浙江省2025届高考数学一轮复习第六章平面向量复数补上一课平面向量中的极化恒等式及有关最值范围问题含解析

PAGE平面对量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题学问拓展1.极化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2].几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq\f(1,4).2.平行四边形PMQN，O是对角线交点.则：(1)eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[PQ2－NM2](平行四边形模式)；(2)eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝PO2－eq\f(1,4)NM2(三角形模式).3.平面对量中的最值(范围)问题(1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围)；(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围).题型突破题型一极化恒等式的应用【例1】(1)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.(2)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是________.解析(1)因为M是BC的中点，由极化恒等式得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝AM2－eq\f(1,4)BC2＝9－eq\f(1,4)×100＝－16.(2)取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2eq\r(3).又由极化恒等式得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝PD2－eq\f(1,4)AB2＝PD2－3，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，PDmax＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，PDmin＝1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈[－2，6].答案(1)－16(2)[－2，6]【训练1】(1)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))的值为________.(2)若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的随意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为()A.2 B.3C.6 D.8解析(1)取AE中点O，设AE＝x(0≤x≤1)，则AO＝eq\f(1,2)x，∴eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝DO2－eq\f(1,4)AE2＝12＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)x2＝1.(2)如图，由已知|OF|＝1，取FO中点E，连接PE，由极化恒等式得eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝|PE|2－eq\f(1,4)|OF|2＝|PE|2－eq\f(1,4)，∵|PE|eq\o\al(2,max)＝eq\f(25,4)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为6.答案(1)1(2)C题型二平面对量中的最值(范围)问题类型1利用函数型【例2－1】(1)设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对随意实数t，|b－ta|的最小值为1，则()A.若θ确定，则|a|唯一确定B.若θ确定，则|b|唯一确定C.若|a|确定，则θ唯一确定D.若|b|确定，则θ唯一确定(2)已知m，n是两个非零向量，且|m|＝1，|m＋2n|＝3，则|m＋n|＋|n|的最大值为()A.eq\r(5) B.eq\r(10)C.4 D.5解析(1)由|b－ta|的最小值为1知(b－ta)2的最小值为1，令f(t)＝(b－ta)2，即f(t)＝b2－2ta·b＋t2a2，则对于随意实数t，f(t)的最小值为eq\f(4a2·b2－（2a·b）2,4a2)＝eq\f(4a2b2－（2|a||b|cosθ）2,4a2)＝1，化简得b2(1－cos2θ)＝1，视察此式可知，当θ确定时，|b|唯一确定，选B.(2)因为(m＋2n)2＝4n2＋4m·n＋1＝9，所以n2＋m·n＝2，所以(m＋n)2＝m2＋2m·n＋n2＝5－n2，所以|m＋n|＋|n|＝eq\r(5－|n|2)＋|n|.令|n|＝x(0<x≤eq\r(5))，f(x)＝eq\r(5－x2)＋x，则f′(x)＝eq\f(－2x,2\r(5－x2))＋1.由f′(x)＝0，得x＝eq\f(\r(10),2)，所以当0<x<eq\f(\r(10),2)时，f′(x)>0时，当eq\f(\r(10),2)<x≤eq\r(5)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(10),2)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)，\r(5)))上单调递减，所以f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))＝eq\r(10)，故选B.答案(1)B(2)B【训练2－1】(1)(2024·浙江卷)已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.(2)如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的随意一点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))的取值范围是________；若向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(DE,\s\up6(→))＋μeq\o(AP,\s\up6(→))，则λ＋μ的最小值为________.解析(1)由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cosθ，sinθ)(θ∈[0，2π))，则a＋b＝(2＋cosθ，sinθ)，a－b＝(cosθ－2，sinθ).令y＝|a＋b|＋|a－b|＝eq\r(（2＋cosθ）2＋sin2θ)＋eq\r(（cosθ－2）2＋sin2θ)＝eq\r(5＋4cosθ)＋eq\r(5－4cosθ)，则y2＝10＋2eq\r(25－16cos2θ)∈[16，20].