2023年北京市中考数学真题试卷（附答案）

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2021年北京市中考数学试卷

一、选择题（共16分,每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.12分）（2021•北京）如图是某几何体的开放图，该几何体是（）

A.长方体B.圆柱C.圆锥D.三棱柱

2.（2分）（2021•北京）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014

-2018年，中心财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校根本办学条件”专

项补助资金1692亿元，将16920000000（）用科学记数法表示应为（）

A.0.1692X1012B.1.692X1012

C.1.692X1011D.16.92X1010

3.（2分）（2021•北京）如图，点O在直线上，OCYOD.假设400=120。，则

5.（2分）［2021•北京）实数a,b在数轴上的对应点的位置如下图，以下结论中正确的选

项是（）

III.aII1b.1I1Ij1

・5Y・3・2012345

A.a>-2B.|a|>bC.a+b>0D.b-a<0

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6.（2分）（2021•北京）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面对上、一枚硬币反

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面对上的概率是（)

1112

A.-B.-C.—D.一

4323

7.12分）（2021•北京）432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.假设〃为整数且

n<V2021<n+l,则八的值为（）

A.43B.44C.45D.46

8.（2分）［2021•北京）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm,它

的邻边长为ym,矩形的面积为Sm2.当x在肯定范围内变化时，y和S都随x的变化而

变化，则y与x,S与x满足的函数关系分别是（）

A.一次函数关系，二次函数关系

B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系

D.反比例函数关系，一次函数关系

二、填空题（共16分，每题2分）

9.12分）（2021•北京）假期二7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______.

10.（2分）（2021•北京）分解因式：5x2-5y2=.

21

11.（2分）（2021•北京）方程一=解为

x3x--------.

b

12.（2分）（2021•北京）在平面直角坐标系x如中，假设反比例函数（AW0）的图象经

过点力（1,2）和点B（-1,.7：）,则m的值为.

13.（2分）（2021•北京）如图，PA,P8是。。的切线，A,B是切点.假设NP=50°,则N

AOB=.

14.12分）（2021•北京）如图，在矩形48co中，点E,尸分别在8C,4。上，AF=EC.只

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立一根杆.取CA的中点D,那么直线DB表示的方向为东西方向.

（1）上述方法中，杆在地面上•的影子所在直线及点4B,C的位置如下图.使用直尺

（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向.依据南北方向与东西方向相互

垂直，可以推断直线G4表示的方向为南北方向，完成如下证明.

证明：在中，BA=_______,0是以的中点，

：.CA±DB（）（填推理的依据）.

•.•直线DB表示的方向为东西方向，

，直线CA表示的方向为南北方向.

21.（6分）（2021•北京）关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）假设m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.

22.（6分）（2021•北京）如图，在四边形48C。中，NAC8=/C4D=90°,点E在BC

上，AE//DC,EF±AB,垂足为F.

（1）求证：四边形AECD是平行四边形；

4

（2）假设力E平分NB4C,BE=5,COSB可，求BF和力D的长.

23.（5分）（2021•北京）在平面直角坐标系xQy中，一次函数》=依+8MW0）的图象由函

数y=上的图象向下平移1个单位长度得到.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当x>-2时，对于x的每一个值，函数y=mx（mWO）的值大于一次函数y=依+b

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的值，直接写出m的取值范围.

24.（6分）（2021•北京）如图，00是△A5C的外接圆，AO是。0的直径，AO_LBC于点

E.

（1）求证：ZBAD=ZCAD；

连接80并延长，交4C于点F,交。。于点G,连接GC.假设。0的半径为5,

0E

25.（5分）（2021•北京）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的状况，从这两座

城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万

元）的数据，并对数据进展整理、描述和分析.下面给出了局部信息.

a甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数捱分成5组：6WxV8,

8WxV10,10WxV12,12WxV14,14WxW16）：

b甲城市邮政企业4月份收入的数据在10^x<12这一组的是：

10.010.010.110.911.411.511.611.8

c甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下:

平均数中位数

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中城市10.8m

乙城市11.011.5

依据以上信息，答复以下问题：

（1）写出表中m的值；

（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数

为pi.在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个

数为P2.比较小，P2的大小，并说明理由；

（3）假设乙城市共有200家邮政企业，估量乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出

结果

26.（6分）（2021•北京）在平面直角坐标系xQy中，点（1,m）和点（3,n）在抛物线y

=ax2+bx[a>0）上.

