2023届高考数学一轮复习 第7讲 第2课时 函数模型的应用

第2课时函数模型的应用

考向预测核心素养

考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常

与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，数学建模

各种题型均有可能，中档难度.

基础知识0画顾

[学生用书P64])

VE1圈圈的

一、知识梳理

1.六种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型

J(x)=ax^-b(afb为常数，々#0)

二次函数模型1

J(x)=ax-^bx-\-c(afb,c为常数,a#0)

x

fix)=ba-\~c(atb,c为常数，

指数函数模型

。>0且br0)

y(x)=z?iogd+c

对数函数模型

(〃，b,c为常数,4>0且oWl,bWO)

幕函数模型b,〃为常数，〃W0,〃W0)

“对勾”函

y=x+f(4为常数，G>0)

数模型

2.三种函数模型性质比较

y=a\a>l)y=log«xm>l)>=炉(〃>0)

在(0,+8)

增函数增函数增函数

上的单调性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X值增大，图象随X值增大，图象

图象的变化随n值变化而不同

与谢接近平行与四接近平行

3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程

实际「可趣|———：函数.型|

：运算推理

|实际问』的斛卜，释说明|函数1型的斛|

◎常用结论

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，

其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长

速度缓慢.

2.“对勾”函数40=1+3(〃>0)在(0,+8)上的性质：在(0,g］上单调递

减，在［如，+8)上单调递增，当x=g时取最小值2日.

二、教材衍化

1.(人A必修第一册P|52例6改编)

〃毫克

0\/时

某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物

残留量y(单位：毫克)与时间M单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并

做了初步处理，得到如图散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与

x的关系，则应选用的函数模型是()

A.y=ax+匕B.y=a(£)+。3>0)

b

C.y=xa-\-b(a>0)D.y=ax-\~~(a>0b>0)

.Vf

解析：选B.由散点图可知，函数在(0,+8)上单调递减，且散点分布在一

条曲线附近，

函数的图象为一条曲线，且当介0时，该函数单调递减，符合

题意，故选B.

2.

（多选）（人A先修第一册P155习题4.5T9改编）如图，某池塘里浮萍的面积），（单

位：ii?）与时间r（单位：月）的关系为丁=".关于下列说法中正确的是（）

A.浮萍每月的增长率为1

B.第5个月时，浮萍面积就会超过30n?

C.浮萍每月增加的面积都相等

D.若浮萍蔓延到2m2,3m2,6m?所经过的时间分别是亥，办，贝儿+

t2=t3

解析：选ABD.把（1,2）代入y=",可得函数解析式为）：=2，，

21+1—2r

因为一y—=1,所以每月增长率为1,A对；

当/=5时，y=32>30,所以B对；

第2个月增加2m2,第3个月增加4m2,C错；

由20=2,2'2=3,2'3=6,

所以2"・2'2=2'3,故人+/2=，3，D对.

3.（人A必修第一册P%习题3.4T5改编）下表是弹簧伸长长度双单位：cm）

与拉力尸（单位：N）的相关数据：

X14.228.841.357.570.2

F12345

写出能反映这一变化现象的函数为.（不唯一）

解析：根据点的分布特征，可以考虑用函数工=小+仇20）作为刻画弹簧伸

长长度与拉力关系的函数模型.

Z+Q14.2,

取两组数据（1,14.2）,（4,57.5）,则，

.42+6=57.5,

女214.4,

解得1所以x=14.4尸一02

力七一0.2.

将已知数据代入上述解析式，或作出函数图象，可以发现，这个函数模型与

已知数据拟合程度较好.

答案：x=14.4F-0.2

〈用E3困回

一、思考辨析

判断正误(正确的打“，错误的打“X”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价,

若按九折出售，则每件还能获利.()

(2)函数)，=2］的函数值比)，=/的函数值大.()

(3)不存在xo,使QX0<MvlogaX0.()

(4)“指数爆炸”是指数型函数y=0"+c(”WO,b>0,bKl)增长速度越来越

快的形象比喻.()

答案：⑴X(2)X⑶X(4)X

二、易错纠偏

1.(函数模型选择易误)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第

二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模

型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()

A.y=100xB.y=50,r-50x+l(X)

C.y=50X2xD.y=1001og>+100

解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函

数模型，代入数据验证可知选C.

