专题05 解直角三角形的应用九年级数学上学期期末解答题必刷专题训练（华师大版） 带解析

解直角三角形的应用题量充足，以便于大家根据自己的喜好取舍。1．某校为了更好的记录学生们在秋季运动会中精彩的瞬间，学校特意邀请了一名摄影师携带无人机来进行航拍．如图，摄影师在水平地面上点A测得无人机位置点C的仰角为53°；当摄影师迎着坡度为1：2.4的斜坡从点A走到点B时，无人机的位置恰好从点C水平飞到点D，此时，摄影师在点B测得点D的仰角为45°，其中AB＝2.6米，CD＝3米，无人机与水平地面之间的距离始终保持不变，且A、B、C、D四点在同一平面内，求无人机距水平地面的高度．（参考数据：，，）【答案】6.4米【分析】过B作BE⊥地面，求出BE=1，AE=2.4，过B作水平线，过D作DF⊥BF，过C作CG⊥地面，交BF于M，交DB于N，设GE=x，证明四边形DCMF为矩形，得到CM=DF，MN=BM=x，FM=DC=3，BF=3+x=DF，AG=AE+GE=2.4+x，根据tan53°=，求出x，即可得到答案．【详解】解：过B作BE⊥地面，∵AB坡度为1：2.4，设BE=h，即AE=2.4h，∵AB=2.6，∴BE²+AE²=AB²即h²+5.76h²=6.76，∴h=1，BE=1，AE=2.4，过B作水平线，过D作DF⊥BF，过C作CG⊥地面，交BF于M，交DB于N，∵∠DBF=45°，∴DF=BF，设GE=x，则BM=x，∵DC∥BF，且∠DFB=∠CMF=90°，∴四边形DCMF为矩形，∴CM=DF，MN=BM=x，FM=DC=3，BF=3+x=DF，又∵BE=MG=1，∴CG=MC+MG=3+x+1=4+x，AG=AE+GE=2.4+x，∵∠CAG=53°，tan53°=，∴，即，解得：x=2.4，∴BM=2.4，BF=5.4，CM=DF=BF=5.4，CG=GM+CM=5.4+1=6.4，答：无人机距水平地面的高度约为6.4米．【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是恰当引出辅助线构造直角三角形，以及熟记各三角函数的计算公式．2．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为（i＝1：是指铅直高度DE与水平宽度CE的比），CD的长为10m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABC＝45°．（1）写出过街天桥斜面AB的坡度；（2）求DE的长；（3）若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长（结果精确到．0.01m）．【答案】（1）AB的坡度；（2）；（3）【分析】（1）作AG⊥BC于G，在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，则可以得到AG＝BG，再由AB的坡度即可求解；（2）过点D作DE⊥BC于E，根据求出∠C＝30°，从而可以得到；（3）由（1）（2）知AG＝BG=DE＝5m，，则由，得到，由此求解即可．【详解】（1）作AG⊥BC于G，在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，AG＝BG．∴AB的坡度．（2）如图所示，过点D作DE⊥BC于E，在Rt△DEC中，∵，∴∠C＝30°．又∵CD＝10m．∴．（3）由（1）（2）知AG＝BG=DE＝5m，在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，，即，解得．答：改建后需占路面的宽度FB的长约为3.66m．【总结】本题主要考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．3．如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是多少米？【答案】小树AB的高是米．【分析】过点D作FD⊥AB，交AB延长线于点F，过点C作CE⊥DF，交DF于点E，由坡比为1：，求出CE和ED，再由Rt△AFD和三角函数求出AF．进而求出AB．【详解】解：过点D作FD⊥AB，交AB延长线于点F，过点C作CE⊥DF，得Rt△AFD，Rt△CED，FE=BC，BF=CE，∵∠ADF=60°，在Rt△CED中，设CE=x，由坡面CD的坡比为，得：，则根据勾股定理得：，得，（不合题意舍去），所以，米，则米，那么，米，在Rt△AFD中，由三角函数得：，∴米，∴米，答：小树AB的高是米．【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，恰当作辅助线构建直角三角形．4．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tan18°30′≈0.33，结果精确到0.1m）【答案】（1）20m；（2）21.6m【分析】（1）由AB⊥BC，AC的坡度i，由BC长度求AB长度即可；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则EF＝EN+MN+MF=EN+CD+BC，【详解】（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，CB=10m，∴AB＝2BC＝20（m），答：观众区的水平宽度AB为20m；（2）如图，作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则四边形MFBC、MCDN为矩形，∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，在Rt△END中，tan∠EDN＝，则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，弄清坡度的概念，将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形是解决本题的关键．5．如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和如果这时气球的高度为米，且点、、在同一直线上，求建筑物、之间的距离（结果精确到米）．[参考数据：，，]【答案】220米【分析】根据题意可得，，，，分别在和，根据正切三角函数的定义求得，的长度即可求解．【详解】解：由己知，得，，，，于点