（1）假设m=3,n=15,求该抛物线的对称轴；

（2）点（-1,%），[2,y2）t[4,y3）在该抛物线上.假设mn<0,比较必，及，出

的大小，并说明理由.

27.（7分）（2021•北京）如图，在△48C中，AB=AC,ZBAC=a,M为3c的中点，点

。在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转a得到线段AE,连接BE,DE.

（1）比较N84E与/CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并

证明；

（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N,用等式表示线段NE与ND的数量关系，井

28.（7分）（2021•北京）在平面直角坐标系中，。。的半径为1.对于点4和线段BC,

给出如下定义：假设将线段绕点A旋转可以得到的弦?C（B1,C分别是

。的对应点），则称线段是0。的以点A为中心的“关联线段”.

（1）如图，点A,CvB2,。2,/，C3的横、纵坐标都是整数.在线段B/i，82c2，

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B3c3中，0)0的以点A为中心的“关联线段”是

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（2）ZXABC是边长为1的等边三角形，点A（0,f）,其中fWO.假设是OO的以点

A为中心的“关联线段”，求f的值；

（3）在△ABC中，AB=1,AC=2.假设BC是。0的以点A为中心的“关联线段”，直

接写出QA的最小值和最大值，以及相应的长.

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2021年北京市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）（2021•北京）如图是某几何体的开放图，该几何体是（）

A.长方体B.圆柱C.圆锥D.三棱柱

【分析】开放图为两个圆，一人长方形，易得是圆柱的开放图.

【解答】解：•・•圆柱的开放图为两个圆和一个长方形，

，开放图可得此几何体为圆

柱.应选：B.

【点评】此题主要考察了由开放图得几何体，关键是考察同学们的空间想象力量.

2.12分）（2021•北京）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014

-2018年，中心财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校根本办学条件”专

项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（）

A.0.1692X1012B.1.692X1012

C.1.692X10"D.16.92X101。

【分析】科学记数法的表示形式为aXIOn的形式，其中1W|Q|V10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成Q时，小数点移动了多少位，n确实定值与小数点移动的位数一

样.当原数确定值210时，〃是正整数；当原数确实定值VI时，〃是负整数.

【解答】解：将169200000000用科学记数法表示应为

1.692X10»».应选：C.

【点评】此题考察科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定。的值以及n的值.

3.（2分）（2021•北京）如图，点。在直线4B上，OC±OD,假设4OC=120°,贝ij

N80D的大小为（）

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【分析】依据平角的意义求出NBOC的度数，再依据垂直的意义求出答案.

【解答】解：・・・/40C+N80C=180°,/40C=120°,

ZBOC=ISO°-120°=60°,

又・・・OC_LO。,

：.ZCOD=90°，

；・NBOD=/COD-NBOC=90°-60°=30°,

应选：A.

【点评】此题考察平角及垂直的意义，理解相互垂直的意义是解决问题的关键.

4.12分)(2021•北京)以下多边形中，内角和最大的是()

【分析】依据多边形的内角和公式求解即可.

【解答】解：A.三角形的内角和为1XCT；

B.四边形的内角和为360°；

C.五边形的内角和为：(5-2)X180°=540°；

D.六边形的内角和为：(6-2)X1800=720°；

应选：D.

【点评】此题考察了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键.

5.(2分)(2021•北京)实数a,b在数轴上的对应点的位置如下图，以下结论中正确的选

项是()

ab

III1个|III1.

・5口・3・2・1012345

A.a>-2B.|a|>bC.a+b>0D.b-a<0

【分析】依据图象逐项推断对错.

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【解答】解：4由图象可得点A在-2左侧，

・・・aV-2,A选项错误，不符合题意.

B.Va到0的距离大于b到0的距离，

：,\a\>b,B选项正确,符合题意.

C.*：\a\>b,QVO,

，-a>b,

・••a+bVO,C选项错误，不符合题意.

D.・・”>Q,

A5-a>0,。选项错误，不符合题

意.应选：B.

【点评】此题考察数轴与确定值，解题关键是把握数轴上点的意义及确定值的含义.

6.（2分）12021•北京）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面对上、一枚硬币反

面对上的概率是（）

1112

A.-B."C.一D.一

4323

【分析】画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面对上，一枚硬币反面对上的有2

种结果，再由概率公式求解即可.

【解答】解：画树形图得：

开始

正反正反

由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面对上，•一枚硬币反面对上的有2种结

果，

・•・一枚硬币正面对上，一枚硬行反面对上的的概率为2_1,

4-2

应选：C.