2.(指数函数、对数函数性质不明致误)下面对函数於)=k)gy与g(x)=(，

2

在区间(0,+8)上的衰减情况的说法中正确的为()

A.危)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快

B.火x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢

c.7U)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢

D.«x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快

解析：选C.在同一平面直角坐标系中画出段)与g(x)的图象如图所示，由图

象可判断出衰减情况为：«r)衰减速度越来越慢；g(x)衰减速度越来越慢，故选

C.

3.(平均增长率概念不济致误)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的

增长率为p,第二年的增长率为°,则该市这两年生产总值的年平均增长率为

解析：设年平均增长率为x,则(1+x)2=(l+p)(l+/,所以x=

y](1+〃)(1+夕)—1.

答案：弋(1+p)(1+q)-1

q核心考点0共研

[学生用书P65]

考点一用函数图象刻画变化过程(自主练透)

复习指导：能将实际问题转化为数学问题，会应用函数图象对实际问题进行

描述.

6

5

4

3

2

1

01234567

1.一种叫万年松的树的生长时间人年)与树高y(m)之间的散点图如图所示.请

你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型最好的是

A.y=2!B.y=log2Z

C.y=PD.y=2/2

解析：选B.由图知，函数的增长速度越来越慢，排除A,C,D.选B.

2.（2022•广州市综合检测（一））

如图，一高为“且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时,

水从孔中匀速流出，水流完所用时间为r若鱼缸水深为力时，水流出所用时间

为3则函数〃=/w的图象大致是（）

解析：选B.水位由高变低，排除C,D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下

降速度先慢后快，故选B.

3.设甲、乙两地的距离为小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20

分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王

从出发到返回原地所经过的路程），和其所用的时间x的函数图象为（）

解析：选D.y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排

除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B,故选D.

4.（多选）

（2022•福建氏门高三质检）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患

者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量M单位：微克）

与时间”单位：小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当

每亳升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（)

A.a=3

B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时

C.注射该药物《小时后每亳升血液中的含药量为0.4微克

31

D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5右小时

解析：选AD.当，=1时，y=4,即出=4,解得。=3,

pk,OWrcl,

所以），=<“、/—3故A正确，

旧，闫,

药物刚好起效的时间，当4r=0.125,即

药物刚好失效的时间3=0]25,解得f=6,

131

故药物有效时长为6一行=5行小时，

•JLJL

药物的有效时间不到6个小时，故B错误，D正确；

注射该药物1小时后每毫升血液含药量为4X：=0.5微克，故C错误.

OO

绩后感悟---------------------------------

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法：

（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再

结合模型选图象.

（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋

势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.

考点二已知或选择函数模型解决实际问题（综合研析）

复习指导：1.已知函数模型，用待定系数法确定解析式；

2.根据几种常见函数的增长差异选择函数模型.

0Hl（1）（2022•江西高三月考）果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新

鲜度.已知在一定时间内，某种水果失去的新鲜度y与其采摘后时间r（小时）近

似满足的函数关系式为了=》旭级，加为非零常数），若采摘后20小时，这种水果

失去的新鲜度为20%,采摘后30小时，这种水果失去的新鲜度为40%.那么采摘

下来的这种水果大约经过多长时间后失去50%新鲜度（参考数据：1g2-0.3,结

果取整数）（）

A.33小时B.23小时

C.35小时D.36小时

（2）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q（单位：元

/100kg）与上市时间/（单位：天）的数据如下表：

时间，6010018()

种植成本Q11684116

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上

市时间，的变化关系：

Q=at-\-b,。=〃及+4+c,Q=abt,Q=ak）g”.

利用你选取的函数，则

①西红柿种植成本最低时的上市天数是；

②最低种植成本是元/100kg.

k-nr°=20Q/o1

【解析】（1）由题意彳，a。_A/,两式相除得M0=2,加=21°,代入得

k•*=40%

i

2=5%,所以），=5%・21°,

由50%=5%♦21°得21°=10,取对数得行恒2=1,£=175^55比33（小时）.

