云南省2024年7月普通高中学业水平考试数学试题

机密★考试结束前【考试时间：2024年7月12日，上午，共100分钟】云南省2024年春季学期期末普通高中学业水平考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效．参考公式：如果事件A、B互斥，那么．如果事件A、B相互独立，那么．球的表面积公式：，体积公式：，其中R表示球的半径．柱体的体积公式：，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高．锥体的体积公式：，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高．选择题（共66分）一、选择题：本大题共22个小题，每小题3分，共66分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集运算性质计算即可.【详解】因为集合，，则.故选：D2.函数的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的知识求得正确答案.【详解】由于，所以，所以的最大值为，此时.故选：C3.某中学开展劳动实习，学生学习编织球体工艺品．若这种球体的半径为10cm，则这种球体的表面积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】由题意，这种球体的表面积为.故选：D.4.已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的几何意义求解即可.【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A.5.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用两角差的余弦公式可求解.【详解】.故选：A.6.已知平面向量，，则（）A. B. C.1 D.5【答案】C【解析】【分析】利用向量数量积的坐标运算公式求解即可.【详解】.故选：C.7.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式化简求解即可.【详解】.故选：A.8.已知a、b、c都是实数，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质以及特殊值法逐项对选项进行分析即可.【详解】因为，对于A，根据不等式的性质知，故A正确；对于B，当时，；当时，；当时，，故B错误；对于C，当时，，所以；当时，，所以，故C错误；对于D，若，则，故D错误.故选：A.9.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果.【详解】根据向量加法的三角形法则,得到.故选：C.10.下列函数中，在上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据常见函数的单调性分析判断即可.【详解】对于，这里，其图象开口向下，对称轴为.在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数.故A错误.对于函数，这里.根据一次函数的单调性，在上单调递增，故B正确.是周期函数，它的周期是.在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数，故C错误.也是周期函数，周期为.在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数.故D错误.故选：B.11.如图，在正方体中，直线与直线BD（）A.异面 B.平行 C.相交且垂直 D.相交但不垂直【答案】A【解析】【分析】法一：根据异面直线的概念判断即可.法二：利用反证法可证明直线与直线异面.【详解】法一：由图形可知，直线与直线不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.法二：（反证法）假设直线与直线不异面，则直线与直线共面，设直线与直线确定的平面，又不共线，所以确定平面，所以平面与平面重合，从而可得平面，与平面矛盾，所以直线与直线异面.故选：A12.（）A.5 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】由换底公式进行求解.【详解】.故选：C.13.甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示：甲乙丙丁8.599.59.90.2510.650.09根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】【分析】根据平均数和方差的意义分析求解.【详解】从数据来看丁的平均成绩最高，方差最小，因此丁成绩好且发挥稳定，应选择丁.故选：D.14.若，则x的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由，解得，则x的取值范围为.故选：A.15.已知i为虚数单位，复数，则（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】利用复数的模的计算公式求解即可.【详解】复数，则.故选：C.16.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理解三角形.【详解】中，由正弦定理，得.故选：B17.函数定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的真数大于零列不等式求解即可.【详解】由得，所以函数的定义域为.故选：D.18.函数在上的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用指数函数的单调性，即可求解.【详解】因为在定义域上单调递增，所以函数在上的最小值为，故选：B.19.若，，，则（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性求解即可.【详解】因为在上单调递增，所以，而，所以，因为在单调递增，所以，所以.故选：B.20.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可.【详解】由，，得，所以.故选：D.21.某公司10名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下：等级一等奖二等奖三等奖人数（单位：人）361现从这10名员工中任选1名员工参加经验交流活动．若每位员工被选到的概率相等，则选到获一等奖员工的概率为（）A.0.1 B.0.3 C.0.5 D.0.6【答案】B【解析】【分析】根据古典概率知识求得正确答案.【详解】根据古典概型的知识可知，所求概率为.故选：B22.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（）A. B. C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理可求解.【详解】因为在中，，，，所以由余弦定理可得：，所以.故选：D.【点睛】方法点睛：三角形中知道两边及夹角的余弦值求第三边直接利用余弦定理求解.非选择题（共34分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案写在答题卡相应的位置上．23.已知函数是奇函数．若，则__________．【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.【详解】依题意，是奇函数，所以故答案为：24.某地区的高中学校分为A、B两类，A类高中学校共有学生6000人，B类高中学校共有学生2000人．现按A、B两类进行分层，用分层随机抽样的方法，从该地区的高中学校抽取学生40人进行调查研究．设抽到该地区A类高中学校学生x人，则__________．【答案】30【解析】【分析】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可.【详解】由题意，.故答案为：30.25.若，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】根据基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.26.若函数的最小正周期为，则常数__________．【答案】【解析】【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知余弦型函数求周期问题，直接利用周期公式求解.三、解答题：本大题共3个小题，第27题5分，第28题6分，第29题7分，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．27.甲、乙两人独立地参加本次普通高中化学学业水平合格性考试，他们的考试成绩互不影响．甲的化学成绩得满分的概率为，乙的化学成绩得满分的概率为．（1）求甲、乙两人的化学成绩都得满分的概率；（2）求甲、乙两人至少有一人的化学成绩没有得满分的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；（2）利用对立事件的概率公式直接求解即可.【小问1详解】由题意，甲、乙两人的化学成绩都得满分的概率为.【小问2详解】由题意，甲、乙两人至少有一人的化学成绩没有得满分的概率为.28.如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且．（1）求证：平面；（2）若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）结合题设易得，，进而结合线面垂直的判定定理求证即可；（2）利用等体积法求解即可.【小问1详解】证明：在直三棱柱中，平面，因为平面，所以，又D是线段BC的中点，且，所以，因为，平面,所以平面.【小问2详解】由（1）知，平面，因为是边长为2的正三角形，所以，则，则，所以三棱锥的体积为.29.已知b、c是常数，函数，，．函数的零点是、