四川省绵阳市绵阳中学2024-2025学年高一上学期第二次测试数学试题

绵阳中学高2024级高一上期第二次测试数学试题命题人：杨易周南平王雨洋第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的定义求解即可.【详解】，故.故选：D2.在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据单位圆及正弦函数的定义得解.【详解】由题意，，解得，所以，故选：D3.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】确定奇偶性，排除B，再由且时，恒成立，排除CD，从而得正确答案．【详解】函数定义域是，，是奇函数，排除B，当且时，，所以，排除CD，故选：A．4.已知函数，则的单调减区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复合函数的单调性关系结合定义域求解即可.【详解】因为为增函数，定义域为，故，则或.又的对称轴为，故的单调减区间为.故选：B5.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把已知代入丰富度指数公式，然后两式消去后，由对数运算可得结论．【详解】由已知，，所以，即，∴，故选：D．6.若为偶函数，则（）A.1 B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】根据求出参数的值，即可得解.【详解】因为为偶函数，所以，即，所以，解得，此时，经检验符合题意.故选：B7.已知，则（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取对数后根据对数的换底公式及对数函数的单调性得解.【详解】因为，所以，，，因，所以，故选：C8.定义在上的函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式与性质作图，再分析的零点个数即可.【详解】当时，，且，则当时，，当时，，当时，，可作出与的图像：函数的零点即与的交点，故在上的零点个数为7.故选：C二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.小于的角是锐角B.与终边相同的角可表达为，C.钝角是第二象限角D.经过4小时，时针转了【答案】BCD【解析】【分析】对A，根据任意角与锐角的定义判断即可；对B，根据弧度与角的关系判断即可；对C，根据钝角的定义判断即可；对D，根据4小时时钟的旋转角度占时钟一周角的比例，结合角度的定义判断即可.【详解】对A，小于的角还包括和负角度的角，故A错误；对B，，其终边与角相同，又，也为终边与角相同的角，故B正确；对C，钝角是第二象限角，故C正确；对D，时钟旋转为顺时针，故经过4小时，时针转了，故D正确.故选：BCD10.下面命题正确的是（）A.若，且，则，至少有一个大于1B.“，则”的否定是“，则”C.已知，，则的取值范围是D.设，，则“”是“”的充要条件【答案】AB【解析】【分析】运用反证法判断A，运用全称量词命题的否定知识判断B，运用不等式性质计算判断C，运用充要条件，结合对数性质判断D.【详解】对于A，假设且，那么，这与已知矛盾，所以若且，则，至少有一个大于，A正确，对于B，全称命题“，则”的否定就是特称命题“，则”，B正确，对于C，已知，则，又因为，得到，即，C错误，对于D，若，根据对数函数的性质，可得，那么，反之，若，当时，和无意义，所以“”是“”的充分不必要条件，D错误.故选：AB.11.已知，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】由基本不等式判断AB选项，由不等式基本性质判断C选项，运用“1”的代换结合基本不等式判断D.【详解】因为，，对于A，，当且仅当时取等号，故A选项正确；对于B，，故，当且仅当时取等号，故B选项错误；对于C，∵，∴，∴在R上单调递增，∵，∴，即，故C选项正确；对于D，由得，，当且仅当，即时，等号成立，故D选项正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_____.【答案】【解析】【分析】根据弧度值的定义，结合扇形面积公式求解即可.【详解】由题意，，故这个扇形的半径，面积为.故答案为：13.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】由的范围求得的范围，用换元法结合二次函数性质求得的最小值即可得的范围．【详解】时，，设，则，，∴时，所以，故答案为：．14.设是函数的零点，是函数的零点，则_____.【答案】2【解析】【分析】运用零点定义构建与两个函数相关的等式，结合对数函数性质，找到与之间的联系即可.【详解】已知是的零点，则，即.因为是的零点，所以，移项可得.令，则，那么，即.对比与，发现，当和时函数值相等.容易知道在单调递增，则也是单调递增函数，所以，即.将移项可得.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15求值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂运算求解即可；（2）根据对数运算性质以及换底公式运算求解即可.【小问1详解】原式.【小问2详解】原式.16.“大禹门前树，千年苔子茶.”11月21日18时许，中央广播电视总台综合频道推出系列纪录片《农耕探文明》，本期正好关注到《四川北川苔子茶复合栽培系统》.北川苔子茶的“毛峰绿茶”以其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名遐迩，深受广大消费者青睐.经验表明，在室温下，该茶用的水泡制，汤色青绿明亮，入口滋味较薄有熟栗子香，无苦涩感，再等到茶水温度降至50°C时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足.（1）求常数的值；（2）经过测试可知，求在室温下，刚泡好的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：，）【答案】（1）（2）9.5分钟【解析】【分析】（1）代入求解即可；（2）根据题意列式求解方程即可.【小问1详解】茶水温度从开始当时，，【小问2详解】当时，当时，刚泡好的茶水大约需要放置9.5分钟才能达到最佳饮用口感17.若.（1）若过点，求解集；（2）存在使得成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入点求出，得出函数的单调性，利用单调性解不等式；（2）根据对数的运算法则化简，转化为存在x∈2,+∞使有解，分离参数后换元利用二次函数求值域得解【小问1详解】由y=fx过可得，则，解得（负值舍去），在0,+∞上为增函数，由得，，所求解集为小问2详解】，，，，存在使得，存在x∈2,+∞使即，令，x∈2,+∞，则，由开口向下，对称轴为，所以在上为减函数，所以，，又，，即的取值范围0,118.已知过点，且满足.（1）求在上的最小值.（2）若，则称为的不动点，函数有两个不相等的不动点、，且，求的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）6【解析】【分析】（1）已知条件代入可求得，然后根据对称轴与区间的关系分类讨论求得最小值；（2）利用一元二次方程根的分布知识求得的范围，利用韦达定理表示出，再结合换元法，基本不等式求得最小值．【小问1详解】由题，，当时，在上单调递增，，当即时，在上单调递减，上单调递增，，当即时，在上单调递减，，【小问2详解】，有两个不相等的不动点，且，即有两个不等的正根，，解得，，，，，令，，则，，，（当且仅当，即时取“”），的最小值为6．19.已知函数是上的奇函数.（1）求的值；（2）判断并用定义证明的单调性；（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）单调递减，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）运用奇函数的性质