JLv/1为JV7・J

（2）由题意知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数。=4尸+）

+c,即Q=a（L120）2+w描述，将表中数据代入可得

a(60-120)2+/n=116,4=0.01

解得

a(100-120)2+W=84,机=80,

所以Q=0.01Q-120）2+80,故当上市天数为120时，和植成本取到最低值

80元/100kg.

【答案】(1)A(2)①120②80

图题技巧-------------------------------

已知或选择函数模型解决实际问题的注意点

（1）已知模型的实际问题，根据待定系数法确定模型，再利用模型求解实际

问题.

（2）选择模型的问题可结合函数图象，函数值的增长特点（增减、增长快慢）

等选用合适的函数模型.

|跟踪训练|

（多选）纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国城市

2

中有超过）的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃

圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2018年到2021年产生的包装垃圾量

如下表：

年份X2018201920202021

包装垃圾y（万吨）46913.5

有下列函数模型：①y=4〃-2018；②y=〃sin，荻+仇参考数据：lg2=0.301

0,1g3=0.4771）,则（）

2018

A.选择模型①，函数模型解析式＞=4｛引，近似反映该城市近几

年产生的包装垃圾y（万吨）与年份x的函数关系

B.选择模型②，函数模型解析式》=尔m赢+2018,近似反映该城市近

几年产生的包装垃圾M万吨）与年份x的函数关系

C.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长卜去，从2023年开始，该城市

的包装垃圾将超过40万吨

D.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024年开始，该城市

的包装垃圾将超过40万吨

2018

解析：选AD.若选y=4-M,计算可得对应数据近似为4,6,9,13.5,

TTY

若选y=4sin沟X+2018,计算可得对应数据近似值都大于2014,显然A

正确，B错误；

/3V-2018

按照选择函数模型y=4•目,

/3V-2O18

令)>40,即4X⑸>40,

/3Y~2O18

所以⑸>10,

所以x—2018>log310,

2

1g101

所以工一2018）75.6786,

Ig3-lg2

所以Q2023.6786,

即从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确.

考点三构建函数模型解决实际问题（多维探究）

复习指导：1.分析题意，寻找实际问题中起决定作用的两个变量.

2.确定两个变量间的关系，选择合适的函数模型.

角度1构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型

初2（链接常用结论2）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创

业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x

万件，需另投入流动成本为WQ）万元，在年产量不足8万件时，W（x）=¥+x（万

元）.在年产量不小于8万件时，W（x）=6x+¥—38（万元）.每件产品售价为5

元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.

（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量M万件）的函数解析式；（注：年利润=

年销售收入一固定成本一流动成本）

（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利

润是多少？

【解】（1）因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，

依题意得，当0<r<8时，

£（x）=5x—3=—3;

当工28时，L（x）=5x—38）—3=35—

一$+4x—3,0<r<8,

所以L(x)=

354+华），在&

(2)当0<x<8时，L(x)=-1(X-6)2+9.

此时，当x=6时，L(x)取得最大值，为9万元.

当x28时，〃幻=35—^+噌<35—2^^=35-20=15,当且仅当

X=¥时等号成立，

即x=10时，L(x)取得最大值，为15万元.

因为9<15,所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利泗

最大，最大利润为15万元.

角度2构建指数函数、对数函数模型

图⑶(1)(2022•长春高三摸底考试)2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛

和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量

增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假

设蝗虫的日增长率为5%,最初有No只，则达到最初的16000倍只需经过(参考

数据：In1.05^0.0488,In16000^9.6803)()

A.191天B.195天

C.199天D.203天

(2)里氏震级M的计算公式为：M=lgA-lgAo,其中A是测震仪记录的地震

曲线的最大振幅，4是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记

录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为

级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.

【解析】(1)设过x天能达到最初的16000倍，

由已知可得，+0.059=160002),

In16000

所以x=%198.4,

In1.05

又

故经过199天能达到最初的16000倍.

(2)M=lg1(X)O-lg0.001=3-(-3)=6.

设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为4,A2f则9=lg4

-lgAo=lg唬=1%

4

5=lgA2—lgAo=lg条则方=我，所以崇no.