【点评】此题考察了求随机大事的概率，用到的学问点为：概率=所求状况数与总状况

数之比.得到所求的状况数是解决此题的关键.

7.（2分）（2021•北京）432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.假设〃为整数

且〃〈质五V〃+l,则"的值为（）

A.43B.44C.45D.46

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【分析】先写出2021所住的范围，再写心。21的范围，即可得到n的值.

【解答】解：71936<2021<2025,

r.44<V2021<45,

An=44,

应选：B.

【点评】此题考察了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是

解题的关键.

8.(2分)(2021•北京)如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm,它

的邻边长为ym,矩形的面积为S*当x在肯定范围内变化时，y和S都随x的变化而

变化，则y与x,S与x满足的函数关系分别是()

A.一次函数关系，二次函数关系

B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系

D.反比例函数关系，一次函数关系

【分析】矩形的周长为2(x+y)=10,可用x来表示y,代入S=v中，可得S关于x

的困数关系式，代简即可得出答案.

【解答】解：由题意得，

2(x+y)=10,

.*.x+y=5>

・\y=5-x,

即y与X是一次函数关系.

*.*S=xy

=x(5-x)

=-X2+5X,

・•・矩形面积满足的函数关系为S=-X2+5X,

即满足二次函数关系，

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应选：A.

【点评】此题考察了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并娴熟把握二

次函数的解析式形式是解题的关键.

二、填空题(共16分，每题2分)

9.(2分)(2021•北京)假设衣二7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x27.

【分析】依据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案.

【解答】解；由题意得：x-7》0,

解得：x》7,

故答案为：x27.

【点评】此题考察的是二次根式有意义的条件，把握二次根式的被开方数是非负数是解

题的关键.

10.(2分)(2021•北京)分解因式：5*-[2=5(x+y)(x-y).

【分析】提公因式后再利用平方差公式即可.

【解答】解：原式=532_川)=5(x+y)(x-y),

故答案为：5(x+y)(x-y).

【点评】此题考察提公因式法、公式法分解因式，把握平方差公式的构造特征是正确应

用的前提.

21

11.12分)12021•北尔)方程---=—的解为x=3

x3x--------.

【分析】先将分式化为整数，然后求解并检验.

【解答】解：方程两边同时乘以x(x+3)得：

2x=x+3,

解得x=3,

检验：x=3时，x(x+3)#0,

・・・方程的解为x=

3.故答案为：x-3.

【点评】此题考察解分式方程，解题关键是先将分式方程化为整式方程求解，然后检验

增根状况.

12.(2分)(2021•北京)在平面直角坐标系xQy中，假设反比例函数y1c1AW0)的图象经

过点4(1,2)和点8(-1,,71),则m的值为-2.

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【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到-m=1X2,然后解关于m的方程即

可.

【解答】解：•・•反比例函数的图象经过点411,2）和点B（-1,m）,

/.-m=1X2,解得m=-2,

即m的值为-2.

故答案为-2.

【点评】此题考察了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数々£（A为常数，

0）的图象是双曲线，图象上的点（x,8的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.

13.（2分）（2021•北京）如图，PA,P8是的切线，A,8是切点.假设NP=50°，则/

【分析】先依据切线的性质得到尸=NO8P=90”，然后依据四边形的内角和计算

乙4OB的度数.

【解答】解：:弘，PB是。。的切线，A,B是切点，

：.OALPA,OBA.PB,

：.ZOAP=ZOBP=90C,

•••NO/P+乙4OB+NOBP+N尸=360°,

•••N4OB=360°-90°-90°-50°=130°.

故答案为130。.

【点评】此题考察了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.

14.（2分）（2021•北京）如图，在矩形49co中，点、E,尸分别在BCAD上，AF=EC.只

需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是独=4五（写出一

个即可）.

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【分析】依据矩形的性质得到有。〃BC,即/尸〃CE,推出四边形力BQ是平行四边形,

依据菱形的判定定理即可得到结论.

【解答】解：这个条件可以是产，

理由：•・•四边形/BCD是矩形，

：.AD//BC,

即AF//CE,

'：AF=EC,

・•・四边形ABCD是平行四边形，

'：AE=AF,

・•・四边形/Eb是菱形，

故答案为：AE=AF.

【点评】此题考察了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，娴熟把握菱

形的判定定理是解题的关键.

