2022-2023学年广东省深圳市第二高级中学高一上学期入学考数学试题及答案

试题试题深圳市第二高级中学2022学年高一年级入学考试一．选择题（本大题共10个小题，每题4分，共40分；在每个小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的）1.对于任何有理数a，下列各式中一定为负数的是（）A. B. C. D.2.若实数m、n满足等式，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A6 B.8 C.10 D.8或103.如图，一次函数的图象过点，则不等式的解是（）A B. C. D.4.如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B.C. D.5.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足，则b的值可以是（）A.2 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣36.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A.+1 B.﹣1 C. D.7.若，且，，则的值为（）A. B.1 C.4 D.38.如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A. B. C. D.9.如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个10.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为（）A B.8 C.10 D.二．填空题（本大题共5个小题，每个小题4分，共20分）11.如果不等式组的解集是，那么的取值范围是____．12.如图，中，AB＝AC，∠A＝45°，AC垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．如果AD＝2，那么tan∠BCD＝_____．13.已知x、y为正偶数，且，求______14.如图所示，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，△BCE的面积是6，则k＝_____．15.如图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为_____．三．解答题（16题6分，17题6分，18~21题每题12分）16.（1）计算：；（2）化简：．17观察以下等式：第1个等式：（）＝，第2个等式：（）＝，第3个等式：（）＝，第4个等式：（）＝．第5个等式：（）＝．…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．18.解下列关于x的不等式：（1）；（2）19.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，求tanC．20.如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是第二象限内抛物线上一点，BM交y轴于N．（1）求点A、B的坐标；（2）若BN＝MN，且S△MBC＝，求a的值；（3）若∠BMC＝2∠ABM，求的值．21.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：（1）（类比探究）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为；（2）（推广验证）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；（3）（拓展应用）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE＝，求五边形ABCDE的面积．

试题试题深圳市第二高级中学2022学年高一年级入学考试一．选择题（本大题共10个小题，每题4分，共40分；在每个小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的）1.对于任何有理数a，下列各式中一定为负数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】ABC选项取特殊值判断，D由绝对值的意义判断.【详解】解：当时，，故A错误；当时，，故B错误；当时，，故C错误；易得，，则，故D正确故选：D2.若实数m、n满足等式，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A.6 B.8 C.10 D.8或10【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，再分等腰△ABC的底边长为2和等腰△ABC的底边长为4两种情况讨论，即可得出答案.【详解】解：因为，所以且，所以，当等腰△ABC的底边长为2时，则三边长分别为，所以△ABC的周长是，当等腰△ABC的底边长为4时，则三边长分别为，因为，所以为三边长不能构成三角形，综上所述△ABC的周长是.故选：C.3.如图，一次函数图象过点，则不等式的解是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由一次函数过点可得，再根据一元一次不等式的解法即可得解.【详解】解：因为一次函数的图象过点，所以，即，则不等式，即为，又，所以，所以.故选：C.4.如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据参数对于二次函数与一次函数图象的影响，逐个选项检验，可得答案.【详解】对于A，由抛物线图象中开口向上可知，由解析式可知，对称轴，直线的图象应该是斜向上，且与轴相交于负半轴，故A错误；对于B，由抛物线图象中开口向上可知，由解析式可知，对称轴，直线的图象应该是斜向上，且与轴相交于负半轴，故B正确；对于C，由抛物线图象中开口向上可知，由解析式可知，对称轴，故C错误；对于D，由抛物线图象中开口向上可知，由解析式可知，对称轴，故D错误；故选：B.5.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足，则b的值可以是（）A.2 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3【答案】B【解析】【分析】根据实数a在数轴上的对应点的位置可确定的位置，结合选项，可得答案.【详解】由实数a在数轴上的对应点的位置可知，即a位于1和2之间,故位于和之间，故实数b满足,结合选项可得b的值可以是，故选：B6.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A.+1 B.﹣1 C. D.【答案】B【解析】【分析】运用已知所给的类比方法，结合勾股定理、正切的定义进行求解即可.【详解】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，设，则由勾股定理可知：，因此，因此在直角三角形中，，故选：B7.若，且，，则的值为（）A. B.1 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】由题意，可得为方程的两个不相等的根，结合韦达定理和降幂代还，可得答案.