2024-2025学年陕西省宝鸡市高三（上）联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省宝鸡市高三（上）联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x∈R|1≤x<5}，B={x∈R|x2−3x−4<0}，则A∩B=A.(−1,1] B.(−1,4) C.[1,4) D.[1,5)2.已知复数z满足(1+i)z=2+3i，则复数z的虚部为(

)A.12 B.52 C.−13.已知向量a=(m+3,2m+1)，b=(m+3,−5)，则“|m|=2”是“a⊥bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1A.−43 B.−34 C.5.已知sin(α+β)=2cos(α−β)，tanα+tanβ=43，则tanαA.3 B.−3 C.13 D.6.等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32A.−2n B.−2nn+1 C.127.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(5,0)，过点F的直线交双曲线E于A、B两点.若A.x25−y220=1 B.8.某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额(单位：万元)等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年(2023年)该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为(参考数据：1.310≈13.79)(

)A.3937万元 B.3837万元 C.3737万元 D.3637万元二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题正确的是(

)A.若m⊥α，n//α，则m⊥n B.若m⊥n，n//α，则m⊥α

C.若m⊥α，α//β，则m⊥β D.若m//α，n//α，则m//n10.已知函数f(x)=|log2|1−x||，若函数g(x)=f2(x)+af(x)+2b有6A.a=0 B.a+b=−1 C.b=−1 D.6个零点之和是611.已知函数f(x)=sin(ωx+π6A.当ω=3时，f(x)在(4π9,7π9)上单调递增

B.若|f(x1)−f(x2)|=2，且|x1−x2|min=π2，则函数f(x)的最小正周期为π

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y13.已知数列{an}前n项和为Sn，且Sn=2an−1，n∈N+，若存在两项am，an14.已知曲线f(x)=x+ex在点(0,f(0))处的切线与曲线y=ln(x−1)+a相切，则a=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，已知⊙O的半径为1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是半圆上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D与圆心分别在PC两侧．

(1)若∠POB=θ，试将四边形OPDC的面积y表示成θ的函数；

(2)求四边形OPDC面积的最大值？16.(本小题15分)

统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为2020年−2024年我国在线直播生活购物用户规模(单位：亿人)，其中2020年−2024年对应的代码依次为1−5．年份代码x12345市场规模y3.984.565.045.866.36参考数据：y−≈5.16，v−≈1.68，i=15viyi≈45.10，其中vi=xi．

参考公式：对于一组数据(v1,y1)，(v2,y2)…(vn,yn)，其经验回归直线y=bv+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为17.(本小题15分)

如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA18.(本小题17分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线与椭圆x24+y2=1相交所得线段长为3．

(1)求抛物线C的方程；

(2)设圆M过A(2,0)，且圆心M在抛物线C上，BD是圆M在y轴上截得的弦.当M在抛物线C上运动时，弦BD的长是否有定值？说明理由；

(3)过F(1,0)作互相垂直的两条直线交抛物线C于G、19.(本小题17分)

已知函数f(x)=x3+ax2−a2x−1．

(1)当a=−5时，则过点(0,2)的曲线f(x)的切线有几条？并写出其中一条切线方程；

(2)讨论f(x)的单调性；

参考答案1.C

2.A

3.B

4.A

5.D

6.B

7.D

8.A

9.AC

10.BD

11.ABD

12.213.4

14.4+ln2

15.解：(1)在△OPC中，由余弦定理得：PC2=OP2+OC2−2OP⋅OC⋅cosθ

=1+4−4cosθ=5−4cosθ，

y=S△OPC+S△PDC

=16.解：(1)设v=x，则y=bv+a，

所以b=i=15viyi−5v−y−i=15vi2−5v−2≈45.10−5×1.68×5.1615−5×1.682≈1.98，

所以y与x的拟合函数关系式为y=1.98x+1.83，

当x=9时，y=1.98×3+1.83=7.77，

则估计2028年我国在线直播生活购物用户的规模为7.77亿人；

(2)由题意知X∼B(5,P)，17.解：(1)证明：以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则C(0,0,0)，C2(0,0,3)，B2(0,2,2)，D2(2,0,2)，A2(2,2,1)，

∴B2C2=(0,−2,1),A2D2=(0,−2,1)，

∴B2C2//A2D2，

又B2C2，A2D2不在同一条直线上，∴B2C2//A2D2．

(2)假设在棱BB1上存在点P(0,2,λ)(0≤λ≤4)，使得二面角P−A2C2−D2为150°，

则A2C2=(−2,−2,2),PC2=(0,−2,3−λ),D2C2=(−2,0,1)，

设平面PA2C2的法向量n18.解：(1)由已知，抛物线C的准线与椭圆相交线段的一个端点坐标是(−p2,32)，

把(−p2,32)代入椭圆方程化简得p216+34=1，解得p=2．

所以抛物线C的方程为y2=4x．

(2)假设M在抛物线C上运动时弦BD的长为定值，理由如下：

设M(x0,y0)在抛物线C上，可知M(x0,y0)到y轴距离为|x0|，

根据圆的弦长公式可知：|BD|=2|MA|2−|x0|2，

由已知|MA|2=(x0−2)2+y02，y02=4x0，

所以|BD|=2|MA|2−|x0|2=2x02−4x0+4+y02−19.解：(1)当a=−5时，f(x)=x3−5x2−25x−1，函数定义域为R，

可得f′(x)=3x2−10x−25，

设切点为(x0,y0)，

因为切线过点(0,2)，

所以切线斜率存在，

设切线方程为y=kx+2，

此时kx0+2=x03−5x02−25x0−1k=3x02−10x0−25，

整理得(x0−1)(2x02−3x0−3)=0，

易知方程2x02−3x0−3=0的判别式Δ>0，

所以该方程有2个不等实根且不为1，

则(x0−1)(2x02−3x0−3)=0有3个不等的实根，

即共有3条切线，其中一条切线的切点横坐标为1，

此时k=3−10−25=−32，

则切线方程为y=−32x+2；

(2)易知f′(x)=3x2+2ax−a2=(3x−a)(x+a)，

当a=0时，f′(x)=3x2≥0，

所以f(x)在R上单调递增；

当a>0时，−a<a3，

当x<−a时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当−a<x<a3时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>a3时，f′