即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍.

【答案】(1)C(2)610000

11题技巧---------------------------------

(1)建模解决实际问题的三个步骤

①建模：抽象出实际问题的数学模型.

②推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义

上的解.

③评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回

到原来的实际问题中去，得到实际问题的解.

(2)构建函数模型解决实际问题，充分体现了数学建模的核心素养.

［提醒］(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域.

(2)利用模型段)=以十?求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件.

I跟踪训练I

1.(多选)某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，

若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要使该杂志销售收入不少

于22.4万元，每册杂志可以定价为()

A.2.5元B.3元

C.3.2元D.3.5元

解析：选BC.依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高

销售价，

设每册杂志定价为您＞2)元，则发行量为110—:^X0.5)万册，

则该杂志销售收入为万元，

所以(10—苇£XO.5}222.4,化简得X2—6X+8.96W0,解得2.8WXW3.2,

故选BC.

2.某种茶水用100°C的水泡制，再等到60°C时饮用可产生最佳口感.已

f

知茶水温度M单位：℃)与经过时间f(单位：min)的函数关系是：y=ka+yQi其

中a为衰减比例，州是室温，，=0时，y为茶水初始温度，若室温为20℃,

引8,茶水初始温度为100℃,则k=,产生最佳口感所需时间是

________min.

解析：由题意，），=m+20,当，=0时，有），=比什20=什20=100,2=80,

则尸80"+20,当产60时，即80"+20=60,所以80〃=40,所以

=；,所以£=8.

答案：808

课后达标n检测

［学生用书P398（单独成册）］）

［A基础达标］

1.某种细菌在培养过程中，每15min分裂一次（由1个分裂成2个），这种

细菌由1个分裂成4096个需经过的时间是（）

A.12hB.4h

C.3hD.2h

解析：选C.设这种细菌由1个分裂成4096个需经过了次分裂，则4096=

12x15

2S解得x=12,故所需时间f=60=3h.

2.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟赛跑，领先的兔子看着慢

慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是

急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.Si,S2分别表示乌龟和兔子所

行的路程，，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（）

OU\tOU\tOU\t0U\«

ARCD

解析：选B.选项A表示龟兔同时到达；选项C表示兔子没有追赶乌龟；选

项D表示兔子先到达终点.

3.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历

了〃次涨停（每次上涨10%）,又经历了n次跌停（每次下跌10%）,则该股民这支

股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）

A.略有盈利B.略有亏损

C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况

解析：选B.设该股民购进这支股票的价格为〃元，则经历n次涨停后的价

格为〃（l+10%）"=aXl.l“元，经历n次跌停后的价格为aXl.l〃X（l-10%）〃=

4X1.1〃XO.9"=〃X（1.1XO.9）"=O.99"・〃<〃，故该股民这支股票略有亏损.

4.在固定电压差（电压为常数）的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其

电流强度/与电线半径r的三次方成正比,若已知电流通过半径4毫米的电线时,

电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为（）

A.60安B.240安

C.75安D.135安

解析：选D.由已知，设比例常数为h则/=k凡由题意，当r=4时，/=320,

320

故有320=^X43,解得女=后=5,所以/=5向

故当r=3时，1=5X33=135（安）.故选D.

5.（2022・皖南八校联考）某购物网站在2021年11月开展“全部6折”促销

活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免

100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总

数最少，他最少需要下的订单张数为.

解析：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额（6折后）满300

元时可减免10（）元”，即每张订单打折前原金额不少于500元.由于每件原价

48元，因此每张订单至少11件，又42=11X3+9,所以最少需要下的订单张数

为3.

答案：3

6.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情

况.

加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）

2021年5月I日1235000

2021年5月15日4835600

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升.

解析：因为每次都把油笳加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油

量为48升，而行驶的路程为35600—35000=600(千米)，故每100千米平均耗

油量为48・6=8(升).

答案：8

7.一个容器装有细沙Qcn?,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏

出，/min后剩余的细沙量为)=优一叫加3),经过8min后发现容器内还有一半的

沙子，则再经过min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.

