人教版八年级数学上册轴对称《最短路径问题》公开课教学课件

第十三章轴对称13.4最短路径问题第4节课题学习1.利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想.

学习目标重点难点问题1如图，连接A、B

两点的所有连线中，哪条最短？为什么？路线②最短，两点之间，线段最短.

新课引入问题2点P

是直线l

外一点，点P

与直线l上各点的连线中，哪条线段最短？为什么？PC最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短问题1如图，牧马人从A

地出发，到一条笔直的河边l

饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？一

牧马人饮马问题你能将这个实际问题抽象成数学问题吗？新知学习如图，如果把河边l近似地看成一条直线，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为:ABlC如右图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短?由这个问题，我们可以联想到下面的问题:BlA当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小.连接AB两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依据：两点之间，线段最短.BlAC你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？思考如果我们能够把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任意一点C，都保持BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B'吗?如图，作出点B关于l的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到BC=B′C.B′ABlC此时，问题转化为：当点C在l的什么位置时，AC+B′C的值最小？CB′ABlC′如图，在连接A，B'两点的线中，线段AB'最短.因此，线段AB'与直线l的交点C的位置即为所求.你能证明这个结论吗？CB′ABlC′证明证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+BC′.例1 如图，已知点D，点E

分别是等边三角形ABC

中BC、AB

边的中点，AD=5，点F

是AD

边上的动点，则BF+EF

的最小值为_____.分析：利用轴对称转移线段，将问题转化为研究过的“牧马人饮马”问题.解：∵点B和点C关于直线AD对称，∴BF=CF.求BF+EF最小值，只需CF+EF最小.连接EC，线段CE

的长即为BF+EF

的最小值.∵D、E

是等边△ABC

中BC、AB

的中点，∴CE=AD=5.针对训练1.两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.解：如图，作点D关于AB的对称点D′，连接D′C交AB于点E，则点E即为所求.二

造桥选址问题问题2如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）你能将这个实际问题抽象成数学问题吗？如图，我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.这样，上面的问题可以转化为:ABab∙∙MN由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM+MN+BN最小.当点N在直线b的什么位置时，AM+MN＋NB最小?ABab∙∙MN这样，问题就进一步转化为:能否通过图形的变化（轴对称、平移等)，把这个问题转化为“牧马人饮马”的情况?当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小?将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.这样问题转化为：ABab∙∙MNA′当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB的值最小？如图，在连接A'，B两点的线中，线段A'B最短.因此，线段A'B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.ABab∙∙MNA′M′N′你能证明这个结论吗？证明证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，∴A′N+NB<A′N′+BN′.即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′.∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′，即AM+NB+MN的值最小.ABab∙∙MNA′M′N′

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.归纳例2如图，某河在CC1处直角拐弯，河宽均相同，现要在河流拐弯的两旁分别造桥DD1，EE1，桥要与河垂直，问如何造桥可使ADD1E1EB的路程最短？ABB1A1DD1EE1CC1解：如图，作

AA1⊥CD，且

AA1

=河宽，作

BB1⊥CE，且

BB1

=河宽，连接

A1B1，与内河岸相交于

E1，D1.过

E1，D1作河岸的垂线段

EE1

、DD1，即为桥.1.如图，在直角坐标系中，点

A，B

的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点

C

是

y

轴上的一个动点，当△ABC

的周长最小时点

C

的坐标是（

）

A．(0，3)B．(0，2)

C．(0，1)D．(0，0)

随堂练习此时△ABC

的周长最小.然后依据点

A

与点

B′

的坐标可得到

B′E、AE

的长，证明△B′EA为等腰直角三角形，再证明△B′OC′

为等腰直角三角形即可得出答案.B′C′E答案：A解析：如图，作

B

点关于

y

轴对称点

B′，连接

AB′，交

y

轴于点

C′，2.某大学建立分校,本部与分校隔着两条平行的小河.如图,小河甲的两岸为l1,l2,且l1//l2,小河乙的两岸为l3,l4,且l3//l4，A为