由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝eq\r(20)＝2eq\r(5)，(|a＋b|＋|a－b|)min＝eq\r(16)＝4，即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2eq\r(5).(2)以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则易得A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，P(cosθ，sinθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(π,2)))，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ)·(cosθ－1，sinθ)＝cos2θ－cosθ＋sin2θ＝1－cosθ，又因为0≤θ≤eq\f(π,2)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝1－cosθ∈[0，1].由eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(DE,\s\up6(→))＋μeq\o(AP,\s\up6(→))得(1，1)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))＋μ(cosθ，sinθ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μcosθ，－λ＋μsinθ))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μcosθ＝1，,－λ＋μsinθ＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2sinθ－2cosθ,2cosθ＋sinθ)，,μ＝\f(3,2cosθ＋sinθ)，))则λ＋μ＝eq\f(2sinθ－2cosθ,2cosθ＋sinθ)＋eq\f(3,2cosθ＋sinθ)＝eq\f(2sinθ－2cosθ＋3,2cosθ＋sinθ)，当θ＝eq\f(π,2)时，λ＋μ＝eq\f(2sinθ－2cosθ＋3,2cosθ＋sinθ)＝5，当θ≠eq\f(π,2)时，λ＋μ＝eq\f(2sinθ－2cosθ＋3,2cosθ＋sinθ)＝eq\f(2tanθ－2＋3\r(tan2θ＋1),2＋tanθ)，设f(x)＝eq\f(2x－2＋3\r(x2＋1),2＋x)(x≥0)，则f′(x)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(3x,\r(x2＋1))))（2＋x）－（2x－2＋3\r(x2＋1)）,（2＋x）2)＝eq\f(6\r(x2＋1)＋6x－3,（2＋x）2\r(x2＋1))>0(x≥0)，所以函数f(x)＝eq\f(2x－2＋3\r(x2＋1),2＋x)在[0，＋∞)上单调递增，则当tanθ＝0时，λ＋μ＝eq\f(2tanθ－2＋3\r(tan2θ＋1),2＋tanθ)取得最小值eq\f(1,2).综上所述，λ＋μ的最小值为eq\f(1,2).答案(1)42eq\r(5)(2)[0，1]eq\f(1,2)类型2利用不等式型【例2－2】(1)(2024·浙江名校新高考探讨联盟三联)已知边长为1的正方形ABCD，E，F分别是边BC，DC上的两个动点，eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，若x＋y＝3，则|eq\o(EF,\s\up6(→))|的最小值为________.(2)(一题多解)(2024·七彩阳光联盟三联)已知平面对量a，b，c满意|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，则|2c－a|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－b))的最小值为()A.eq\f(\r(17),2) B.2C.eq\f(5,2) D.eq\r(5)(3)(2024·浙江卷)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对随意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤eq\r(6)，则a·b的最大值是________.解析(1)因为四边形ABCD是正方形，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(1，1)，B(1，0)，C(0，0).设E(a，0)，F(0，b)，则0≤a，b≤1.所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(a－1，－1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－1，b－1)，因为eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，所以有y＝2－a，x＝2－b.因为x＋y＝3，所以a＋b＝1.所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(a2＋b2)≥eq\r(\f(（a＋b）2,2))＝eq\f(\r(2),2)，所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|min＝eq\f(\r(2),2)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取到最小值.(2)法一因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a⊥b.所以通过计算有|2c－a|＝|c－2a|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c－\f(1,2)b))，所以|2c－a|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－b))＝|c－2a|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c－\f(1,2)b))≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a－\f(1,2)b))＝eq\f(\r(17),2)，故选A.