2024年九年级中考数学复习课件三角形导角模型

中考复习之三角形导角模型整理知识点1:三角形的有关概念名称内容

三角形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.边组成三角形的线段叫做三角形的边,三角形的边可以用一个小写字母或两个大写字母表示,如:a,b,c或BC,CA,AB.顶点相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点角相邻两条边组成的角,叫做三角形的内角,简称三角形的角三角形的记法三角形用符号“△”来表示,顶点是A,B,C的三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”三角形的分类按边分类:三边都不相等的三角形和等腰三角形按角分类:直角三角形和斜角三角形(锐角三角形和钝角三角形)知识点二:三角形内角和定理三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.如图,在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.知识点三:三角形的外角1.定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.2.性质:(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图,∠BAE=∠2+∠3,∠FBC=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2.(2)三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角.三角形的三边关系文字语言数学语言理论依据应用图形三角形任意两边之和大于第三边在△ABC中,两点之间,线段最短(1)判断三条线段能否组成三角形三角形任意两边之差小于第三边在△ABC中,(2)已知三角形的两边,求第三边的取值范围三角形的角平分线,中线和高线三角形的角平分线三角形的中线三角形的高线三角形的“三线”的交点中线交点角平分线交点高线交点在三角形中,一个内角的角平分线与它对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段,叫做三角形的中线.从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.一个三角形有三条中线,三条高线,三条角平分线,它们所在的直线都分别交于同一点.三条中线交于三角形内部,称为三角形的重心.三条角平分线交于三角形内部,称为三角形的内心.锐角三角形三条高都在内部,直角三角形其中两条边就是直角边,钝角三角形两条高在外部.三高的交点叫垂心.三角形具有稳定性,而四边形没有稳定性.当三角形的三条边长确定时,三角形的形状,大小完全确定,这个性质叫做三角形的稳定性.8字模型(蝴蝶模型)模型巧记:见8字,对顶外,剩余两角和相等.∠A+∠B=∠C+∠D模型讲解结论:如图,AC与BD相交于点O,则∠A+∠B=∠C+∠D.拓展模型1(8字加角平分线)

拓展模型2(8字加等分线)

A字模型模型巧记:见A字,就求角,“两个外角的和=180°+顶角”.什么是A字模型像上面这种,形似大写字母“A”字的图形,只要涉及到求角度的问题,就可以用A字模型去求解.模型讲解结论:如图所示,∠ADE的两边上各有一点B,C,连结BC,∠DBC+∠ECB=180°+∠A.(风筝模型)鹰爪模型模型巧记:腋下两角之和等于上下两角之和.或腋下两角之差等于上下两角之和.模型讲解结论:如图所示,∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE.

F1）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。模型3.角内（外）翻模型条件:如图4,将三角形纸片ABC沿EF边折叠,当点C落在四边形ABFE外部时,结论:2∠C=∠2-∠1。条件:如图3,将三角形纸片ABC沿EF边折叠,当点C落在四边形ABFE内部时,结论：2∠C=∠1+∠2；飞镖模型(燕尾模型)模型巧记:见到飞镖,有四个角,三个角的和等于最大的那个角.什么是飞镖模型如图,形似上图这种的三角形飞镖的图形,我们统称为飞镖模型.这里会出现四个角,分别是∠A,∠B,∠C.以及∠BDC.什么是燕尾模型如图,像上图这种形似燕子的剪刀尾巴的这种图形,我们统称为燕尾模型.结论:如图所示,已知凹四边形ABCD,结论1:∠BDC=∠A+∠B+∠C.结论2:AB+AC＞BD+CD.模型讲解

双角平分线模型模型巧记:内内90°加一半,外外90°减一半,内外就一半.模型讲解:两内角平分线的夹角模型

当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。2)凸多边形双内角平分线的夹角模型1条件：如图2,BP、CP平分∠ABC、∠DCB,两条角平分线相交于点P;结论：2∠P=∠A+∠D。

模型讲解当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差2）旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分△ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAE。

模型讲解当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。1）一个内角一个外角平分线的夹角模型2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）模型练习3(1)如图1,在△ABC中,BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,若∠A=80°,则∠BEC=_______.若∠A=n°,则∠BEC=______.(2)如图2,在△ABC中,BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB,若∠A=n°,则∠BEC=_______.(3)如图3,O是∠ABC的平分线BO与∠ACD的平分线CO的交点,试分析∠BOC和∠A有怎样的关系,并说明理由.(4)如图4,O是△ABC的外角∠DBC与∠BCE的平分线BO与CO的交点,则∠BOC和∠A有怎样的关系(只写结论,不需证明)角平分线模型线段垂直平分线及其性质:(1)定义:垂直一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.简称中垂线.(2)性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线的判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上.模型拓展1.利用角平分线作对称2.角平分线的中垂线3.角平分线+平行线构造等腰三角形在ON上截取OB=OA,连接PB延长AP交ON于点B过点P作PA∥ON,交OM于点A1）角平分线加平行线必出等腰三角形．条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON.结论：△OPQ是等腰三角形.条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE

∥

BC.结论：△BDE是等腰三角形.条件：如图3，△ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过点O作BC的平行线与AB,AC分别相交于点M,N.结论：△BOM,△CON都是等腰三角形.2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.

结论：三角形CEF是等腰三角形。模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。1）内角平分线定理．

2）外角平分线定理条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。结论：AB:AC=BD:CD.奔驰模型

燕尾相邻的两个三角形同底不同高,他们的面积比等于对应高的比.(燕尾模型)模型讲解2在△ABC中,点D,E,F分别在BC,AC,AB上,且AD,BE,CF相交于同一点O则1.S△AOB:S△AOC=BD:CD2.S△AOB:S△COB=AE:CE3.S△BOC:S△AOC=BF:AF模型讲解2四边形ABCD中,连接AC,BD交于点O结论:1.S1:S2=S4:S3或S1·S3=S2·S42.AO:CO=(S1+S2):(S3+S4)风筝模型等积变形模型

双垂直倒角模型已知:∠BAD=90°,AC⊥BD,结论:∠1=∠3,∠2=∠4.三垂直倒角模型已知:∠B=∠D=∠ACE=90°,结论:∠1=∠3,∠2=∠4.高分线模型:过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半.

。