。为保证两辆列车不相撞，则能见度至少要达到()A．400m B．600mC．800m D．1600m解析：选C对B车，由运动学公式有0－v02＝2ax，解得a＝eq\f(0－302,2×1800)m/s2＝－0.25m/s2，作出A、B两车运动过程中的速度—时间图像如图所示，图线的交点的横坐标为两车速度相等的时刻，有t＝eq\f(vA－vB,a)＝80s，当两车速度相等时相距最近，此时两车不相撞，则以后不能相撞，由v-t图像与坐标轴围成的面积表示位移可知，图像中阴影三角形的面积为能见度的最小值，则xmin＝eq\f(1,2)×(30－10)×80m＝800m，C正确。【变式5-3】某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200m处有一安全车正以10m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2m/s2的加速度追赶.(1)求赛车出发3s末的瞬时速度大小；(2)求赛车何时追上安全车？追上之前与安全车最远相距多少？(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)答案(1)6m/s(2)20s225m(3)20s解析(1)赛车3s末的速度v1＝a1t1＝2×3m/s＝6m/s.(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得v0t2＋200m＝eq\f(1,2)a1t22解得t2＝20s此时赛车的速度v＝a1t2＝2×20m/s＝40m/s当两车速度相等时，两车相距最远由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间t3＝eq\f(v0,a1)＝eq\f(10,2)s＝5s两车最远相距Δs＝v0t3＋200m－eq\f(1,2)a1t32＝(10×5＋200－eq\f(1,2)×2×52)m＝225m.(3)假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)由位移关系得vt4－eq\f(1,2)a2t42＝v0t4解得t4＝15s赛车停下来的时间t′＝eq\f(v,a2)＝eq\f(40,4)s＝10s所以t4＝15s不合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动.设再经时间t5两车第二次相遇，应满足eq\f(v2,2a2)＝v0t5解得t5＝20s.【题型6极值问题】【例6】若A、B两辆车相距2m，沿同一直线同向运动，B车在前做初速度为零，加速度为a1的匀加速直线运动，A车在后面做初速度为2m/s，加速度为a2的匀加速直线运动，讨论a1与a2满足什么条件时两车相遇一次？解析：对A：xA＝v0t＋eq\f(1,2)a2t2，对B：xB＝eq\f(1,2)a1t2若相遇，xA＝xB＋x0，整理得eq\f(1,2)(a2－a1)t2＋2t－2＝0当a2－a1＝0时，t＝1s，两车相遇一次当a2－a1＝－1m/s2时，t＝2s，两车相遇一次当a2－a1＜－1m/s2时，Δ＝4＋4(a2－a1)＜0，无解当－1m/s2＜a2－a1＜0时，t＝eq\f(－2±2\r(1＋a2－a1),a2－a1)＞0，相遇两次当a2－a1＞0时，t＝eq\f(－2＋2\r(1＋a2－a1),a2－a1)＞0，t＝eq\f(－2－2\r(1＋a2－a1),a2－a1)＜0(舍去)，相遇一次综上，当a2－a1＝－1m/s2或a2－a1≥0时，相遇一次。答案：a2－a1＝－1m/s2或a2－a1≥0【变式6-1】(多选)为解决疫情下“最后500米”配送的矛盾，将“人传人”的风险降到最低，目前一些公司推出了智能物流机器人。机器人运动的最大速度为1m/s，当它过红绿灯路口时，发现绿灯时间是20s，路宽是19.5m，它启动的最大加速度是0.5m/s2，下面是它过马路的安排方案，既能不闯红灯，又能安全通过的方案是()A．在停车线等绿灯亮起，以最大加速度启动B．在距离停车线1m处，绿灯亮起之前2s，以最大加速度启动C．在距离停车线2m处，绿灯亮起之前2s，以最大加速度启动D．在距离停车线0.5m处，绿灯亮起之前1s，以最大加速度启动解析：选BD机器人在停车线等绿灯亮起后，需要t1＝eq\f(v,a)＝2s达到最大速度，位移是x1＝eq\f(1,2)at12＝1m，匀速运动的位移x2＝l－x1＝18.5m，需要时间为t2＝eq\f(x2,v)＝18.5s，两次运动时间之和为20.5s，不安全，故A不对。在距离停车线1m处以最大加速度启动2s，正好绿灯亮，机器人也正好到了停车线，再经过19.5s，过了马路，这个方案是可以的，故B对。在距离停车线2m处，机器人启动2s后，走了1m，距离停车线还有1m，这时绿灯亮起，机器人距离马路另外一端还有20.5m，需要20.5s通过，而绿灯时间