法二因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a⊥b，所以可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则有x2＋y2＝1，所以|2c－a|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－b))＝eq\r(（2x－1）2＋4y2)＋eq\r(\f(1,4)x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y－1))\s\up12(2))＝eq\r(4x2－4x＋1＋4y2)＋eq\r(\f(1,4)x2＋\f(1,4)y2－y＋1)＝eq\r(x2－4x＋4＋y2)＋eq\r(x2＋y2－y＋\f(1,4))＝eq\r(（x－2）2＋y2)＋eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))\s\up12(2))≥eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(17),2)，故选A.(3)由已知可得eq\r(6)≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|由于上式对随意单位向量e都成立.∴eq\r(6)≥|a＋b|成立.∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.即6≥5＋2a·b，∴a·b≤eq\f(1,2).答案(1)eq\f(\r(2),2)(2)A(3)eq\f(1,2)【训练2－2】(1)(2024·杭州四中仿真)若非零向量a，b满意a2＝(5a－4b)·b，则cos〈a，b〉的最小值为________.(2)(2024·浙江名师预料卷一)已知向量a，b满意|b|＝1，|a＋b|＝2|a－b|，则|a|2－|b|2的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(8,9)，8)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)，8))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,9))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)，\f(1,9)))(3)(2024·温州适应性测试)已知平面对量a，b，c满意：a·b＝0，|c|＝1，|a－c|＝|b－c|＝5，则|a－b|的最小值为()A.5 B.6C.7 D.8解析(1)由a2＝(5a－4b)·b得a·b＝eq\f(1,5)(a2＋4b2)≥eq\f(1,5)×2eq\r(|a|2·4|b|2)＝eq\f(4,5)|a|·|b|，则cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)≥eq\f(\f(4,5)|a|·|b|,|a|·|b|)＝eq\f(4,5)，当且仅当|a|＝2|b|时等号成立，所以cos〈a，b〉的最小值为eq\f(4,5).(2)因为|b|＝1，所以|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＝2.两边平方得|a＋b|2＋|a－b|2－2(|a|2－|b|2)＝4，又|a＋b|＝2|a－b|，所以|a|2－|b|2＝eq\f(5|a－b|2－4,2)，又因为|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)－(a－b)|≤|a＋b|＋|a－b|，即|a－b|≤2≤3|a－b|，故eq\f(2,3)≤|a－b|≤2，所以|a|2－|b|2＝eq\f(5|a－b|2－4,2)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(8,9)，8))，故选A.(3)|a－b|2＝|(a－c)－(b－c)|2＝(a－c)2－2(a－c)(b－c)＋(b－c)2＝50－2(a·b－a·c－b·c＋1)＝48＋2(a＋b)·c＝48＋2|a＋b|cosθ(其中θ为a＋b与c的夹角)，因为|a－b|＝|a＋b|，所以|a－b|2＝48＋2|a－b|cosθ，则由cosθ∈[－1，1]，得48－2|a－b|≤|a－b|2≤48＋2|a－b|，解得6≤|a－b|≤8，即|a－b|的最小值为6，此时向量a－b的方向与向量c的方向相反，故选B.答案(1)eq\f(4,5)(2)A(3)B类型3利用向量平行(垂直)、向量的投影型【例2－3】(1)如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”.若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置如图所示，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))的最大值为________.(2)已知|a|＝2，|b|＝|c|＝1，则(a－b)·(c－b)的最大值为________，最小值为________.解析(1)先建立平面直角坐标系如图，因为正六边形的边长均为1，所以B(0，0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(9,2)))，当eq\o(CD,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影最大时，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))最大，此时取C(0，5)，D(－eq\r(3)，0)，即(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)))max＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(9,2)))·(－eq\r(3)，－5)＝eq\f(3,2)＋eq\f(45,2)＝24.(2)设M＝a·c－a·b－b·c，则(a－b)(c－b)＝a·c－a·b－b·c＋b2＝1＋a·c－a·b－b·c＝1＋M.而(b－a－c)2＝6＋2M，M＝－3＋eq\f(1,2)(b－a－c)2，∴当(b－a－c)2＝0时，Mmin＝－3，∴[(a－b)(c－b)]min＝1－3＝－2；当b，－a，－c共线且同向时，Mmax＝－3＋eq\f(1,2)(1＋2＋1)2＝5，∴[(a－b)·(c－b)]max＝1＋5＝6.答案(1)24(2)6－2【训练2－3】(1)已知向量a，b，c满意|b|＝|c|＝2|a|＝1，则(c－a)·(c－b)的最大值是________，最小值是________.(2)已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝1，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))，记eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝()A.6 B.4C.－2 D.