，在中，，，在中，，，．（米）．答：建筑物、间的距离约为米．【点睛】此题考查了三角函数的应用，涉及了平行线的性质，解题的关键是掌握并利用三角函数的定义求解．6．如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）．【答案】30米【分析】过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．【详解】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，则AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15，∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝，∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43≈28.6，∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．答：居民楼AB的高度约为30米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．7．郑州二七罢工纪念塔，简称“二七纪念塔”，是全国重点文物保护单位，明确提出将二七广场片区列为2020年郑州市建设发展重点任务之一，将其打造成为“郑州人精神家园、河南省消费中心．全国城市复兴典范”．某中学数学研究小组在综合实践活动中，下列示意图中B、C、D在同一条直线上，四边形BCEF为矩形（1）哪些小组的测量方案可以测量塔高？（2）请选择其中一个方案及其数据计算塔高．（结果保留整数）（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）【答案】（1）第一小组和第三小组的测量方案可以测量塔高；（2）选第一组，塔高约为63米．【分析】（1）第一组根据角的关系得到AC=CD，三角形ABC可解；无法计算EF的长度，三角形AEF不可解，故第二组不符合题意；可用AB的高度分别表示DB，BC，利用DB+CB=CD建立方程计算即可，故第三组符合题意；（2）答案不唯一，选择方案1，运用70°角的正弦计算即可．【详解】（1）第一小组和第三小组的测量方案可以测量塔高．理由如下：∵∠ACB=70°，∠D=35°，∴∠CAD=∠ACB-∠D=70°-35°=∠D=35°，∴AC=CD=67.1，在Rt△ABC中，=sin70°，∴AB=ACsin70°，∴第一组符合题意；∵无法计算EF的长度，∴三角形AEF不可解∴第二组方案不可行；设AB=x，则DB=x÷tan35°，BC=x÷tan70°，∵DB+CB=CD建立方程计算即可，∴第三组符合题意；（2）∵∠ACB=70°，∠D=35°，∴∠CAD=∠ACB-∠D=70°-35°=∠D=35°，∴AC=CD=67.1，在Rt△ABC中，=sin70°，∴AB=ACsin70°=67.1×0.94≈63（米）．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本条件并灵活选择三角函数计算是解题的关键．8．一条自西向东的观光大道ｌ上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（答案可保留根号）【答案】【分析】过点C作CD⊥l于点D，设CD=xkm．先解直角△ACD，得出AD=CD=km，再解直角△BCD，得出BD=CD=xkm，然后根据ADBD=AB，列出关于x的方程，解方程即可．【详解】解：如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD=xkm．在△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，∴AD=CD=xkm．在△BCD中，∵∠BDC=90°，∠CBD=45°，∴BD=CD=xkm．∵ADBD=AB，∴xx=2，∴x=+1．故景点C到观光大道l的距离约为km．【点睛】本题考查解直角三角形知识的实际运用，难度适中，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．9．某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明点B是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．【答案】（1）BC=18>16，在暗礁区域外；（2）C到AB的距离为，小于16，继续向东有危险【分析】（1）作CD⊥AB于D点，可先求出CD的长，再求出CB的长即可；（2）根据（1）中求出的CD值，进行比较即可．【详解】解：（1）作CD⊥AB于D点，设BC为x海里，在Rt△BCD中∠CBD＝60°，∴BD＝x海里．CD＝x海里．在Rt△ACD中∠CAD＝30°tan∠CAD＝＝，∴＝．解得x＝18．∵18>16，∴点B是在暗礁区域外；（2）∵CD＝x＝9海里，∵9＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险．【点睛】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．10．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动（1）当∠CDE＝60°时，①求点C到直线DE的距离（计算结果保留根号）；②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，则CD旋转的角度为．（直接写出结果）（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）【答案】（1）①；②124mm；（2）33.4°【分析】（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，根据60°角的正弦可得点C到直线DE的距离CF的长；②在Rt△ACH中，解直角三角形可得AH的长，再根据点A到直线DE的距离为AH+CF可得答案．（2）画出符合题意的图形，在Rt△B′C′D中，解直角三角形可得∠B′DC′的度数，则CD旋转的角度等于∠CDE﹣∠B′DC′．【详解】解：（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE，则点C到直线DE的距离为CF，在Rt△CDF中，∵sin∠CDE＝，∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35．②由图可知，点A到直线DE的距离=AH+CF．∵∠DCB＝70°，∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，∵CG∥DE，∴∠GCD＝∠CDE＝60°．∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．在Rt△ACH中，∵sin∠ACH＝，∴AH＝AC•sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64mm，∴点A到直线DE的距离为AH+CF＝35+64≈124mm．（2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，C的对应点为C′，则B′C′＝BC＝35mm，DC′＝DC＝70mm．在Rt△B′C′D中，∵tan∠B′DC′＝，∴∠B′DC′＝26.6°．∴CD旋转的角度为∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.4°．故答案为：33.4°．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．11．某学校A位于工地O的正西方向，且，一辆货车从O处出发，以的速度沿北偏西方向行驶．已知货车的噪声污染半径为，那么学校是否在该货车噪声污染范围内？若在，则学校受该货车噪声污染的时间有几秒？（结果精确到）【答案】在噪声污染范围内，约．【分析】问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内，其实就是问A到OM的距离是否大于污染半径130m，如果大于则不受影响，反正则受影响．如果过A作AB⊥OM于B，那么AB就是所求的线段．直角三角形AOB中，∠AOB的度数容易求得，又已知了OA的值，那么AB便可求出了．然后进行判断即可，算出学校从刚开始受到噪声污染到污染刚好消失这段时间内货车行驶的路程，再除以货车的速度就是学校受污染的时间．【详解】解：如图，过点A作AB⊥OM于点B，∵∠MON＝53°，∴∠AOM＝90°−53°＝37°．在Rt△ABO中，∵sin∠AOB＝，∴AB＝AO•sin∠AOB＝200×sin37°≈120（m）．∵120m＜130m．∴教室A在拖拉机的噪声污染范围内．设货车在C点时刚好对学校产生污染，在D点时污染刚好消失，如图所示，如图，假设AD＝AC＝130m，∵，∴B为CD的中点，即BC=DB，∴BC＝=50m，∴BD＝2BC=100m，∴t＝＝＝20s．即：学校受噪声污染的时间为20秒.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的知识，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．12．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？【答案】当海轮到达位于灯塔P的南偏东方向时，它距离灯塔P大约【分析】在中，根据求得，在中，根据即可求得．【详解】解：如图，在中，．在中，，∵，∴．因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东方向时，它距离灯塔P大约．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握方位角的表示方法，解直角三角形是解题的关键．13．如图，一枚运载火箭从地面L处发射．当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是，仰角为；后火箭到达B点，此时测得仰角为．这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果取小数点后两位）？