15.(2分)(2021•北京)有甲、乙两组数据，如下表所示：

甲1112131415

乙1212131414

甲、乙两组数据的方差分别为，2,$2,则$2>$2(填“>”，"V”或“=

甲乙甲乙

【分析】依据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再依据方差公式进展计算即可得

出答案.

【解答】解：-=lx(11+12+13+14+15)=13,

甲5

$2=；(11-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)4=2,

甲5

L=2X(12+12+13+14+14)=13,

乙5

$2=J[(12-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(14-13)2]=0.8,

乙5

•••2>0.8,

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:・S2As2.

甲乙

故答案为：》.

【点评】此题考察方差的定义：一般地设n个数据，xi,X2,的平均数为五则方差

5=1[々一短2+仅一公2+…+(x—4斗它反映了一组数据的波动大小，方差越大，

2n12n

波动性越大，反之也成立.

16.(2分)(2021•北京)某企业有48两条加工一样原材料的生产线.在一天内，A生产

线共加工Q吨原材料，加工时间为(4a+1)小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材

料，加工时间为(2b+3)小时.第一天，该企业将5吨原材料安排到A,B两条生产线，

两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间一样，则安排到A生产线的吨数与安排

到B生产线的吨数的比为其次天开工前，该企业按第一天的安排结果安排了

5吨原材料后，又给A生产线安排了m吨原材料，给B生产线安排了n吨原材料.假设两

m

条生产线都能在一天内加工完各自安排到的全部原材料，且加工时间一样，则f值为

n

1

7-'

【分析】设安排到生产线的吨数为x吨，则安排到B生产线的吨数为(5-x)吨，依题

意可得4x+1=2(5-x)+3,然后求解即可，由题意可得其次天开工时，由上一问可得方

程为4(2+m)+1==2(3+n)+3,进而求解即可得出答案.

【解答】解：设安排到生产线的吨数为x吨，则安排到B生产线的吨数为(5-x)吨，

依题意可得：

4x+1=2(5-x)+3,

解得：x=2,

，安排到B生产线的吨数为5-2=3(吨)，

・•・安排到生产线的吨数与安排到生产线的吨数的比为2：3；

・••其次天开工时，给生产线安排了(2+m)吨原材料，给生产线安排了(3+n)吨原材

料，

•・•加工时间一样，

/.4〔2+m[+1==2[3+n)+3,

解得：m=齐，

m1

•——

•n•一2c9

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1

故答案为：2：3；—.

2

【点评】此题主要考察一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的根本性质，娴熟把

握一元一次方程的应用及比例的根本性质是解题的关键.

三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题,每题6分，第23题5分，第

24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解同意写出文字说明、

演算步骤或证明过程。

17.（5分）（2021•北京）计算：2sin60°+V12+\-5|-（TT+^2）

【分析】直接利用零指数察的性质、二次根式的性质、确定值的性质、特别角的三角函

数值，分别化简得出答案.

【解答】解：原式=2x亨+20+5-1

=V3+2V3+5-1

=373+4.

【点评】此题主要考察了零指数累的性质、二次根式的性质、确定，直的性质、特别角的

三角函数值等学问，正确化简各数是解题关键.

4x—5>x+1

18.（5分）（2021•北京）解不等式组：｛3工一4）.

~2~〈4

【分析】分别求出每一个不等式的解集，依据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式4x-5>x+l,得：n>2,

3%—4

解不等式一^~V-得：x<4,

则不等式组的解集为2<x<4.

【点评】此题考察的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是根底，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

分）•北京）求代数式ta-by2+b（2a+b）的值.

19.（5（2021a2+2^2-i=o,

【分析】依据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把等式变形，代入即

可.

【解答】解：原式-2azM•力2+2而+从

=a2+2h2,

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•・72+24-1=0,

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.•・。2+2屏=1,

原式=1.

【点评】此题考察的是整式的化简求值，敏捷运用整体思想、把握整式的混合运算法则

是解题的关键.

20.（5分）（2021•北京）《淮南子天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：

日出时，在地面上点4处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点&使B,A

两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地

面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C,使C,B两点间的距离为10步，在点C处立

一根杆.取CA的中点D,那么直线D8表示的方向为东西方向.

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点48,C的位置如下图.使用直尺

（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向.依据南北方向与东西方向相互

垂直，可以推断直线。表示的方向为南北方向，完成如下证明.

证明：在△4BC中，BA=BC＞。是。的中点，

：.CAVDB（三线合一）〔填推理的依据）.