－4解析(1)由题意得|a|＝eq\f(1,2)，|b|＝|c|＝1，则(c－a)·(c－b)＝|c|2－c·b－c·a＋a·b＝|c|2＋eq\f(1,2)(－a－b＋c)2－eq\f(1,2)(|a|2＋|b|2＋|c|2)＝－eq\f(1,8)＋eq\f(1,2)(－a－b＋c)2，则当向量－a，－b，c同向共线时，(c－a)·(c－b)取得最大值－eq\f(1,8)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1＋1))eq\s\up12(2)＝3，当－a－b＋c＝0时，(c－a)·(c－b)取得最小值－eq\f(1,8).(2)因为eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))2－2eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－4，令3eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))，2eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))－4，如图，设eq\o(OC,\s\up6(→))与eq\o(OP,\s\up6(→))夹角为θ(θ∈[0，π]).因为eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)).所以eq\o(MQ,\s\up6(→))·eq\f(\o(OP,\s\up6(→)),|\o(OP,\s\up6(→))|)＝eq\o(OP,\s\up6(→))(3eq\o(OP,\s\up6(→))－2eq\o(OC,\s\up6(→)))＝3－4cosθ，又因为cosθ∈[－1，1]，所以eq\o(MQ,\s\up6(→))在eq\o(OP,\s\up6(→))方向上的投影d∈[－1，7]，即M＝3，m＝－5，所以M＋m＝－2，故选C.答案(1)3－eq\f(1,8)(2)C类型4利用轨迹图形性质(数形结合)型【例2－4】(1)(一题多解)(2024·浙江卷)已知a，b，e是平面对量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为eq\f(π,3)，向量b满意b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A.eq\r(3)－1 B.eq\r(3)＋1C.2 D.2－eq\r(3)(2)已知向量|a|＝3，|b|＝6，a·b＝9，则|a＋t(b－a)|＋|(1－t)(b－a)－eq\f(1,3)b|(其中t∈[0，1])的最小值是________.解析(1)法一设O为坐标原点，a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a与e的夹角为eq\f(π,3)，所以不妨令点A在射线y＝eq\r(3)x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|－|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)－1.故选A.法二由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.设b＝eq\o(OB,\s\up6(→))，e＝eq\o(OE,\s\up6(→))，3e＝eq\o(OF,\s\up6(→))，所以b－e＝eq\o(EB,\s\up6(→))，b－3e＝eq\o(FB,\s\up6(→))，所以eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图，设a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，作射线OA，使得∠AOE＝eq\f(π,3)，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|－|eq\o(BC,\s\up6(→))|≥eq\r(3)－1.故选A.(2)由cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,2)得a，b的夹角为60°，又因为|a|＝3，|b|＝6，所以△OAB为直角三角形，B＝30°.如图，令a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))，∠BOA＝60°，eq\o(AC,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，则|eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1((1－t)\o(AB,\s\up6(→))－\f(1,3)\o(OB,\s\up6(→))))＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，问题转化为当点C在线段AB上运动时，求|eq\o(OC,\s\up6(→))|＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|的最小值.作点D关于线段AB对称的点G，连接OG，则OG即为所求的最小值.在Rt△BDE中，∠BED＝90°，BD＝2，B＝30°，则DE＝1，DG＝2DE＝2，在△ODG中，OD＝4，∠ODG＝120°，DG＝2，由余弦定理得OG＝eq\r(OD2＋DG2－2OD·DGcos∠ODG)＝2eq\r(7).答案(1)A(2)2eq\r(7)【训练2－4】(1)已知|a|＝|b|＝1，向量c满意|c－(a＋b)|＝|a－b|，则|c|的最大值为________.(2)(一题多解)(2024·宁波模拟)已知向量a，b，c满意|a|＝1，|b|＝2，|c－b|＝1，则|a＋c|的取值范围为________.解析(1)由|c－(a＋b)|＝|a－b|得向量c的终点的轨迹为以向量a＋b的终点为圆心，|a－b|为半径的圆，则|c|的最大值为|a＋b|＋|a－b|，又因为|a＋b|＋|a－b|≤eq\r(2[（a＋b）2＋（a－b）2])＝eq\r(2（|a|2＋2a·b＋|b|2＋|a|2－2a·b＋|b|2）)＝2eq\r(2)，当且仅当|a＋b|＝|a－b|，即a⊥b时等号成立，所以|c|的最大值为2eq\r(2).(2)法一令m＝a＋c，则问题转化为|m|的取值范围.由三角不等式有||m|－|a＋b||≤|m－(a＋b)|，则|a＋b|－1≤|m|≤1＋|a＋b|，又||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，即1≤|a＋b|≤3，故0≤|m|≤4，即|a＋c|的取值范围为[0，4].法二如图，由已知，作eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，分别以点O，B为圆心作单位圆，则－a的终点A在圆O上，c的终点C在圆B上，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝c－(－a)＝c＋a，故|a＋c|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|表示两圆上两点连线的长，因此，由圆的性质得0≤|eq\o(AC,\s\up6(→))|≤4，即|a＋c|的取值范围为[0，4].