【答案】【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形两个直角三角形、,应利用其公共边构造等量关系，借助构造方程关系式，进而可求出答案．【详解】解：在中，,,,在中，,,,答：火箭从点到点的平均速度约为km/s．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题的知识点，此题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角形函数解直角三角形．14．如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度是指DE与CE的比．根据图中数据．

求：（1）坡角和的度数；（2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）．【答案】（1），；（2）【分析】（1）根据坡度的定义计算即可；（2）根据勾股定理求出AB即可得解；【详解】（1）∵斜面AB坡度，斜面CD坡度，∴，，∴，；（2）∵，∴，∴；【点睛】本题主要考查了坡度的知识点求解和勾股定理计算，准确计算是解题的关键．15．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AC，BD和AB的长度（结果保留小数点后两位）．【答案】，，．【分析】过点作，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，在中，根据求得，在中，根据求得，进而求得，根据即可求得的长．【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，四边形是矩形，，在中，，m，在中，，m，，m，，m，，，．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．16．如图，两座建筑物的水平距离BC为，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为．求这两座建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．【答案】AB为，CD为．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形，根据锐角的正切函数，即可求解．【详解】解：过点D作DE⊥AB，则四边形BCDE为矩形，在Rt△ADE中，∠ADE＝=，DE＝BC=，∴AE＝DEtan∠ADE＝32.6×tan≈23.0m；在Rt△ABC中，∠ACB＝=，BC=，∴AB＝BCtan＝32.6×tan≈30.8m；则DC＝AB−AE＝30.83−23.00＝7.8∴AB为，CD为．即两座建筑物的高度分别为，．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．17．如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB＝3米，BC＝0.5米，且CE平行于地面，车厢底部距离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ＝60°，此时车厢的最高点A距离地面约为多少米？（四舍五入精确到1米）（参考数据：≈1.73）【答案】4m【分析】要算出点A距离地面的距离，只需算出点A距离车厢的距离加上1.2米即可．如下图，过A作AF⊥CE于点F，延长AB交FC的延长线于点G，在△BGC中，根据已知条件可以求出∠BGC=60°，然后可以求出GB，也就求出了AG，最后可以求出AF，加上1.2就是点A距离地面的高度．【详解】如图，过A作AF⊥CE于点F，延长AB交FC的延长线于点G，

∵+∠BCG=90°，∠BGC+∠BCG=90°，

∴∠BGC=60°，

∵BC=0.5米，

∴在Rt△BCG中，BG=0.5÷tan60°=，

那么AG=AB+BG=3+，

∴在Rt△AGF中，AF=AG×sin60°=，

∴点A距离地面为+1.2≈4m．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是是构造所求线段所在的直角三角形．18．一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港．（1）求A，C两港之间的距离（结果精确到）；（2）确定C港在A港的什么方向．【答案】（1）约；（2）C港在A港北偏东方向．【分析】（1）根据题意求出∠ABC=90°，然后根据勾股定理即可求出AC的长度；（2）根据（1）可得∠BAC=45°，结合∠BAM=60°即可求解．【详解】如图所示，（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴AC=．答：A、C两地之间的距离为14.1km．（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=∠BAM-∠BAC=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理和方位角问题，解题的关键是熟练掌握根据题意求出∠ABC=90°．19．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为．（1）求新传送带的长度；（2）如果需要在货物着地点的左侧留出的通道，试判断距离点的货物是否需要挪走，并说明理由．（结果精确到，已知，，）【答案】（1）；（2）需要挪走，理由见解析【分析】（1）在中，由算出，在中，由30°所对的直角边等于斜边的一半即可算出；（2）在中，由算出，在中，由算出，然后算出，，用与2作比较即可．【详解】解：（1）在中，，在中，，∴，答：新传送带的长度约为；（2）在中，，在中，，∴，∵，∴货物需要挪走．【点睛】本题考查了解直角三角形问题，在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类问题的基本思路．20．小致为了测量楼房的高度，他从楼底的处沿着斜坡行走，达到坡顶处．已知斜坡的坡角为，小致的身高是，他站在坡顶看楼顶处的仰角为，则楼房的高度为多少．【答案】楼房的高度约为．【分析】作DH⊥AB于H，根据余弦的定义求出BC，根据正弦的定义求出CD，结合题意计算即可．【详解】解：作于，如图：∵＝，＝，又∵，，∴＝＝，＝＝，由题意得，四边形和四边形是矩形，∴＝＝，＝＝，∵＝，∴＝＝，∴＝＝＝25.8，答：楼房的高度约为．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为，且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，）【答案】8米【分析】过点F作FH⊥AD于H，根据坡度的概念分别求出AE、BE，根据正切的定义求出AH，结合图形计算，得到答案．【详解】解：过点F作FH⊥AD于H，

