2024-2025学年辽宁省大连市王府高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省大连市王府高级中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x+y−1=0的倾斜角为(

)A.45° B.135° C.90° D.120°2.已知向量a=(1,−1,0)，则与a共线的一个单位向量e=(

)A.(1,1,0) B.(−22,23.用0，1，2，3，4这五个数字能组成无重复数字且1与3不相邻的五位数的个数有(

)A.36 B.48 C.60 D.724.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=13，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线5.已知直线l1：3x+2ay−5=0，l2：(3a−1)x−ay−2=0，若l1//l2A.−16 B.6 C.0 D.06.已知点P为抛物线y2=2px(p>0)上一动点，点Q为圆C：(x+2)2+(y−4)2=1上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若A.1 B.2 C.3 D.47.设F1、F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆CA.32 B.233 8.过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B.已知OA.233 B.3+1 C.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.过点P(1,2)且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y−3=0

B.过点(−1,2)且垂直于直线x−2y+3=0的直线方程为3x+y=0

C.过两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y−4=0的交点的直线的方程是x+y+2=010.某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的有(

)A.分给甲、乙、丙三地每地各2辆，有120种分配方式

B.分给甲、乙两地每地各2辆，分发丙、丁两地每地各1辆，有180种分配方式

C.分给甲、乙、丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式

D.分给甲、乙、丙、丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1080种分配方式11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)与圆O：x2+y2=5交于A、B两点，且|AB|=4，直线l过C的焦点F，且与C交于A.p=2

B.1|MF|+1|NF|=1

C.存在某条直线l，使得|MF|+2|NF|=5

D.若点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，点13.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x−2)2+(y−3)2=1交于M，N两点.若OM⋅14.如图所示，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD满足AB⊥AD，CB⊥CD，BA⋅BC+2DA⋅DC=0，若点A，C分别为焦点在轴上的椭圆E：x28+y2b2=1(b>0)的上、下顶点，点B在椭圆E四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0)，B(−2,0)，C(−3,−3)．

(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；

(2)求△ABC的外接圆M被直线l：x−y+1=0截得的弦长．16.(本小题15分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(2,−4)．

(Ⅰ)求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；

(Ⅱ)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线m17.(本小题15分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为4，直线2x−y=0为双曲线C的一条渐近线．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为18.(本小题15分)

如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，△ABD为底面圆O的内接正三角形，且边长为3，E在母线PC上，且AE=3，CE=1，EC⊥BD．

(1)求证：平面BED⊥平面ABD；

(2)求二面角E−AB−D的余弦值；

(3)设线段PO上动点为M，求直线DM与平面19.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线Γ：y2=4x的焦点与F2重合，若点P为椭圆C和抛物线Γ在第一象限的一个公共点，且△POF2的面积为63，其中O为坐标原点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的上顶点B参考答案1.B

2.B

3.C

4.B

5.D

6.B

7.B

8.D

9.CD

10.BD

11.ABD

12.1

13.214.1215.解：(1)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0)，B(−2,0)，C(−3,−3)，

∵B(−2,0)，C(−3,−3)，

∴BC边的中点D的坐标为(−52,−32)，

∴中线AD的斜率为−32−0−52−0=35，

∴中线AD的直线方程为：y−0=35(x−0)，即3x−5y=0；

(2)设△ABC的外接圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

∵A、B、C三点在圆上，

∴F=04−2D+F=09+9−3D−3E+F=0，

解得D=2E=4F=0，

∴外接圆M的方程为x2+y2+2x+4y=0，即(x+116.解：(Ⅰ)由题抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(2,−4)，16=4p，解得p=4，

抛物线C的方程为y2=8x，其准线l方程为x=−2；

(Ⅱ)由题，①当直线m的斜率不存在时，y轴符合题意，其方程为x=0；

②如果直线m的斜率为0，y=2符合题意；

③如果直线m的斜率存在且不为0，则设直线m的方程为y=kx+2，

由y=kx+2y2=8x得ky2−8y+16=0，

由△=64−64k=0得k=1，

故直线m的方程为y=x+2，即x−y+2=0，

17.解：(1)∵虚轴长为4，∴2b=4，即b=2，

∵直线2x−y=0为双曲线C的一条渐近线，

∴ba=2，∴a=1，

故双曲线C的标准方程为x2−y24=1．

(2)由题意知，A(−1,0)，B(1,0)，

设直线l的方程为x=ny+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立x2−y2418.解：(1)证明：如图所示，设AC与BD交于点F，连接EF，

由于PO⊥底面ABD，BD⊂底面ABD，故PO⊥BD，

又EC⊥BD，即BD⊥PC，PC∩PO=P，PC，PO⊂平面AEC，

故BD⊥平面AEC，又EF，AC⊂平面AEC，故BD⊥EF，BD⊥AC，

△ABD为底面圆O的内接正三角形，且边长为3，

则AD=3,AF=3×32=32，AC=ADsinπ3=2；

又AE=3,CE=1，

∴AC2=AE2+CE2，即AE⊥EC，

而AEAC=AFAE=32，

∴△AEC∽△AFE，则∠EFC=π2，即EF⊥AC，

结合BD⊥EF，AC，BD⊂平面ABD，AC∩BD=F，

∴EF⊥平面ABD，又EF⊂平面BED，

∴平面BED⊥平面ABD．

(2)以点F为坐标原点，以FA，FB，FE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

结合(1)可知PO=2EF=2(3)2−(32)2=3，

则A(32,0,0),B(0,32,0),D(0,−32,0),E(0,0,32),P(12,0,3),O(12,0,0)，

则AB=(−32,32,0),AE=(−32,0,32)，

设平面ABE的法向量为n=(x,y,z)，

n19.解：(1)设P(x0,y0)x0>0，y0>0，由抛物线方程y2=4x，得焦点F2(1,0)，

设椭圆半焦距为c，则c=1，则F1(−1,0)，

因为S△POF2=12×1×y0=63，解得y0=263，

而点P在抛物