答案(1)2eq\r(2)(2)[0，4]补偿训练一、选择题1.(2013·浙江卷)在△ABC中，P0是边AB上肯定点，满意P0B＝eq\f(1,4)AB，且对于边AB上任一点P，恒有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，则()A.∠ABC＝90° B.∠BAC＝90°C.AB＝AC D.AC＝BC解析取BC边中点D，由极化恒等式得eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2，eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))＝eq\o(P0D,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2，由eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，得eq\o(PD,\s\up6(→))2≥eq\o(P0D,\s\up6(→))2，即|eq\o(PD,\s\up6(→))|≥|eq\o(P0D,\s\up6(→))|，D到AB的最短距离为P0D，∴eq\o(DP0,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，设AB的中点为P′，又P0B＝eq\f(1,4)AB，∴DP∥CP，∴CP⊥AB，故AB＝AC.答案C2.(2024·诸暨适应性考试)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上随意一点，则(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值为()A.－eq\f(1,4) B.－eq\f(1,3)C.－eq\f(1,2) D.－1解析eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))，取OC中点D，由极化恒等式得eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝PD2－eq\f(1,4)OC2＝PD2－eq\f(1,4)，又PDeq\o\al(2,min)＝0，∴(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值为－eq\f(1,2).答案C3.(一题多解)如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，则eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(3,4) B.－eq\f(8,9)C.－eq\f(1,4) D.－eq\f(4,9)解析法一∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，圆O的半径为1，∴|eq\o(FO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)，∴eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝(eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))·(eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))＝eq\o(FO,\s\up6(→))2＋eq\o(FO,\s\up6(→))·(eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＋eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋0－1＝－eq\f(8,9).法二OF＝eq\f(1,3)，由极化恒等式得eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝OF2－eq\f(1,4)DE2＝eq\f(1,9)－1＝－eq\f(8,9).答案B4.如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值为()A.eq\f(3,2) B.2C.eq\f(5,2) D.eq\f(9,2)解析由图可设eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝μeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－μ)eq\o(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈(0，1)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝(λ＋μ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(2－λ－μ)eq\o(AC,\s\up6(→)).由题知，x＝λ＋μ，y＝2－λ－μ，所以有x＋y＝2，所以eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))(x＋y)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(y,x)＋\f(4x,y)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(y,x)×\f(4x,y))))＝eq\f(9,2)，当且仅当y＝2x，即x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(4,3)时，取等号，故选D.答案D5.在△ABC中，BC＝2，A＝45°，B为锐角，点O是△ABC外接圆的圆心，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，2\r(2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2\r(2)，2))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2\r(2)，2\r(2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，2))解析依题意得△ABC的外接圆半径R＝eq\f(1,2)·eq\f(BC,sin45°)＝eq\r(2)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，如图所示，A在弧A1C上(端点除外)，eq\o(OA2,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))同向，此时eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))有最大值2eq\r(2)，又eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2，故eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，2\r(2))).