则四边形FHEB为矩形，

∴FH＝BE，BF＝HE，

∵斜坡AB的坡比为，

∴BE：AE＝12：5，

设BE＝12x米，则AE＝5x米，

在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2，即262＝（12x）2＋（5x）2，

解得：x1＝2，x2＝−2（舍去），

则AE＝10米，BE＝FH＝24米，

在Rt△FAH中，tan∠FAH＝，

∴AH＝≈（米），

∴BF＝HE＝AH−AE＝18−10＝8（米），

答：BF至少是8米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．22．2021年4月29日11时23分，中国空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功．建造空间站，建成国家太空实验室，是实现我国载人航天工程“三步走”战略的重要目标，是建设科技强国、航天强国的重要引领性工程．天和核心舱发射成功，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段，为后续任务展开奠定了基础．某校航天爱好者的同学们构建数学模型，使用卷尺和测角仪测量天和核心舱的高度．如图所示，核心舱架设在1米的稳固支架上，他们先在水平地面点B处测得天和核心舱最高点A的仰角为，然后沿水平MN方向前进24米，到达点C处，测得点A的仰角为，测角仪MB的高度为1.6米，求天和核心舱的高度（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）【答案】16.6米【分析】过点作⊥交的延长线于点，延长交于，则四边形，是矩形，分别求得，根据，可得是等腰直角三角形，设，根据，解直角三角形即可，进而求得．【详解】如图，过点作⊥交的延长线于点，延长交于，则四边形，是矩形，，，是等腰直角三角形，设解得核心舱架设在1米的稳固支架上，17.6-1=16.6答：天和核心舱的高度16.6米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，仰角问题，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，）【答案】96米【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．【详解】延长交于点，过点作，交于点，由题意得，，∴四边形为矩形，∴，.在中，，∴，，∴，，∴，∴.在中，，∴，∴，∴，∴.答：大楼的高度约为96米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．24．如图，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是，大门距主楼的距离是．在大门处测得主楼顶部的仰角是，而当时测倾器离地面．求（1）学校主楼的高度（结果精确到）；（2）大门顶部与主楼顶部的距离（结果精确到）．【答案】（1）约；（2）约【分析】（1）过E做EN平行于BC交DC于N，利用三角函数求出DN的长，再加上CN的长度即可求解；

（2）过A做AM平行于BC交DC于M，求出DM=DC-AB=13.72m，利用勾股定理即可求出AD的长．【详解】解：（1）过E做EN平行于BC交DC于N，

由题意可得，∠DEN=30°且BC=EN，

∴DN=EN·tan∠DEN=30·tan30°=10m，

DC=DN+NC=DN+EB=10+1.4≈18.72m；

（2）过A做AM平行于BC交DC于M，

∵DM=DC-MC且AB=MC，

∴DM=DC-AB=13.72m，

在Rt△AMD中∠AMD=90°，

∵AM=BC=30m，DM=13.72m，

由勾股定理得：

，代入得：，解得：AD≈32.99m．

答：学校主楼的高度为18.72米，大门顶部与主楼顶部的距离为32.99米．【点睛】本题考查三角函数应用题，解题的关键是构造直角三角形，根据仰角的三角函数值求解．25．如图，为了测量山坡的护坡石坝与地面的倾斜角，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长处离地面的高度为，又量得竿顶与坝脚的距离，这样就可以计算出来了．请你算一算．【答案】【分析】过点C作CF⊥AB交AB延长线于点F，根据题意可得：，从而解得，再由锐角三角函数，即可求解．【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB交AB延长线于点F，根据题意得：DE⊥AB，∴DE∥CF，，∴，∵AD=1米，AC=4.5米，DE=0.6米，∴，解得：，在中，，∴．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，能够构造直角三角形是解题的关键．26．如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为，求塔高及大楼与塔之间的距离（结果精确到）．【答案】；【分析】设塔高BC为xm，由在Rt△ABC中，tan∠BAC=与在Rt△BDE中，tan∠BDE=，AC=DE，列方程即可求得x的值，继而求得塔高BC及大楼与塔之间的距离AC．【详解】解：设塔高BC为xm．