【详解】由，，可得为方程的两个不相等的根，则，，，，.故选：B.8.如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接，取的中点，连接，则，分别求出，即可得解.【详解】解：连接，取的中点，连接，则，当三点共线时取等号，因为，所以为等腰直角三角形，所以，因为为的中点，所以，因为BC＝1，点M为线段AC的中点，所以，所以，所以OM的最大值为.故选：B.9.如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】【分析】根据抛物线开口方向、对称轴以及与x轴的交点情况求解.【详解】解：因为抛物线开口向下，所以，因为抛物线对称轴在y轴右侧，所以b与a异号，则，因为抛物线与y轴正半轴相交，所以，则，因为抛物线与x轴有两个交点，所以因为对称轴为，则，所以，当时，，因为时，，所以，当时，，当时，，两式相加得，故选：B10.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为（）A. B.8 C.10 D.【答案】D【解析】【分析】设与轴交于点，作轴，垂足点，作轴，垂足点，利用勾股定理求出点的坐标，再根据，求得，再利用，求得，再根据，求得，即可得点的坐标，从而可得出答案.【详解】解：设，因为，所以，解得，即，设与轴交于点，作轴，垂足点，作轴，垂足点，则，，因为，所以，所以为的中点，所以，，在和中，因为，所以，所以，所以，所以，所以，在和中因为，所以，所以，所以，所以，所以点的坐标为，又因为反比例函数的图象经过点B，所以，所以.故选：D.二．填空题（本大题共5个小题，每个小题4分，共20分）11.如果不等式组的解集是，那么的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】根据一元一次不等式组的解法进行求解即可.【详解】由，所以由的解集为可知，故答案为：12.如图，中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．如果AD＝2，那么tan∠BCD＝_____．【答案】【解析】【分析】利用线段的中垂线的性质、等腰三角形证明，再利用直角三角形求的值.【详解】因为为的中垂线，故，而，故，所以，而，故，所以，故，所以，故，则在中，.故答案为：.13.已知x、y为正偶数，且，求______【答案】40【解析】【分析】因式分解可得，由于x、y为正偶数，分，，三种情况讨论，从而可求得，即可得出答案.【详解】解：因为，所以，因为x、y为正偶数，所以，当时，无解；当时，无解；当时，则或，当，解得或，当，无解，综上或，所以故答案为：40.14.如图所示，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，△BCE的面积是6，则k＝_____．【答案】【解析】【分析】设，则，，根据△BCE的面积可求得，再根据，可得，从而可求得答案.【详解】解：设，则，因为矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，所以，则，因为△BCE的面积是6，所以，即，因为，所以，即，所以，即，所以.故答案为：.15.如图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为_____．【答案】24【解析】【分析】根据正方形的性质，结合图形面积之间的关系进行求解即可.【详解】由正方形的性质可知：，所以故答案为：24【点睛】关键点睛：利用图形面积之间和差关系是解题的关键.三．解答题（16题6分，17题6分，18~21题每题12分）16.（1）计算：；（2）化简：．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据幂的定义、零次幂的性质、特殊角的正弦值、绝对值的性质进行求解即可；（2）运用因式分解法和分式的运算法则进行求解即可.【详解】（1）（2）17.观察以下等式：第1个等式：（）＝，第2个等式：（）＝，第3个等式：（）＝，第4个等式：（）＝．第5个等式：（）＝．…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．【答案】（1）（）＝；（2）（为正整数），证明过程见解析.【解析】【分析】（1）（2）根据等式中每个分数中分子和分母的特征进行求解即可.【小问1详解】根据等式中每个分数中分子和分母的特征可知：第6个等式为：（）＝；【小问2详解】根据等式中每个分数中分子和分母的特征可知：第n个等式：（为正整数），证明过程如下：.18.解下列关于x的不等式：（1）；（2）【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解；（2）因式分解，分，，，，五种情况讨论，结合一元二次不等式解法即可得解.【小问1详解】解：当时，，原不等式变形为，解得，故不等式的解集为，当时，，原不等式变形为，解得，故不等式的解集为，综上所述，不等式的解集为；【小问2详解】解：当时，则，解得，故不等式的解集为；当时，不等式因式分解可得，当时，则，解得，故不等式的解集为；当时，，解得，故不等式的解集为；当，即时，化为，解得或，故不等式的解集为；当，即时，化为，解得或，故不等式的解集为；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.19.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，求tanC．【答案】（1）证明过程见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据圆的切线判定定理，结合等边对等角定理、直角三角形的性质进行证明即可；（2）根据圆的直径性质、割线定理，正切的定义进行求解即可.【小问1详解】连接，因为，所以，又因为，所以，因此，因为DF⊥AC，所以，即，于是有，即，因此DF是⊙O的切线；【小问2详解】连接，因为AB是⊙O的直径，所以，又因为，所以，设，由割线定理可知：，即，于是有，因为，所以三角形是直角三角形，由勾股定理可知：，所以.【点睛】20.如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是第二象限内抛物线上一点，BM交y轴于N．（1）求点A、B的坐标；（2）若BN＝MN，且S△MBC＝，求a的值；（3）若∠BMC＝2∠ABM，求的值．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）令，得，通过解一元二次方程进行求解；（2）先利用得到点的横坐标，再利用分割法求面积，得到关于的一元二次方程即可求解；（3）过点作，利用等腰三角形、相似三角形得到，进而求出点的坐标，再利用点在抛物线上进行求解.【小问1详解】令，得，即，解得或，因为在的左侧，所以、；【小问2详解】若，则为的中点，所以点的横坐标为，纵坐标为，所以，，又，且，，所以，即，解得；【小问3详解】过点作（如图所示），则，且，又，所以，所以为等腰三角形，且，，设，，则，所以，，所以，，则，，即，所以，即，即，即，解得，即.21.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：（1）（类比探究）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边