故选A.答案A6.记max{a，b}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a<b.))在△AOB中，∠AOB＝90°，P为斜边AB上一动点.设M＝max{eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))}，则当M取最小值时，eq\f(AP,PB)＝()A.eq\r(\f(OA,OB)) B.eq\f(OA,OB)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OA,OB)))eq\s\up12(2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OA,OB)))eq\s\up12(3)解析M取最小值时，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，亦即OP⊥AB.依据直角三角形的射影定理可得eq\f(|AP|,|PB|)＝eq\f(AP·PB,PB2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OP,PB)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OA,OB)))eq\s\up12(2)，故选C.答案C7.(2024·浙江名师预料卷四)已知a，b是单位向量，向量c满意|c－b＋a|＝|a＋b|，则|c|的最大值为()A.2 B.2eq\r(2)C.3 D.3eq\r(2)解析由|c－(b－a)|＝|a＋b|得向量c的终点的轨迹为以向量b－a的终点为圆心，|a＋b|为半径的圆，则|c|的最大值为|a＋b|＋|b－a|.又因为|a＋b|＋|b－a|≤eq\r(2[（a＋b）2＋（b－a）2])＝eq\r(2（|a|2＋2a·b＋|b|2＋|b|2－2a·b＋|a|2）)＝2eq\r(2).当且仅当|a＋b|＝|b－a|，即a⊥b时等号成立，所以|c|的最大值为2eq\r(2).答案B8.(2024·浙江教化绿色评价联盟适考)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，设λ＋2μ的最大值为M，最小值为N，则M－N的值为()A.eq\f(2\r(10),5) B.eq\f(3\r(10),5)C.eq\f(4\r(10),5) D.eq\r(10)解析如图，以C为坐标原点，分别以直线BC，CD为x，y轴建立平面直角坐标系，则B(－2，0)，A(－2，1)，由已知，圆C的方程为x2＋y2＝eq\f(4,5)，设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))cosθ，\f(2,\r(5))sinθ))，又eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))cosθ＋2＝2μ，,\f(2,\r(5))sinθ＝λ，))即λ＋2μ＝eq\f(2,\r(5))(sinθ＋cosθ)＋2＝eq\f(2\r(2),\r(5))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＋2，故M－N＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),\r(5))＋2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),\r(5))＋2))＝eq\f(4\r(10),5)，故选C.答案C9.(2024·天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))的最小值为()A.eq\f(21,16) B.eq\f(3,2)C.eq\f(25,16) D.3解析以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝120°，所以A(0，0)，B(1，0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).设C(1，m)，E(x，y)，所以eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，m－\f(\r(3),2)))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，因为AD⊥CD，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，m－\f(\r(3),2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＝0，则eq\f(3,2)×(－eq\f(1,2))＋eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(\r(3),2)))＝0，解得m＝eq\r(3)，即C(1，eq\r(3)).因为E在CD上，所以eq\f(\r(3),2)≤y≤eq\r(3)，由kCE＝kCD，得eq\f(\r(3)－y,1－x)＝eq\f(\r(3)－\f(\r(3),2),1＋\f(1,2))，即x＝eq\r(3)y－2，因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(x－1，y)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝(x，y)·(x－1，y)＝x2－x＋y2＝(eq\r(3)y－2)2－eq\r(3)y＋2＋y2＝4y2－5eq\r(3)y＋6，令f(y)＝4y2－5eq\r(3)y＋6，y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\r(3))).因为函数f(y)＝4y2－5eq\r(3)y＋6在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(5\r(3),8)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),8)，\r(3)))上单调递增，所以f(y)min＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),8)))2－5eq\r(3)×eq\f(5\r(3),8)＋6＝eq\f(21,16).所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))的最小值为eq\f(21,16)，故选A.答案A二、填空题10.在△ABC中，BC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4，则BC边上的中线AM的长是________.