人教八年级数学上册轴对称《最短路径问题》示范公开课教学课件

第13.4课题学习—最短路径问题人教版八年级数学上册学习目标1.利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．情境引入

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间,线段最短.①②③选择路线②互动新授问题1

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？BAlC考点一

将军饮马问题如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点C，使得CA+CB最小。互动新授∙∙ABl解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依据：两点之间，线段最短..C那A、B两点在直线l的同一侧呢？如何确定点C呢？∙∙ABl互动新授

你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？

如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+B′C的值最小？∙B′容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.∙∙ABlC∙互动新授你能证明这个结论吗？证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.

由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，

则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.

在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，

所以AC+BC<AC′+B′C′.

由点C′的任意性可知，AC+BC的值是最小的，故点C的位置符合要求.l∙∙AB∙B′CC′互动新授

如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是(

)A.(－2，0)

B.(4，0)

C.(2，0)

D.(0，0)C小试牛刀互动新授

问题2如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？（假定河是平行的直线，桥要与河垂直）ABab∙∙MN考点二

造桥选址问题

这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？

如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？互动新授ABab∙∙MN互动新授ABMNab（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？互动新授

（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？ABMNabA′互动新授

（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．ABMNabA′你能证明此时AM＋MN＋NB最小吗？互动新授

在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．ABMNabA′M′N′互动新授证明：在△A′N′B中，

∵A′B＜A′N′＋BN′，

∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．

∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．

即AM＋MN＋BN最小．N′ABMNabA′M′互动新授考点三

两点一线型问题∙Pl2l1如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.互动新授作法：过点P分别作关于直线l1，l2的对称点P1，P2，连接P1P2分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.∙Pl2l1P1P2NM如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.解析：通过轴对称的原理，把周长最小值转化为两点间距离最短的问题.△PMN周长的最小值为PM+MN+PN=P1P2.互动新授考点四

两点两线型问题

如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.∙Pl2l1Q∙互动新授作法：分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P1，Q1，连接P1Q1分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.∙Pl2l1Q∙P1Q1NM

如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.解析：通过轴对称把周长最小问题转化为两点间距离最短问题，四边形PMNQ的周长的最小值为PM+MN+NQ+QP=P1Q1+PQ，依据的是两点之间，线段最短.

如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请找点E的位置.ACDBE课堂检测解：如图所示，作点D关于线段AB的对称点D′，连接CD′交线段AB于点E，则点E即为所求，也就是使得EC+ED最小的位置.ACDD′BE

如图，牧童在A处放牛，家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD中点距离为600，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是多少？ACDB拓展训练ACDBEA′.解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，

∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.

∵A′C=AC=BD，

在△A′CE和△BDE中，

∠A′CE=∠BDE，

∠A′EC=∠BED，A′C=BD，

∴△A′CE≌△BDE（AAS），

∴CE=DE，A′E=BE.

∴点E是CD的中点.

∴AE=600，则AE+BE=A′E+BE=1200.拓展训练2.解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”来求线段和的最小值.1.最短路径问题的类型：(1)两点一线型的线段和最小值问题；(2)两线一点型线段和最小值问题；(3)两点两线型的线段和最小值问题；(4)造桥选址问题.课堂小结

某中学八（2）班举行文艺晚会，如图所示，OA，OB分别表示桌面，其中OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C处，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短.∙