2023-2024学年陕西省西安市莲湖区高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年陕西省西安市莲湖区高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线3x+3y+5=0的倾斜角为A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知F(23,0)为双曲线C：x24−A.x±2y=0 B.2x±y=0 3.已知数列{an}的首项a1=3，且aA.3 B.−2 C.43 D.4.在三棱锥P−ABC中，M为AC的中点，则PM=(

)A.12BA+12BC+BP

5.某学习小组研究一种卫星接收天线(如图①所示)，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处(如图②所示).已知接收天线的口径(直径)为5.6m，深度为0.7m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为(

)A.2.1m

B.2.8m

C.4.2m

D.5.6m6.若直线ax+by−1=0与圆O：x2+y2=1相离，则过点P(a,b)的直线与椭圆A.0或1 B.0 C.1 D.27.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1+aA.8 B.12 C.18 D.248.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，两点，且|AF2|=3|F2B|，A.2 B.3 C.2 D.二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于空间向量，以下说法正确的是(

)A.若非零向量a，b，c满足a⊥b，c⊥b，则a//c

B.若对空间中任意一点O，有OP=12OA+23OB−16OC，则P，A，B，C四点共面

C.若空间向量a=(0,1,1)，b=(1,1,2)10.已知圆M：x2+y2−6x=0和圆N：x2+y2+8y=0，PA.圆M与圆N有四条公切线

B.两圆的公共弦所在的直线方程为3x+4y=0

C.|PQ|的最大值为12

D.若P(2,22)，则过点P且与圆11.已知数列{an}满足a1=26，3an+1=anA.{an+1}为等比数列 B.{an}的通项公式为an=13n−4−1

12.已知F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，直线y=kx与椭圆C交于A，B两点，M，N分别为AF，BF的中点，A.32 B.910 C.1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若直线l与直线x+y−1=0关于直线y=2对称，则直线l的一般式方程为______．14.已知空间中的三点O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,0,1)，则点A到直线OB的距离为______．15.已知A(4,1)，B(3,0)，M是抛物线C：y2=12x上的一点，则△MAB周长的最小值为______．16.如图所示的数阵由数字1和2构成，将上一行的数字1变成1个2，数字2变成2个1，得到下一行的数据，形成数阵，设an是第n行数字1的个数，bn是第n行数字2的个数，则a6+a7=四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知圆C过点A(2,0)和B(0,0)，且圆心C在直线l：x−y=0上．

(1)求圆C的标准方程；

(2)经过点(2,−1)的直线l′与l垂直，且l′与圆C相交于M，N两点，求|MN|．18.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+5n．

(1)求{an}的通项公式；

19.(本小题12分)

一动圆经过点F(0,2)且与直线y=−2相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为(2,2)，求直线l的方程．20.(本小题12分)

在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AC，E为AB的中点．

(1)证明：BC1//21.(本小题12分)

已知{an}是首项为1的等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且b1=a2，b2=a4．

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)在{an}中，对每个正整数k22.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上、下顶点分别是A，B，点P(异于A，B两点)在椭圆C上，直线PA与PB的斜率之积为−49，椭圆C的长轴长为6．

(1)求C的标准方程；

(2)已知T(0,1)，直线PT与椭圆C的另一个交点为参考答案1.C

2.B

3.A

4.B

5.B

6.D

7.D

8.A

9.BCD

10.BCD

11.AC

12.BD

13.x−y+3=0

14.615.7+16.16

2n+117.解：(1)设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，则(2−a)2+(0−b)2=r2(0−a)2+(0−b)2=r2a−b=0，

解得a=1b=1r=2，所以圆C的方程为(x−1)2+(y−118.解：(1)当n=1时，a1=S1=6，

当n⩾2时．an=Sn−Sn−1=(n2+5n)−[(n−1)2+5(n−1)]=2n+4，

19.解：(1)设动圆半径为r，圆心为P，

则|PF|=r，点P到直线y=−2的距离为|y+2|=r=|PF|．

又点F(0,2)不在直线y=−2上，

所以动圆圆心P的轨迹是以F(0,2)为焦点，y=−2为准线的抛物线，

所以曲线C的方程为x2=8y．

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x12=8y1x12=8y2，

两式相减得x12−20.(1)证明：连接AC1，与A1C交于点F，连接EF，则F为AC1的中点．

因为E为AB的中点，所以△ABC1中，EF是中位线，EF/​/BC1，

又因为BC1⊄平面A1EC，EF⊂平面A1EC，所以BC1/​/平面A1EC；

(2)解：取A1B1的中点D，连接ED，则DE/​/AA1，结合AA1⊥平面ABC，可得DE⊥底面ABC，

根据CE是等边△ABC的中线，可得CE⊥AB．

因为DE⊥底面ABC，CE⊂底面ABC，所以DE⊥CE，

以E为原点，EC、EB、ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

令AA1=1，则E(0,0,0)，C(32,0,0)，A1(0,−12,1)，B(0,12,0)，B1(0,12,1)，

21.解：(1){an}是首项为1的等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且b1=a2，b2=a4．

设数列{an}的公差为d，

所以b1=1+d，=1+d，2b1=1+3d，

解得d=1，b1=2，

所以an=1+n−1=n，bn=2n；

(2)因为1+2+…+k=k(k+1)2，

当k=10时，k(k+1)2=55，

所以22.解：(1)由题意可得A(0,b