2023-2024学年广东省深圳高级中学九年级上学期开学考数学试题及答案

试题PAGE1试题深圳高级中学2023－2024学年第一学期九年级开学考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若分式值为0，则x的值为（）A.1 B. C.1或 D.03.下列四个命题中，假命题是（）A.顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形B.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等C.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合D.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形4.若函数和函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（）A B. C. D.5.已知多项式因式分解后得到一个因式为，则m的值为（）A. B.5 C. D.66.某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，可列方程为（）A. B.C. D.7.关于x的一元二次方程k-4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A.k>4 B.k≤4 C.k<4且k≠0 D.k≤4且k≠08.如图，长方形花圃面积为，它的一边利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是．处开一门，宽度为．设的长度是，根据题意，下面所列方程正确的是（）A. B. C. D.9.如图，在四边形纸片中，，，，，点是线段中点，点在线段上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（）A. B. C. D.10.如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（）A. B.1 C. D.2二．填空题（每题3分，共18分）11.分解因式：__________．12.关于x的不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围为________．13.若关于x的方程=0有增根，则m的值是______．14.若，是一元二次方程的两个实数根，则___________．15.如图，在平行四边形中，，，对角线交于点O，经过点O的直线交于点E，且平分的周长，则___________．16.如图，在中，，过点B作延长到点D，使得，连接，若，则的长为____________．三．解答题（共52分）17.先化简，再求值：，其中．18.解方程：．19.（1）用配方法解方程：；（2）公式法解方程：．20.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接和．（1）求证：四边形菱形；（2）若，求菱形的周长．21.某超市用1200元购进一批甲玩具，用500元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．（1）求甲、乙玩具的进货单价格是多少元？（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件，求该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具多少件？22.如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图1，在平面内是否存在一点H，使得以A、C、B、H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图1点M（1，﹣1）是第四象限内的一点，在y轴上是否存在一点F，使得|FM﹣FC|的值最大？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由23.【课本重现】已知：如图1，分别是等边的两边上的点，且．若交于点，则；【迁移拓展】如图2，已知点是等边的边上一点，点是延长线上一点，若，连接．求证：；【拓展延伸】如图3，若点分别是延长线上一点，且连接，以为边向右侧作等边，连接，求的面积．深圳高级中学2023－2024学年第一学期九年级开学考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2.若分式的值为0，则x的值为（）A.1 B. C.1或 D.0【答案】A【解析】【分析】分式的值为零的条件是：分子为零，分母不为零，由此列方程与不等式，从而可得答案．【详解】解：∵分式值为0，∴，且，由可得：，由可得：，∴．故选：A．【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．3.下列四个命题中，假命题是（）A.顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形B.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等C.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合D.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理、全等三角形的判定定理、等腰三角形的性质逐项判断即可．【详解】A、根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）可判断该命题为真命题，该选项不符合题意；B、根据勾股定理和全等三角形的判定定理（三条边分别相等的两个三角形全等）可判断该命题为真命题，该选项不符合题意；C、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，该命题为假命题，该选项符合题意；D、根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）和平行四边形的判定定理（两组对角分别相等的四边形为平行四边形）可判断该命题为真命题，该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定定理、全等三角形的判定定理、等腰三角形的性质，牢记平行四边形的判定定理、全等三角形的判定定理、等腰三角形的性质是解题的关键．4.若函数和函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式组之间的内在联系及数形结合思想是解决本题的关键．【详解】解：观察函数图象得两条直线交点为，关于的不等式可转化为，而的解集用函数图象表示是指函数图像在函数图象上方的部分对应的的范围，当时，函数图象在函数图象上方，关于的不等式的解集为，故选：D．【点睛】利用函数图象，写出直线在直线上方的部分图象所对应的自变量的取值范围即可．5.已知多项式因式分解后得到一个因式为，则m的值为（）A. B.5 C. D.6【答案】C【解析】【分析】令，求出x的值，代入多项式计算求出m的值即可．详解】解：令，即把代入多项式得：解得故选C．【点睛】此题考查了因式分解的概念，特殊值法是本题的关键．6.某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，可列方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，分别表示七、八月份的产量，然后列式即可．【详解】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，七月份的产量为：，八月份的产量为：，∴列式为：，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，熟记增长率和减少率的基本模型是解题关键．7.关于x的一元二次方程k-4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A.k>4 B.k≤4 C.k<4且k≠0 D.k≤4且k≠0【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得到k≠0，根据一元二次方程有两个实数根得到，求出k的取值范围．【详解】解：∵一元二次方程有两个数根，∴，解得，又∵k≠0，∴k≤4且k≠0，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．掌握根的判别式与方程的解的关系是解题的关键．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．8.如图，长方形花圃面积为，它的一边利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是．处开一门，宽度为．设的长度是，根据题意，下面所列方程正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，栅栏总长度是，门宽度为，则三边的总长度是，根据长方形的面积公式，列出方程即可．