在Rt△ABC中，tan∠BAC=，

∴AC=，在Rt△BDE中，tan∠BDE=，

∴DE=，∵AC=DE，

∴，解，得x=45（m），这时AC=（m），答：塔高BC为45米，大楼与塔之间的距离AC约是25.98米．【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．27．如图，甲､乙两楼相距，甲楼高，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为，乙楼有多高？（结果精确到）【答案】【分析】先根据题意作出示意图，然后在RT△ACE中，可得出CE的长度，继而可得出乙楼的高度．【详解】解：由题意得：∠CAE＝30°，AE＝BD＝30m，在Rt△ACE中，CE＝AE∙tan∠CAE＝10m，故可得乙楼的高度＝CE＋ED＝CE＋AB＝（40＋10）m≈．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出CE的长度，难度一般．28．求图中避雷针的长度（结果精确到）．【答案】【分析】分别在和中，用表示出，从而求出．【详解】解：在中，∴同理可得：答：避雷针的长度约为【点睛】本题考查了三角函数定义的应用，结合图形，搞清楚直角三角形的边角关系是解题的关键．29．如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2，图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆AB的长为60cm，点D是AB的中点，前支撑板DE=30cm，后支撑板EC=40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC=53°．（参考数据：）（1）如图2，当支撑点E在水平线BC上时，求支撑点E与前轮轴心B之间的距离BE的长；（2）如图3，当座板DE与地平面保持平行时，问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量.【答案】（1）BE的长为36cm；（2）变形前后两轴心BC的长度增加了4cm．【分析】（1）如图1，过点D作DF⊥BE于点F，由题意知BD=DE=30cm，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，由题意知四边形DENM是矩形，求得MN=DE=30cm，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）如图1，过点D作DF⊥BE于点F，由题意知BD=DE=30cm，∴BF=BDcos∠ABC=30×=18（cm），∴BE=2BF=36（cm）；答：BE的长为36cm；（2）如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，由题意知四边形DENM是矩形，∴MN=DE=30cm，在Rt△DBM中，BM=BDcos∠ABC=30×=18（cm），EN=DM=BDsin∠ABC=30×=24（cm），在Rt△CEN中，CE=40cm，∴由勾股定理可得CN==32（cm），则BC=18+30+32=80（cm），原来BC=36+40=76（cm），80-76=4（cm），∴变形前后两轴心BC的长度增加了4cm．．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．30．某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼AB的高度，如图，小明同学站在点D处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的倾斜边刚好落在视线CA上，沿教学楼向前走8米到达点F处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线EA上，已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼AB的高度．（点D，F，B在同一水平线上，结果保留根号）【答案】教学楼AB的高度为（13.6+4）米．【分析】连接CE并延长，交AB于点G，得到矩形CDBG，求出EG即可解决问题．【详解】解：连接CE并延长，交AB于点G，设AG=x米，由题意可知，四边形CDFE，四边形CDBG是矩形，∴BG=CD=1.6米，DF=CE=8米，∠CGB=90°，∴∠AGE=90°，在Rt△ACG中，∠ACG=45°，∴∠CAG=∠ACG=45°，∴CG=AG=x（米），∴EG=CG-CE=x-8（米），在Rt△AEG中，∠AEG=60°，tan∠AEG=，即EG=，∴x-8=，解得：x=12+4，∴AB=AG+BG=12+4+1.6=13.6+4（米）．答：教学楼AB的高度为（13.6+4）米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．31．如图，一艘货轮以的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行后到达C处，发现灯塔B在它北偏东方向，求此时货轮与灯塔B的距离（结果精确到）．【答案】【分析】根据题意求出AC的长，再利用锐角三角函数关系得出DC的长，即可得出BC的长．【详解】解：如图所示：过点C作CD⊥AB于点D，∵一艘货轮以36km/h的速度在海面上航行，向北航行40min后到达C点，∴AC＝36×40÷60＝24（km），∵∠A＝45°，∠BCN＝75°，∴∠ACD＝45°，∠DCB＝60°，∠B＝30°，则DC＝ACsin45°＝12（km），故BC＝2CD＝24≈33.94（km）．答：此时货轮与灯塔B的距离约为33.94km．【点睛】此题主要考查了方向角问题，根据题意作出正确辅助线是解题关键．32．如图，燕尾槽的横截面是梯形，其中，燕尾角，外口宽，燕尾槽深度是，求它的里口宽（结果精确到;sin55°=0.82,cos55°=0.57,tan55°=1.43）．【答案】【分析】过A作AE⊥BC与点E，则BC=AD+2BE，在直角△ABE中，根据三角函数即可求得BE的长，从而求解．【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，在直角△ABE中，tan∠ABE=，∴BE==≈49.0mm，∴BC=AD+2BE=180+2×49.0=278mm．答：里口宽BC是278mm．【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰梯形的性质以及等腰梯形的计算，可以通过作高线转化为直角三角形的计算．33．如图，一灯柱被一钢缆固定，与地面成夹角，且．在C点上方处加固另一条钢缆，那么钢缆的长度为多少？（结果精确到）【答案】【分析】要先求BE的长，就要求BC的长，而在Rt△CDB的中，已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出BC的长，再由勾股定理求得ED的长．【详解】解：在Rt△BCD中，∵BD＝5，∵tan40°＝，∴BC＝5tan40°＝4.1955≈4.20．在Rt△BED中，BE＝BC＋CE＝6.20，∴DE＝＝≈7.96答：钢缆ED的长度约7.96m．【点睛】本题主要考查解直角三角形和勾股定理，熟练掌握正切三角函数的定义是解题的关键．34．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）【答案】米．【分析】作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．【详解】解：作于点，设米，在中，，则（米，∵，且AE=8∴∴在直角中，米，在直角中，，米．，即．解得：，则米．答：的高度是米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．35．如图，一扇窗户垂直打开，即，是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在上滑动，将窗户按图示方向向内旋转到达位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测出此时为，的长为．求滑动支架的长．