解析：当t=0时，y=a\

当z=8时，y=〃e一勖=%,故e一汕=去

当容器中的沙孑只有开始时的八分之一时，即y=ac~h,=^a

fc~h,

=e"助，则/=24,所以再经过16min容器中的沙子只有开始时的八分之一.

答案：16

8.某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月污染度为60,整治后

前四个月的污染度如下表：

月数1234…

污染度6031130…

污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数

模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：

20

/U)-20口一1),g(x)—y(x-4)2(x^1),

h(x)=30|log2X—2|(x1),其中x表示月数，/U),g(x),//(%)分别表示污染度.

(D试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；

(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60?

解：(1)用力㈤模拟比较合理，理由如下：

因为42)=40,g(2)心26.7,力(2)=30;

43)=20,g(3)76.7,/i(3)^12.5.

由此可得/?a)更接近实际值，所以用力(幻模拟比较合理.

(2)因为〃(x)=30|log2X-2|在时是增函数，"(16)=60,所以整治后有16

个月的污染度不超过60.

9.某家庭进行理财投资：根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产

品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根

成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元，0.5万元.

(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；

(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投

资获得最大收益，其最大收益是多少万元？

解：(1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为yu)=kx,g(x)=kn&.

由已知得y(i)=W=h,g(i)=g=22,

所以/(x)=*v(x20),g(x)=^\n(x20).

(2)设投资股票类产品为X万元，

则投资债券类产品为(20—工)万元.

依题意得y=fi20~x)+gix)=^X+^1x=—X+45+20

(04W20).

8

所以当也=2,即X=4附，收益最大，ymax=3万元.

故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3

万元.

[B综合应用]

10.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子物质的量的浓度(单位：

mol/L,记作[H+])和氢氧根离子物质的量的浓度(单位：mol/L,记作[OH])的乘

积等于常数10一叱已知pH值的定义为pH=-lg[H。，健康人体血液的pH值保

持在7.35〜745之间，那么健康人体血液中的曙可以为(参考数据Jg2M).3。,

lg3^0.48)()

A2B-3C6DW

rij+i

解析：选C.因为巴+卜[0七]=10—14,所以9岛=田+]2义10]4,因为7.35<

[UHJ

-lg[H+]<7.45,所以10r45<H+]<i0f35,所以・山+]2<10-

IUHJ

o.7,io-O9=y^9>-j^,1g10°7=0.7>lg3>lg2,所以1007>3>2,10~07<|<^,所以强

、媚巧，故选C-

11.（2022・京作温县一中10月月考）搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F

遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功.此次航天飞行任务中，火

箭起到了非常重要的作用.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在

发动机工作期间获得速度增量。（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式。=

①ln（l+引来表示，其中，口（单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，双单

位：吨）表示它装载的燃料质量，M（单位：吨）表示它自身（除燃料外）的质量.若

某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度。

达到第一宇宙速度（7.9千米/秒），则火箭的燃料质量m与火箭自身质量M之比觊

约为（）

A.eL58B.e058

C.eL58-lD.e058-l

解析：选C.由题设，51n（1+令）=7.9,则觊=e5—1=3$8—1.

12.（多选）

八记忆保持量

也.8I

0..6I

0..42I

0.-天

O2682X

01

小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的

情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量兀0与时

-^r+1,0<rWl,

91

{而r2,KO.

则下列说法正确的是（）

A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低

B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多

C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%

D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%

解析：选ABC.由函数解析式可知/U）随着x的增加而减少，故A正确；由

1Q1I91

图象可得B正确；当l<rW30时，兀0=5+乔E,则火9）=§+/X91=0.35,

1911

即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%,故C正确；式26）=5+^X26

故D错误.

13.燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁

的燕子的飞行速度可以表示为函数。单位是m/s,其中。表示燕子的

耗氧量.

⑴燕子静止时的耗氧量是个单位;

（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是

解析：（1）由题意知，当燕子静止时，它的速度为0,代入o=51og2告中可得

0=51og2告，解得。=10.

（2）将耗氧量。=80代入v=51og2告中，得r=51og2Y^=51og28=15（m/s）.

答案：（1）10（2）15m/s