•・•直线DB表示的方向为东西方向，

・•・直线CA表示的方向为南北方向.

【分析】⑴作BDL4c于D即可.

（2）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可.

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(2)在△48C中，BA=BC,D是C4的中点,

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.'.CAA.DB(三线合一)，

•・•直线DB表示的方向为东西方向，

・•・直线C4表示的方向为南北方

向.故答案为：BC,三线合一.

【点评】此题考察作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质等学问，解题的关键是理

解题意，学会利用等腰三角形的性质解决问题.

21.(6分)(2021•北京)关于x的一元二次方程*4mx+3m2=Q.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)假设m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.

【分析】(1)依据方程的系数，结合根的判别式可得出△=4m2,利用偶次方的非负性可

得出4m2》0,即△》(),再利用“当△》()时，方程有两个实数根”即可证出结论；

(2)利用因式分解法求出xi=m,X2=3m.由题意得出m的方程，解方程则可得出答案.

(1)证明：*/a=1,b=-4m,c=3m2.

/.A=Z)2-4ac=(-4m)2-4X1X3m2=4/n2.

•・•无论m取何值时，4m22o,即△》(),

・•・原方程总有两个实数根.

(2)解：・4mx+3m2=0,即(x-m)(x-3m)=0,

=X2=3m.

Vm>0,且该方程的两个实数根的差为2,

/.3m-m=2,

m=1.

【点评】此题考察了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题

的关键是：(1)牢记“当△》()时，方程有实数根”；(2)利用因式分解法求出方程的解.

22.(6分)(2021•北京)如图，在四边形48co中，NC4D=90°,点E在BC

上，AE//DC,EFA.AB,垂足为F.

(1)求证：四边形AECD是平行四边形；

4

(2)假设平分N84C,BE=5,cosB)，求8尸和AD的长.

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【分析】⑴证AD//CE,再由AE//DC,即可得出结论；

(2)先由锐角三角函数定义求出BF=4,再由勾股定理求出EF=3,然后由角平分线的

性质得EC=EF=3,最终由平行四边形的性质求解即可.

【解答】(1)证明：・・・N4；B=NG4D=90°,

：.AD//CE,

*：AE//DC,

・•・四边形4ECD是平行四边形；

(2)解：*：EF±AB,

：.ZBFE=90°,

..4BF

•c°sn8=g=而

4A

：,BF=BE=x5=4,

55

：.EF=>/BE2-BFi=V5z-42=3,

•・NE平分NB4C,EFVAB,/4CE=90°,

AEC—EF—3,

由(1)得：四边形AECD是平行四边形，

.\AD=EC=3.

【点评】此题考察了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以

及勾股定理等学问；娴熟把握锐角三角函数定义，证明四边形AECD为平行四边形是解

题的关键.

23.(5分)(2021•北京)在平面直角坐标系x0中，一次函数(k#0)的图象由函

1

数歹二全的图象向下平移1个单位长度得到.

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当x>-2时，对于x的每一个值，函数(m#0)的值大于一次函数y=Ax+b

的值，直接写出m的取值范围.

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【分析】（1）依据平移的规律即可求得.

（2）依据点（-2,-2）结合图象即可求得.

【解答】解（1）函数'的图象向下平移1个单位长度得到产1-1,

22

•・•一次函数）=菽+3"W0）的图象由函数尸%的图象向下平移1个单位长度得到，

・•・这个一次函数的表达式为尸*1.

（2）把x=-2代入求得J=・2,

，函数（加WO）与一次函数尸今-1的交点为（-2,-2）,

把点（-2,-2）代入j=zwc,求得w=1,

•・•当尤＞・2时，对于x的每一个值，函数尸心（加W0）的值大于一次函数j=^-1

的值，

【点评】此题考察了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解

题的关键.

24.（6分）（2021•北京）如图，00是△/BC的外接圆，/D是00的直径，/D_LBC于点

E.

（1）求证：ZBAD=ZCAD；

（2）连接BO并延长，交力C于点F,交OO于点G,连接GC.假设0O的半径为5,OE

=3,求GC和OF的长.

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【分析】(1)依据垂径定理得至3=力，依据圆周角定理证明结论；

(2)依据勾股定理求出BE,依据垂径定理求出BG依据圆周角定理得到NBCG=90°,

依据勾股定理求出GC,证明△/FOS/XCFG,依据相像三角形的性质求出OF.

