15三角函数的应用教案2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用一、教学目标1.正确理解方位角、俯仰角和坡角；2.能运用解直角三角形知识解决相关实际问题；3.三角函数在航海、测量、改造工程等方面的实际应用二、教学重难点重点：通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用难点：建立数学模型，把实际问题转化为数学问题三、教学过程【新课导入】[提出问题]大家通过图片知道这是什么电影吗?（可引入电影中的一小段视频）[课件展示]学生齐答.[提出问题]对，这部电影就是众所周知的《泰坦尼克号》，影片中客轮未能及时发现并躲避冰山，最终造成惨剧。因此我们通过电影知道轮船在海中航行时用方位角准确描述其航行方向的重要性.那么我们如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险呢？接下来我们进入今天的学习.【新知探究】与方位角有关的实际问题[提出问题]首先我们先要了解方位角的定义（课件展示方位角），指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．那么图中的这两个角应该怎么描述？[课件展示]学生集体讨论后齐答.[解答]上面的这个角表示为北偏东30度，下面的角表示为南偏西45度.[提出问题]接下来我们一起来完成例1的问题（老师读题），我们来帮助货轮算一算，如果它继续向东航行，是否会有触礁的危险？通过题目我们知道小岛A四周10nmile内有暗礁，那也就是说货轮继续向东航行是否安全，取决于小岛A到BD航线的距离是否大于10nmile.即由点A作AD⊥BC于点D.（讲解例1，引导学生）[解答]通过例题的计算，我们可以初步了解与方位角有关的实际问题，趁热打铁，接下来我们通过练习1继续熟悉与方位角有关的三角函数问题.分组请同学们自主解答练习1.[交流讨论]小组之间交流讨论计算.得出答案.[解答]（教师挑学生上黑板写出做题步骤）讲解练习1.[过渡]除了和方位角有关的问题，之前我们还学习了俯角和仰角，接下来大家回忆一下，一起完成课件中的填空.（二）仰角和俯角问题[提出问题]如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做？（学生齐答，教师明确仰角）视线在水平线下方的叫做？（学生齐答，教师明确俯角）.[课件展示][提出问题]我们已经复习了俯仰角的定义，接下来的例2大家自己来尝试解答.[解答]挑学生解答例2，老师讲解与补充.[提出问题]我们这类问题我们已经很熟悉了，练习2的问题我们分成几个小组，看哪个小组能算的又对又快？[解答]小组选出学生解答练习2，老师讲解与补充.[过渡]通过对俯角和仰角的再次练习，大家已经能熟练掌握这一部分了，接下来我们进入第三类问题的练习，即和坡度、坡角有关的问题，之前坡度我们也已经学习过，结合图大家一起来完成课件中的填空.（三）利用坡角解决实际问题[提出问题]如图，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫什么？（学生齐答，教师明确坡度），用字母i表示，把坡面与水平面的夹角叫做什么？（学生齐答，教师明确坡角），这个角记做α，于是坡度比i＝tanα=什么？（学生齐答，教师明确h比l），之前我们也已经得出过结论，坡度越大，α角越大，坡面越陡.[课件展示][提出问题]我们继续通过实际问题，来解决和坡度有关的三角函数问题，大家一起来看例3（老师读题）.[解答]（老师读题后讲解）问题中说调整后的楼梯会加长多少，其实就是求ABBD的值；楼梯多占多长一段地面，其实是求AD，即ACCD的值.根据提示，大家自主继续解答问题中的两问.（挑选学生回答，解答后教师讲解补充）[提出问题]相信大家已经能够熟练掌握和坡度有关的三角函数实际问题，接下来的练习3由同学自己解答，找一位同学给大家尝试讲一讲.（挑选学生像老师一样给同学们讲解，教师补充解答）[归纳总结]相信通过对三个类型的三角函数的实际问题的探究学习，大家可以自己总结下我们解题的一般步骤（学生自己说一说，之后教师总结）.首先我们将实际问题抽象为三角形中的三角函数的数学问题，然后根据题目类型和条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形，最后得到数学和实际问题的答案.【课堂小结】与方位角有关的实际问题方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．仰角和俯角问题仰角和俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角．三、利用坡角解决实际问题坡度和坡角：通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫坡度，用字母i表示，把坡面与水平面的夹角叫做坡脚，记做α，于是i＝h/l＝tanα，显然，坡度越大，α角越大，坡面就越陡．一般解题步骤【课堂训练】学生完成本课时PPT练习题，教师讲评.【布置作业】【板书设计】第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用第1课时正切【教学反思】一、案例的“亮点”1.通过学生熟悉感兴趣的电影进行导入，第二部分通过复习已经学过的知识进行导入，形式多样化，增加课堂的趣味性和效率，使学生既能温习学过的知识，又能和即将学习的新的知识产生联系，增加学习的兴趣.2.本节课很多知识都与之前的学习有关联，尽可能站在学生的角度上思考问题，引导学生独立自主解答问题，通过学生回答或齐答，小组讨论，分组比赛，上台书写，学生讲解等多种方式，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，使学生体验思考的过程，体验成功的喜悦或出错后自我分析与反思，把课堂让给学生，这样可以让解答习题时的枯燥和一味地讲解变得形势更加多样化，课堂更加生动有趣.3.本节课结合课本中的三个例题，清晰地划分了三个类型，即每个例题对应一个类型，该类型中的相关定义首先进行引导或讲解，然后讲练例题，最后配有一道练习题进行巩固训练，加深学生对知识点的掌握.课堂设置流程清晰，其