中考数学二轮复习冲刺第10讲 全等三角形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）（原卷版）

第10讲全等三角形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）【考纲要求】1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3.善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.【知识导图】【考点梳理】考点一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.要点诠释：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).考点二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1.条件充足时直接应用判定定理要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2.条件不足，会增加条件用判定定理要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3.条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．【典型例题】题型一、全等三角形例1.如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．【变式】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．题型二、灵活运用定理例2．如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.【变式】如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证：AC=BF.例3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB-AD与CD-CB的大小关系，并证明你的结论．【变式】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．例4．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．题型三、综合运用例5．如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【变式】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE.下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有()．A．1个 B．2个 C．3个D．4个AABCDEFG例6．如图，已知△ABC.（1）请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．【变式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．【中考过关真题练】一．选择题（共9小题）1．（2022•成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D2．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC3．（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL4．（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE5．（2022•梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD6．（2022•泰安）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE＝S△ABC，其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．17．（2022•西宁）如图，∠MON＝60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（）A．△AOB是等边三角形 B．PE＝PF C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形8．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．189．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9二．填空题（共11小题）10．（2022•宁夏）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是.（只写一个）11．（2022•湖北）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF．12．（2022•牡丹江）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEC．13．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件，使△AOB≌△COD．14．（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝度．15．（2022•南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为．其中正确的结论是．（填写序号）16．（2022•大庆）如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的两个动点，且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍．连接DE，DF分别与对角线AC交于点M，N，给出如下几个结论：①若AE＝2，CF＝3，则EF＝4；②∠EFN+∠EMN＝180°；③若AM＝2，CN＝3，则MN＝4；④若＝2，BE＝3，则EF＝4．其中正确结论的序号为．17．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是．18．（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边上一点，且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E（异于点C），连接DE，则BE的长为．19．（2022•朝阳）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为．20．（2022•深圳）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD＝45°，则AF长为．三．解答题（共8小题）21．（2022•铜仁市）如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．求证：△ABC≌△CDE．22．（2022•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．23．（2022•广州）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE．24．（2022•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．25．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．26．（2022•黄石）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．27．（2022•资阳）如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．28．（2022•荆门）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【中考挑战满分模拟练】一．选择题（共4小题）1．（2023•金安区校级模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB＝45°，F是高BD和CE的交点，AD＝3，CD＝5，则线段BF的长度为（）A．1 B．2 C． D．2．（2023•海口一模）如图，将边长6cm的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形．已知裁剪线与正方形的一边夹角为60°，则梯形纸片中较短的底边长为（）A．（3﹣）cm B．（3﹣2）cm C．（6﹣）cm D．（6﹣2）cm3．（2023•三亚一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为边AC上一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F．若AG＝3，则阴影部分的面积为（）A．12 B．12.5 C．13 D．13.54．（2023•金安区校级模拟）两个直角三角板如图摆放，其中∠ACB＝∠EDC＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，点B在DE上，若∠ACE＝2∠BCD，则∠ABE的大小为（）A．75° B．45° C．60° D．65°二．填空题（共2小题）5．（2023•槐荫区模拟）如图，在4×4的正方形网格中，求α+β＝度．6．（2023•琼山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（3，0），C（3，2），如果△ABC与△ABD全等，那么点D的坐标可以是（写出一个即可）．三．解答题（共9小题）7．（2023•秦都区校级模拟）如图，∠C＝∠E，AC＝AE，点D在BC边上，∠1＝∠2，AC和DE相交于点O．求证：△ABC≌△ADE．8．（2023•广西模拟）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）求草坪造型的面积．9．（2023•雁塔区一模）已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．10．（2023•铜川一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．11．（2023•定远县校级一模）如图①，在等边三角形ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DA＝DE．（1）求证：∠BAD＝∠EDC；（2）如图②，M是点E关于直线BC的对称点，连接DM，AM，CM，求证：DM＝AM．12．（2023•定远县校级一模）如图1，等腰△ABC和等腰△DEC中，AB＝AC＝AD，DE＝DC．（1）求证：∠BAE＝∠D；（2）如图2，如果AB⊥AC，求BE：EC的值（提示：先求∠D的度数）；（3）延长线段BA交DC于点F．如果△ACF是等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝2，求DC的长．13．（2023•莲湖区一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．14．（2023•碑林区校级一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求证：CD＝DE．15．（2023•汉阳区校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足为D，点E在AD上，BE平分∠ABD，点F在BD延长线上，BF＝CE，延长FE交BC于点H．（1）求证：∠CBE＝45°；（2）写出线段BH和EH的位置关系和数量关系，并证明．【名校自招练】一．选择题（共4小题）1．（2021•江夏区校级自主招生）如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝（）A．330° B．315° C．310° D．320°2．（2022•南岸区自主招生）如图，点F，E在AC上，AD＝CB，∠D＝∠B．添加一个条件，不一定能证明△ADE≌△CBF的是（）A．AD∥BC B．DE∥FB C．DE＝BF D．AE＝CF3．（2021•武进区校级自主招生）Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点．∠MDN＝90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）＝BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四边形AEDF＝AD•EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2021•宁波自主招生）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AD为△ABC的中线，点F在边AC上（不与端点重合），BF与AD交于点E，若AF＝EF，则AE的长为（）A． B．3 C． D．4二．多选题（共1小题）（多选）5．（2021•洪山区校级自主招生）在△ABC中，CA＝CB，P是△ABC外一动点，满足∠CAP+∠CBP＝180°，设∠CPA＝α，则下列结论正确的有（）A．∠CPA＝∠CPB B．设四边形ACBP的面积为S，则S≤AB•CP C．若α＝30°，BC＝4，则PC的最大值为8 D．若α＝60°，PA＝4，PB＝2，则PD的长度为三．填空题（共3小题）6．（2022•南陵县自主招生）如图，在△ABC中，∠BA