【答案】【分析】题目中出现了特殊角度和，因此可以构造直角三角形，再利用特殊角的三角函数值，即可求解出对应线段的长度．【详解】解：如图，过点B作于点E，

由题意可知：∵∴在中，∴∴∵∴答：滑动支架的长为．【点睛】本题主要考查了特殊角度的三角函数值，在遇到特殊角度时，适当添加垂线，构造直角三角形是解决本题的关键．36．如图，在建筑物的左边有一个小山坡，坡底、同建筑底端在同一水平线上，斜坡的坡比为，小李从斜坡底端沿斜坡走了26米到达坡顶处，在坡顶处看建筑物的顶端D的仰角为35°，然后小李沿斜坡走了米到达底部点，已知建筑物上有一点，在处看建筑物点的仰角为18°，（点、、、、、在同一平面内）建筑物顶端到的距离长度为28.8米，（参考数据：，，，）（1）求小李从斜坡走到处高度上升了多少米．（2）求建筑物的高度．【答案】（1）10米；（2）40.8米【分析】（1）过作，根据比例设，，结合勾股定理求出，即可得到答案；（2）延长角的水平边交于则，由勾股定理求出，设，然后利用解直角三角形，求出，即可得到答案．【详解】解：（1）过作，∵的坡比，设，∴在中，∴，∴；答：小李从斜坡走到处高度上升了10米．（2）延长角的水平边交于则，在中，设，在中，，∴∵四边形是矩形，∴又∵，在中，，，；∴；答：建筑物的高度为40.8米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，也考查了勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．37．避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的长度（，，三点共线），在水平地面点测得，，点与大楼底部点的距离，求避雷针的长度．（结果精确到．参考数据：，，，，，）【答案】【分析】根据，然后根据即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，即，解得：m，∵，∴，即，解得：m，∴m．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形，将实际问题转换为解直角三角形的问题是解答此题的关键．38．如图，兰兰站在河岸上的点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.6米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度，坡长米，求小船到岸边的距离的长?（参考数据：，结果保留1位小数）【答案】9.4米【分析】构造直角三角形，则AB和CD都为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH-AE-EH即为AC长度．【详解】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得和矩形BEHG．∵∴∴∵AB=10米∴米，米．∴米∵DG=1.6米，BG=EH=1米，∴DH=DG+GH=1.6+8=9.6米，米．在中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.6米，，∴米．又∵，即，∴（米）．∴答：的长约是米．【点睛】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．39．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．托板AB＝120mm，支撑板CD＝80mm，底座DE＝90mm．托板AB与支撑板顶端C连接，CB＝40mm，AB可绕点C转动，CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839；sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，）【答案】（1）；（2）33.4°【分析】（1）作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，作CF⊥AM于F，作CN⊥DE于N，利用三角函数的比值关系分别求出和的长即可；（2）作出旋转后图形，利用利用三角函数的比值关系列式运算即可．【详解】解：（1）如图2，作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，作CF⊥AM于F，作CN⊥DE于N得矩形CFMN，Rt△ACF，Rt△CDN，∠AFC＝∠CNM＝∠FCN＝90°由题意，可知AB＝120，CB＝40，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，∴AC＝80，在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝＝FM，∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝50°，∴∠ACF＝180°﹣90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°≈80×0.643≈51.44，∴AM＝AF＋FM≈51.44＋≈120.7，答：点A到直线DE的距离约为120.7mm（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°＋10°＝90°在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40，∴tan∠D，∴∠D≈26.6°，因此旋转的角度为：60°－26.6°≈33.4°，答：CD旋转的角度约为33.4°．【点睛】本题主要考查了解三角函数的实际应用，根据题意作出图形，掌握三角函数的比值关系是解题的关键．40．如图，有甲、乙两建筑物，甲建筑物的高度为，，，某数学学习小组开展测量乙建筑物高度的实践活动，从点测得点的仰角为，从点测得点的仰角为．求乙建筑物的高．【答案】【分析】过点A作AE⊥CD于点E，可得四边形ABCE为矩形，根据∠DAE＝45°，可得AE＝ED，设AE＝DE＝xm，则BC＝xm，在Rt△BCD中，利用仰角为60°，可得CD＝BC•tan60°，列方程求出x的值，继而可求得CD的高度．【详解】解：过点作于．，，．四边形为矩形．，．，，．设，则，．在中，，即，解得．．答：乙建筑物的高为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识解直角三角形．41．西安进行老旧小区改造，为方便老年人通行，计划将某小区一段斜坡进行改造，如图所示，斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝25°，改造后坡角∠CAD降为12°．求斜坡新起点A与原起点B的距离AB．参考数据（sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）【答案】10.8米．【分析】根据余弦的定义求出，根据正弦的定义求出，根据正切的定义求出，计算即可．【详解】解：由题意得CD⊥AB，在RtCBD中，cos∠CBD＝，sin∠CBD＝，∠CBD＝25°，BC＝10米，∴BD＝BC•cos∠CBD≈10×0.91＝9.1（米），CD＝BC•sin∠CBD≈10×0.42＝4.2（米），在RtCAD中，tan∠CAD＝，∠CAD＝12°，（米，∴AB＝AD﹣BD＝20﹣9.2＝10.8（米），答：斜坡新起点A与原起点B的距离AB约为10.8米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．42．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树是直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端出发，沿水平方向行走了26米到达点，然后沿斜坡前进，到达坡顶点处，．在点处放置测角仪，测角仪支架高度为0.8米，在点处测得古树顶端点的仰角为（点、、、在同一平面内），斜坡的坡度（或坡比）．（1）求斜坡的高；（2）求古树的高？（已知，，）