【详解】解：设的长度是，则的长度是，列出方程为：，故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据长方形的面积公式列出方程．9.如图，在四边形纸片中，，，，，点是线段的中点，点在线段上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由折叠可知，所以当A，，E三点共线时，的长度最小，作交CD的延长线于点G，根据勾股定理分别求出的长度，即可求长度的最小值．【详解】解：连接AE，过点A作交CD的延长线于点G，，，四边形是平行四边形，，，，，，为CD的中点，，，，；由折叠可知，，∴，当A，，E共线时，的长度最小，此时，，故选：C【点睛】本题考查折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形求AE的长度．10.如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，证明△AEG≌△MDG，得到AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，根据三角形中位线定理得到GH＝FM，由勾股定理求出FM即可得到GH．【详解】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，∵G为DE的中点，∴GE＝GD，∴△AEG≌△MDG（AAS），∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，∴CM＝CD＝2，∵点H为AF的中点，∴GH＝FM，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝2，∴FM＝，∴GH＝FM＝，故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，正确作出辅助线，证出AG＝MG是解决问题的关键．二．填空题（每题3分，共18分）11.分解因式：__________．【答案】【解析】【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12.关于x的不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】可先用表示出不等式组的解集，再根据有三个整数解可得到关于的不等组，可求得的取值范围【详解】解：解不等式①可得解不等式②可得，由题意可知原不等式组有解，∴原不等式组的解集为∵该不等式组恰好有三个整数解，∴整数解为，，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的基本步骤，并根据不等式组整数解的情况确定字母的取值范围．13.若关于x的方程=0有增根，则m的值是______．【答案】2【解析】【详解】去分母得，m-1-x=0，∵方程有增根，∴x=1，∴m-1-1=0，∴m=2．故答案为：214.若，是一元二次方程的两个实数根，则___________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得：，进而即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和=，两根之积=是解题的关键．15.如图，在平行四边形中，，，对角线交于点O，经过点O的直线交于点E，且平分的周长，则___________．【答案】【解析】【分析】由三角形的中位线定理可得，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求，即可求解．【详解】解：如图，延长至，使，连接，过点作于，四边形是平行四边形，，平分的周长，，，即，又，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键．16.如图，在中，，过点B作延长到点D，使得，连接，若，则的长为____________．【答案】【解析】【分析】如图所示，过点D作于H，过点D作交延长线于G，证明得到，，利用勾股定理求出，从而得到，再证明四边形是矩形，得到，则，即可利用勾股定理得到．【详解】解：如图所示，过点D作于H，过点D作交延长线于G，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．三．解答题（共52分）17.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先根据分式混合运算法则计算，将原式化简，然后将代入化简式计算即可．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．18.解方程：．【答案】无解【解析】【分析】根据解分式方程的步骤进行求解即可．【详解】解：两边同乘以得：,解得：,经检验，是原分式方程的增根,∴原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是要检验整式方程的解是否是原分式方程的增根．19.（1）用配方法解方程：；（2）公式法解方程：．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）先将二次项的系数化为，然后根据配方法的步骤求解即可；（2）先确定一元二次方程中、、的值，然后代入求根公式求解即可．【详解】解：（1）两边都除以2，得：，移项，得，配方，得，，∴或，∴，；（2）∵，∴，，，∴，∴，∴，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法和公式法解方程．20.如图，在矩形中，对角线垂直平分线分别交于点，连接和．（1）求证：四边形为菱形；（2）若，求菱形的周长．【答案】（1）见解析（2）40【解析】【分析】（1）根据推出，根据全等得出，推出四边形是平行四边形，再根据即可推出四边形是菱形；（2）根据线段垂直平分线性质得出，设，推出，在中，由勾股定理得，求出即可．【小问1详解】证明：是的垂直平分线，，四边形是矩形，，，在和中，，，，又，四边形是平行四边形，又，平行四边形是菱形；【小问2详解】解：设，是的垂直平分线，，，在中，由勾股定理得：，，解得，，菱形的周长为40．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用．21.某超市用1200元购进一批甲玩具，用500元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．（1）求甲、乙玩具的进货单价格是多少元？（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件，求该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具多少件？【答案】（1）甲玩具的进货单价是6元，乙玩具的进货单价是5元；（2）该超市最多采购甲玩具75件．【解析】【分析】（1）设乙玩具进货单价是x元，则甲玩具的进货单价是元，根据“所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍”列出分式方程，解之即可；（2）设该超市采购甲玩具a件，根据“购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件”列出不等式，解之取其中的整数，即可得出结论．【小问1详解】解：设乙玩具的进货单价是x元，则甲玩具的进货单价是元，根据题意得：，解得：，经检验，是分式方程的根，（元），答：甲玩具的进货单价是6元，乙玩具的进货单价是5元；【小问2详解】解：设该超市采购甲玩具a件，根据题意得：，解得：，答：该超市最多采购甲玩具75件．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．22.如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图1，在平面内是否存在一点H，使得以A、C、B、H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图1点M（1，﹣1）是第四象限内的一点，在y轴上是否存在一点F，使得|FM﹣FC|的值最大？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）（﹣6，﹣2）;（2）见解析;（3）见解析.【解析】【分析】（1）证明△MAC≌△OBA（AAS），根据三角形全等时对应边相等可得C的坐标；（2）根据平移规律可得三个H点的坐标；（3）如图3，作点M（1，-1）关于y轴的对点M'（-1，-1），连接CF1、MF1，由于|FM-FC|≤CM，当C、M'、F三点共线时取等号，连接CM'，与y轴交于点F即为所求，根据直线解析式，令x=0可得与y轴的交点F的坐标．【详解】解：（1）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，∵∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，则∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴OM＝OA+AM＝2+4＝6，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）（2）答：如图2，存在三个H点，∵A（﹣2，0）