【解答】(1)证明：・・・力。是00的直径，AD±BC,

.\B)=M

：.ZBAD=ZCAD；

(2)解：在Rt2XBO£中，0B=5,OE=3,

：.BE=V0B2-0E2=4,

T/。是。O的直径，ADYBC,

，BC=2BE=8,

TSG是00的直径，

AZBCG=90°,

.・.GC=y/BG2-FC2=6,

ADIBC,NBCG=90°,

：.AE//GC,

:.小AFOS^CPG,

OAOF5OF

•一=~；口厂=

•'GCFG65-OF'

解得：0「=轻2s

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【点评】此题考察的是圆周角定理、垂径定理、相像三角形的判定和性质，把握相像三

角形的判定定理和性质定理、星径定理是解题的关键.

25.（5分）（2021•北京）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份攻入的状况，从这两座

城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万

元）的数据，并对数据进展整理、描述和分析.下面给出了局部信息.

a甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6<xV8,

8WXV10,10^x<12,12WXV14,14Wx近16）：

b甲城市邮政企业4月份收入的数据在10<x<12这一组的是：

10.010.010.110.911.411.511.611.8

c甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下:

平均数中位数

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

依据以上信息，答复以下问题：

<1）写出表中的值；

（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数

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为pi.在乙城由抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个

数为P2.比较〃，P2的大小，并说明理由；

（3）假设乙城市共有200家邮政企业，估量乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出

结果）.

【分析】（1）依据中位数的意义，求出甲城市抽样25家邮政企业4月份的营业额从小到

大排列，得出处在第13位的数据即可；

（2）依据pi,p2所表示的意义，结合两个城市抽取的邮政企业4月份的营业额的具体

数据，得出答案；

（3）依据乙城市邮政企业4月份营业额的平均数以及企业的数量进展计算即可.

【解答】解（1）将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在中

间位置的一个数是10.1,

因此中位数是10.1,即m=10.1；

（2）由题意得加=5+3+4=121家），

由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0,中位数是11.5,

因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上的占一半，

也就是P2的值要大于12,

.*.p1<p2；

（3）11.0X200=2200（百万元），

答：乙城市200家邮政企业4月份的总收入约为2200百万元.

【点评】此题考察频数分布直方图、平均数、中位数，把握平均数、中位数的意义是正

确解答的前提.

26.（6分）（2021•北京）在平面直角坐标系x勿中，点（1,m）和点（3,n）在抛物线y

=ax2+bx（tz>0）上.

（1）假设m=3,n=15,求该抛物线的对称轴；

（2）点（-1,%），（2,及），（4,y3）在该抛物线上.假设mnVO,比较必，及，为

的大小，并说明理由.

【分析】（1）将点（1,3）,13,15）代入解析式求解.

31

（2）分类争论b的正负状况，依据mn<Q可得对称轴在与直线之间，再依据

22

各点到对称轴的距离推断y值大小.

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【解答】解(1)Vm=3,n=15,

，点(1,3),(3,15)在抛物线上，

将(1,3),(3,15)代入y=Qx2+bx得：

(3=Q+b

[15=9a+3b'

解得仁:

.\y=x2+2x=(x+1)2-1,

・•・抛物线对称轴为直线x=-1,

(2)\*y=ax2+bx(a>0),

・••抛物线开口向上且经过原点，

当b=0时，抛物线顶点为原点，x>0时y随x增大而增大，〃>m>0不满足题意，

当b>0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，〃>m>0不满足题意，

/.6<0,抛物线对称轴在y轴右侧，x=1时m<0,x=3时n>0,

・•・抛物线对称轴在直线x=③与宣线x=1之间，

22

BP£<-L<L

22a2

・・.2・-b_-(-1)>：,

2a22a2

【点评】此题考察二次函数的性质，解题关键是娴熟把握待定系数法求函数解析式及依

据数形结合求解.

27.[7分)(2021•北京)如图，在中，AB=AC,ZBAC=a,M为的中点，点

。在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转a得到线段AE,连接BE,DE.

(1)比较NB4E与/以。的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并

证明：

(2)过点M作AB的垂线，交DE于点N,用等式表示线段NE与ND的数量关系，并

证明.

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【分析】11)由ND4E=/BZC可得/B“E=NC4D,然后SXS证Zk4BEgaZCD即可；

(2)作EH_LXB交BC于H,可证△BHWZiBH尸得BF=BH,再证MH=A/D,再借助

MN〃HF,由平行线分线段成比例即可证出.

'：

【解答】解(1)ZDAE