【答案】（1）10米；（2）24.3米．【分析】（1）过点E作EM⊥AB与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设DG＝x，则CG＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而即可求解；（2）由CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．【详解】解：（1）过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，

∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝26米，∴设DG＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2＋CG2＝DC2，即x2＋（2.4x）2＝262，解得x＝10，∴DG＝10米，即：斜坡的高为10米；（2）∵DG＝10米，∴CG＝24米，∴EG＝10＋0.8＝10.8米，BG＝26＋24＝50米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝50米，BM＝EG＝10.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝15°，∴AM＝EM•tan15°≈50×0.27＝13.5米，∴AB＝AM＋BM＝13.5＋10.8≈24.3（米）．答：建筑物AB的高度约为24.3米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．43．是长为，倾斜角为的自动扶梯，平台与大楼垂直，且，在处测得大楼顶部的仰角为，求大楼的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，，）【答案】【分析】作BF⊥AE于点F．则BF=DE，在直角△ABF中利用三角函数求得BF的长，在直角△CDB中利用三角函数求得CD的长，则CE即可求得．【详解】解：作BF⊥AE于点F．则BF=DE．在直角△ABF中，sin∠BAF=，则BF=AB•sin∠BAF=10×=6（m）．在直角△CDB中，tan∠CBD=，则CD=BD•tan65°=10×≈21（m）．则CE=DE+CD=BF+CD=6+21=27（m）．答：大楼CE的高度是27m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．44．如图，某商场从一层到二层的楼梯由台阶AB，CD和一段水平平台BC构成，AB与CD互相平行并且与地面成31°角．已知台阶AB＝5.2米，CD＝2.8米，平台BC＝2.5米．求商场一层的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601．【答案】4.1米【分析】延长BC与DE交于G，过点B作BF⊥AE于F，先证明四边形BFEG是矩形，得到BF=GE，∠CGD=90°，再解直角三角形即可．【详解】解：如图所示延长BC与DE交于G，过点B作BF⊥AE于F，∵BF⊥AE，DE⊥AE，BC∥EF，∴四边形BFEG是矩形，∴BF=GE，∠CGD=90°，∵，，∴米，∴商场一层的高度为4.1米．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．45．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC＝70°，BCOE．①填空：∠BAO＝_______°．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）【答案】（1）①160；②27.0cm；（2）∠ABC＝33.2°．【分析】（1）①过点A作AGBC，根据平行线的性质解答便可；②过点A作AF⊥BC于点F，解直角三角形求出AF，进而计算AF+OA﹣CD使得结果；（2）过点点D作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，求出CM，再解直角三角形求得∠MBC便可．【详解】解：（1）①过点A作AGBC，如图1，则∠BAG＝∠ABC＝70°，∵BCOE，∴AGOE，∴∠GAO＝∠AOE＝90°，∴∠BAO＝90°+70°＝160°，故答案为：160；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF＝AB•sin∠ABF＝30×sin70°≈28.2（cm），∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+OA﹣CD＝28.2+6.8﹣8＝27.0（cm）；（2）作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，则∠MBA＝70°，AF＝28.2cm，DH＝6cm，BC＝35cm，CD＝8cm，∴CM＝AF+AO﹣DH﹣CD＝28.2+6.8﹣6﹣8＝21（cm），∴sin∠MBC＝，∴∠MBC＝36.8°，∴∠ABC＝∠ABM﹣∠MBC＝33.2°．【点睛】此题主要考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是根据图形的特点构造直角三角形，根据三角函数的定义即可求解．46．如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发，北偏东方向航行至D处，在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD（参考数据：，，，，，）【答案】【分析】过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得DH，再解求得AD即可．【详解】解：如图，过点作，垂足为在中，在中，在中，（km）因此，轮船航行的距离约为【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．47．参加缅甸六日游的王明和张丽用测角仪和皮尺对“仰光大金塔”进行了现场测量，绘制了如下示意图已知AB//CD，∠A=∠B，王明测得圆形塔基上部半径DF=FC=2米，坡AD长为2米，张丽在A点处测得坡AD的坡角为50˚，沿直线BA从点A步行6米到达点G处，测得点E的仰角为35˚，若A、B、C、D、E、F、G在同一平面内且G、A、B在同一直线上，（1）求出圆形塔基直径AB的长度；（2）塔顶E距离地面的高度．(结果精确到0.1米，测角仪的高度忽略不计，测参考数据sin35˚=0.574，cos35˚=0.819，tan35˚=0.700，sin50˚=0.766，cos50˚=0.643，tan50˚=1.190)【答案】（1）6.6米；（2）6.5米【分析】（1）分别过D，F作DM⊥AB于M，FN⊥AB于N，根据已知条件判断出四边形ABCD是等腰梯形，然后解直角三角形即可；（2）先求出GN的长，然后解直角三角形即可．【详解】解：（1）如图，分别过D，F作DM⊥AB于M，FN⊥AB于N，∵AB//CD，∠A=∠B，DF=FC，∴四边形ABCD是等腰梯形，∠DMN=∠FNM=∠DFN=90°∴AN=BN，四边形DMNF是矩形∴AB=2AN，MN=DF=2米，∵∠DMA=90°∴米，∴米；（2）根据题意可知AG=6米，∠G=35°，由（1）知，米，∴米，∴塔顶E距离地面的高度约为6.5米．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等腰梯形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．48．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示）已知厘米，厘米，厘米．（1）求点到的距离；（结果保留根号）（2）求、两点的距离．（结果保留根号）【答案】（1）厘米；（2）厘米【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH＝DC＝DE＋CE及D′H＝D′F＋FH可求出点D′到BC的距离；（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′＝AE可得出E、E′两点的距离．【详解】（1）过点作，垂足为点，交于点，如图所示．由题意，得：厘米，．四边形是矩形，，．在中，厘米，又厘米，厘米，厘米，厘米．（2）连接，，，如图4所示，由题意，得：，，是等边三角形，．四边形是矩形，．在中，厘米，厘米，厘米，厘米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度．49．某条过路上通行车辆限速为50km/h，在离道路70m的点处建一个监测点，道路的段为监测区（如图）在中，已知，．一辆车通过段的时间为10秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：，，，，，）【答案】没有超速，理由见解析【分析】过点作于，解直角三角形分别求出，进一步求出，然后可求出实际车速便可判断出结果．【详解】解：没有超速，理由如下：过点作于，则（m），在中，，在中，，该车没有超速．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，属于实际应用类题目，从复杂的实际问题中整理出直角三角形是解决此类问题的关键．50．一艘船以40km/s的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上继续航行1h．到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？【答案】安全．【分析】过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BCA=30°，∠ACD=60°，证∠ACB=30°=∠BAC，根据等角对等边得出BC=AB=40海里，然后解Rt△BCD，求出CD即可．【详解】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示：

