（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测04三角函数的运算（教师版）

第第页第04课三角函数的运算考点01：任意角和弧度制【例1】（多选）下列说法正确的有（

）A．若是锐角，则是第一象限角B．C．若，则为第一或第二象限角D．若为第二象限角，则为第一或第三象限角【答案】ABD【详解】A选项，是锐角，即，所以是第一象限角，A选项正确.B选项，根据弧度制的定义可知，B选项正确.C选项，当时，，但不是象限角，C选项错误.D选项，为第二象限角，即，所以为第一或第三象限角，D选项正确.故选：ABD【变式1】若与的终边互为反向延长线，则有（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为与的终边互为反向延长线，所以，，即，.故选：D.考点02：扇形的弧长及面积公式【例2】已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的弧长为______，面积为______【答案】【详解】设扇形的半径为，弧长为，则由已知可得，解得，，所以扇形面积为，故答案为：；．【变式2】已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【分析】设扇形圆心角为，扇形半径为r，由题可得间关系，后用r表示S，即可得答案.【详解】设扇形圆心角为，，扇形半径为，，由题有，则，当时取等号.故选：D【变式3】中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（

）（参考数据：）

A．B．若，扇形的半径，则C．若扇面为“美观扇面”，则D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为【答案】D【详解】扇形的面积为，其圆心角为，半径为R，圆面中剩余部分的面积为，选项A：.故A正确；选项B：由，可得，解得，又扇形的半径，则.故B正确；选项C：若扇面为“美观扇面”，则，解得.故C正确；选项D：若扇面为“美观扇面”，则，又扇形的半径，则此时的扇形面积为.故D错误.故选：D考点03：三角函数的定义及其应用【例3】已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P，若点位于轴上方且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2)【详解】（1）由三角函数的定义，，，两边平方，得则，，，所以，.（2）由（1）知，，.【变式4】如果角的终边在直线上，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为角的终边在直线上，所以.所以.故选：B.【变式5】已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.【详解】由题意知，则原式.故选：B.考点04：同角三角函数基本关系与诱导公式【例4】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴的合，终边经过点，且.(1)求的值：(2)求的值.【答案】(1).(2)或.【详解】（1）由题意知角的终边经过点，且，故，解得，当时，，则；当时，，则，即.（2）,故时，，时，.【变式6】（多选）以下各式化简结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据三角函数的同角基本关系和诱导公式逐一判断即可.【详解】，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误；故选：ABC【变式7】已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由平方得，，故选：A考点05：齐次式化简求值【例5】已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)2;(2)【详解】（1）由，得，解得．（2）由已知得，，由（1）得代入，，所以．【变式8】已知，则__________.【答案】3【分析】将已知式中分子，再分子分母同时除以，解方程即可得出答案.【详解】由题意，即，则.故答案为：3.【变式9】已知，则等于（

）A．4 B．6 C．2 D．【答案】A【详解】因为，则，原式.故选：A.考点06：和、差、倍角的简单化简与求值【例6】（多选）下列四个选项中，计算结果是的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】对A，，A正确；对B，，B正确；对C，，C正确；对D，，D错误；故选:ABC.【变式10】在中，已知是的一元二次方程的两个实根，则______．【答案】【分析】利用韦达定理，两角和的正切公式，求得的值，可得的值，从而求得的值．【详解】因为是的一元二次方程的两个实根，由题有，而，∴，又，∴.故答案为：.【变式11】已知且都是第二象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函数的平方关系求得，再利用余弦函数的和差公式即可得解.【详解】因为且都是第二象限角，所以，，所以.故选：C.考点07：辅助角公式的应用【例7】已知，则（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根据余弦两角和公式和辅助角公式求解即可.【详解】.故选：A【变式12】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接使用辅助角公式化简求值即可.【详解】∵，∴.故选：D.考点08：给值求值型【例8】若，，，，则______．【答案】【分析】根据和两角差的余弦公式可求出结果.【详解】因为，，所以，，因为，，所以，，所以.故答案为：【变式13】已知，则_____.【答案】【分析】由于，然后利用余弦的二倍角公式可求得结果.【详解】因为，所以，故答案为：【变式14】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，根据二倍角公式求出，再根据诱导公式及二倍角公式求解.【详解】令，则，，得，所以.故选:D.考点9：给值求角型【例10】已知是方程的两根，且，则的值为______.【答案】【分析】首先利用韦达定理，得到两角正切的关系式，再根据两角和的正切公式，求角.【详解】由条件可知，，所以，因为，所以，所以.故答案为：【变式15】设，均为钝角，且，，则的值为______.【答案】【分析】先求出和，再运用两角和公式求解.【详解】∵，，且，，，∴.∵，∴；故答案为：.【变式16】已知，为锐角，，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)【详解】（1）（2）因为为锐角，且，所以.所以，.，所以.三角函数的运算随堂检测1.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1：2，则这两个扇形周长的比为（

）A．1：2 B．1：4 C． D．1：8【答案】C【详解】设扇形的圆心角的弧度数为，两圆的半径分别为和，则，.两个扇形周长的比为:.故选：C2.已知角的终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题意，，，又，显然，，，故选：A3.已知，且为第三象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，又因为为第三象限角，所以，则，故选：D.4.已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据角的变换及诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求解.【详解】，，.故选：D5.设，角α的终边与单位圆的交点为，那么的值等于____.【答案】/0.4【详解】因为点P在单位圆上，则|OP|=1，即，解得.因为，所以，所以P点的坐标为，所以，.所以.故答案为：.6.若锐角满足，则______．【答案】【详解】因为，所以，又为锐角，所以，所以，则.故答案为：7.已知，则______，______.【答案】2【分析】利用两角和的正切公式可得，再根据两角和的正弦公式以及二倍角的公式展开，根据齐【详解】由，得，．故答案为：2，．8.已知，则________．【答案】【分析】由可得，后