解析因为eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[(2eq\o(AM,\s\up6(→)))2－eq\o(BC,\s\up6(→))2]，eq\o(AM,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(4eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2)＝eq\f(25,4)，即|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\f(5,2)，所以BC边上的中线AM的长为eq\f(5,2).答案eq\f(5,2)11.在面积S＝2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是________.解析取BC的中点为D，连接PD，则由极化恒等式得eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\f(\o(BC,\s\up6(→))2,4)＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2≥eq\f(h2,4)＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2(其中h为A点向BC边作的高)，当且仅当eq\o(PD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))时取等号.由上可知eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2≥eq\f(h2,4)＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2≥2eq\r(\f(h2,4)·\f(3,4)\o(BC,\s\up6(→))2)≥eq\r(3)S＝2eq\r(3).答案2eq\r(3)12.在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝eq\r(2)，则eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))的取值范围是________.解析取MN的中点为P，由极化恒等式得eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[(2eq\o(CP,\s\up6(→)))2－eq\o(MN,\s\up6(→))2]＝eq\o(CP,\s\up6(→))2－eq\f(1,2).问题转化为求|eq\o(CP,\s\up6(→))|的取值范围，当P为AB的中点时，|eq\o(CP,\s\up6(→))|取最小值为eq\r(2)，则eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))的最小值为eq\f(3,2)；当M与A(或N与B)重合时，|eq\o(CP,\s\up6(→))|取最大值为eq\f(\r(10),2)，则eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))的最大值为2，所以eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))13.(2024·浙江新高考仿真卷二)在△ABC中，A＝120°，BC＝2eq\r(13)，AC＝2，则AB＝________；当|eq\o(CB,\s\up6(→))＋λeq\o(CA,\s\up6(→))|取到最小值时，则λ＝________.解析在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，即(2eq\r(13))2＝22＋AB2－2×2ABcos120°，解得AB＝6，则cosC＝eq\f(BC2＋AC2－AB2,2BC·AC)＝eq\f(（2\r(13)）2＋22－62,2×2\r(13)×2)＝eq\f(5\r(13),26)，则|eq\o(CB,\s\up6(→))＋λeq\o(CA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|2＋λ2|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋2λeq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(2eq\r(13))2＋λ2×22＋2λ×2eq\r(13)×2×eq\f(5\r(13),26)＝4λ2＋20λ＋52，则当λ＝－eq\f(20,2×4)＝－eq\f(5,2)时，|eq\o(CB,\s\up6(→))＋λeq\o(CA,\s\up6(→))|取得最小值.答案6－eq\f(5,2)14.若非零向量a和b满意|a＋b|＝|b|＝2，则|a|的取值范围是________，|a－b|的取值范围是________.解析因为||a＋b|－|b||≤|a|＝|a＋b－b|≤|a＋b|＋|b|＝4，又a是非零向量，所以|a|的取值范围是(0，4]，因为|a－b|＋|a＋b|≥2|b|＝|(a＋b)－(a－b)|≥||a－b|－|a＋b||，所以－4≤|a－b|－|a＋b|≤4，|a－b|＋|a＋b|≥4，又|a＋b|＝2，解得|a－b|的取值范围是[2，6].答案(0，4)[2，6]15.(2024·杭州三校三联)如图，圆O是半径为1的圆，OA＝eq\f(1,2)，设B，C为圆上的随意2个点，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的取值范围是________.解析设a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))，c＝eq\o(OC,\s\up6(→))，则有|a|＝eq\f(1,2)，|b|＝|c|＝1，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(c－a)·(c－b)≤|c－a|·|c－b|≤(|c|＋|a|)·(|c|＋|b|)＝eq\f(3,2)×2＝3，当且仅当a，b同向共线，且与c反向共线时，等号成立，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的最大值为3.eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(c－a)·(c－b)＝1－c·(a＋b)＋a·b≥1－|c|·|a＋b|＋a·b＝1－|a＋b|＋a·b＝1－eq\r(\f(5,4)＋2a·b)＋a·b，令a·b＝t，则易得t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(c－a)·(c－b)≥1－eq\r(\f(5,4)＋2t)＋t，设f(t)＝1－eq\r(\f(5,4)＋2t)＋teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－