根据题意可知，∠DBC=90°-30°=60°，

∵，

∴，

∴（），

在中，，，，

∴，

∴这艘船继续向东航行安全．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定和锐角三角函数定义是解题的关键．51．为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时70海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？（结果保留非特殊角三角函数值）【答案】（1）70海里；（2）安全【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定．【详解】解：（1）∵，∴．∴海里．（2）作于点H，如图，∵，∴在中，，∴．∵∴∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．52．如图，为迎接上海2010年世博会，需改变一些老街道的交通状况．在某大道拓宽工程中，要伐掉一棵树，在地面上事先划定以为圆心，半径与等长的圆形区域为危险区，现在某工人站在离点3米处的处测得树的顶端点的仰角为，树的底部点的俯角为，问距离点8米远的保护物是否在危险区内?（取1.73）【答案】不在危险区内【分析】过点作，则米，根据三角函数求得的长度，即可求解．【详解】解：过点作，如下图由题意可知四边形为矩形，则在中，，，解得在中，，，解得则答：距离点8米远的保护物不在危险区内【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数的定义求得树高是解题的关键．53．水亭门是衢州国家级儒学文化产业园核心区的重要组成部分，也是古城的中央休闲区和市政府倾力打造的5A级景区主景点．在课外实践活动中，我校九年级数学兴趣小组决定测量该水亭门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水亭门的方向前进22米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求水亭门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【答案】19.8米【分析】在Rt△ABD中可得出BD=，在Rt△ABC中，可得BC=，则可得BD-BC=22，求出AB即可．【详解】解：由题意得，∠ABD=90°，∠D=20°，∠ACB=31°，CD=22，在Rt△ABD中，∵tan∠D=，∴BD==，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=，∴BC==，∵CD=BD-BC，∴22=−，解得AB=19.8米．答：水城门AB的高为19.8米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解决本题的关键是要构造直角三角形，然后利用三角函数值求出未知线段的长度．54．某社会实践活动小组实地测量河两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走50m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图．（1）求∠CBA的度数；（2）求这段河的宽度．（结果精确到1m）【答案】（1）15°；（2）【分析】(1)如图，作于点D，可得，再根据题目中度数可以求得∠CBA的度数；(2)根据题意，然后根据锐角三角函数可以求得河宽，注意要精确到1m．【详解】(1)解：如图，作于点D，由题意可得，（2）由题意可得，AC=50m，答：这段河的宽度约为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条