专题2.10 有理数中的规律探究【八大题型】（举一反三）（人教版2024）（原卷版）

专题2.10有理数中的规律探究【八大题型】

【人教版2024】

【题型1数字类规律探究】....................................................................................................................................1

【题型2四则运算中的规律探究】........................................................................................................................2

【题型3乘方中的规律探究】................................................................................................................................3

【题型4周期中的规律探究】................................................................................................................................3

【题型5递进中的规律探究】................................................................................................................................4

【题型6表格中的规律探究】................................................................................................................................5

【题型7图形中的规律探究】................................................................................................................................7

【题型8新定义中的规律探究】............................................................................................................................8

【题型1数字类规律探究】

【例1】（23-24七年级·黑龙江绥化·阶段练习）观察一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，则第2024

个数是（）．

A．22024B．22024−1C．22023D．以上答案都不对

【变式1-1】（23-24七年级·陕西商洛·期末）观察下面一列数：

第1组第2组第3组第4组第5组……

(1,−1)(2,4)(3,−9)(4,16)(5,−25)

按照此规律第9组的两数之和为．

13579

【变式1-2】（23-24七年级·山东滨州·阶段练习）一组按规律排列的数−，，−，，−…第9个数

49162536

是．

【变式1-3】（23-24七年级·广西崇左·期末）如图，在各正方形中的四位数之间有一定的规律，按此规律得

出a，b的值分别为（）.

A．16,257B．16,91C．10,101D．10,161

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【题型2四则运算中的规律探究】

11111111111

【例2】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知：=1−，=−，=−，=−，…

1×222×3233×4344×545

(1)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律；

2222

(2)按照上面算式的规律计算：+++⋯+的值．

1×22×33×42017×2018

231352

【变式2-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）观察以下等式：第1个等式：−=；第2个等式−=；第3个

122263

473594

等式−=；第4个等式−=；……；按照以上规律，解决下列问题：

31244205

(1)写出第6个等式；

(2)写出你猜想的第푛个等式（用含푛的等式表示）.

【变式2-2】（23-24七年级·宁夏银川·期中）观察下列各式：

131318241153512446

1−==×；1−==×；1−==×；1−==×；…．

2242232933421644522555

1(    )(    )(    )

(1)用你发现的规律填写下列式子的结果：1−==×；

1021001010

(2)用你发现的规律计算：1−1×1−1×1−1×⋯×1−1．

223221002

【变式2-3】（2024七年级·安徽·专题练习）研究下列算式，你会发现什么规律？

1×3+1=4=22

2×4+1=9=32

3×5+1=16=42

4×6+1=25=52

…

(1)请你找出规律并计算7×9+1==()2

(2)用含有푛的式子表示上面的规律：．

(3)用找到的规律解决下面的问题：

11111

计算：(1+)(1+)(1+)(1+)…(1+)=．

1×32×43×54×69×11

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【题型3乘方中的规律探究】

【例3】（23-24七年级·山东青岛·阶段练习）如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：

如图①中：共有1个小立方体，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，1个看不见；如图③中：共

有27个小立方体，8个看不见；…，则第⑥个图中看得见的有个．

【变式3-1】（23-24七年级·江苏常州·期中）我们根据乘方运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算

对应关系的一组实例：

乘方运算21=222=423=8…31=332=932=27…

新运算log22=1log24=2log28=3…log33=1log39=2log327=3…

根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③1og464=3．其中正确的

是．

【变式3-2】（23-24七年级·河北秦皇岛·阶段练习）观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74

=2401，75=16807，76=117649，…，根据其中的规律，可得71+72+73+74⋯+72020的结果的个位

数字与71+72+73+74⋯+72022的结果的末尾数字之和是（）

A．0B．1C．6D．8

【变式3-3】（23-24七年级·四川泸州·期末）根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，푎−푏−푐的值是

（）

A．−512B．−514C．510D．512

【题型4周期中的规律探究】

【例4】（2024·北京西城·七年级期末）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个

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空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第

1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则

第2个空格所填入的数为，第37个空格所填入的数为．

37

【变式4-1】（23-24七年级·浙江·期中）从大拇指开始，按照大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指

→中指→食指→大拇指→食指……的顺序，依次数整数1，2，3，4，5，6，7，……当数到2022时，对应

的手指为；当第n次数到食指时，数到的数是（用含n的代数式表示）．

【变式4-2】（23-24七年级·安徽黄山·期中）观察算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，

36=729，37=2187，38=6561，…，通过观察，用你所发现的规律确定32023的个位数字是．

【变式4-3】（23-24七年级·河南开封·期中）如图所示，在一个电子青蛙游戏程序中，电子青蛙只能在标有

五个数字点的圆周上跳动，游戏规则：若电子青蛙，停在奇数点上，则它下次沿顺时针方向跳两个点；若

电子青蛙停在偶数点上，则它下次沿逆时针方向跳一个点．现在电子青蛙若从4这点开始跳，则经过2022

次后它停的点对应的数为（）

A．1B．2C．3D．5

【题型5递进中的规律探究】

【例5】（23-24七年级·江西赣州·期末）如图，数轴上푂，퐴两点的距离为3，一动点푃从点퐴出发，按以下

规律跳动：第1次跳动到퐴푂的中点퐴1处，第2次从퐴1跳动到퐴1푂的中点퐴2处，第3次从퐴2点跳动到퐴2푂的

中点퐴3处，按照这样的规律继续跳动到点퐴4,퐴5,퐴6,…,퐴푛（푛≥3,푛是整数）处，那么线段푂퐴푛的长度为（）

3333

A．B．C．D．

2푛−22푛−12푛2푛＋1

【变式5-1】（2024·山西太原·二模）观察图中给出的四个点阵，按照图中点的个数的变化规律，猜想第n

个点阵中点的个数为个．（用含n的代数式表示）

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【变式5-2】（23-24七年级·全国·假期作业）如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，

图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有个点．

【变式5-3】（23-24七年级·宁夏银川·期末）生物课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题组成

员把他们分别标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录，这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微

生物（依次被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，

形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录），那么标号为1000的微生物会出现在第

（）

A．第7天B．第8天C．第9天D．第10天

【题型6表格中的规律探究】

【例6】（23-24七年级·安徽芜湖·期中）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（）

A．139B．209C．109D．259

【变式6-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）把1～9这9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列

及两条对角线上的数之和都等于15，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(图1)，“洛书”

是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中푚的值为()．

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A．1B．3C．6D．9

【变式6-2】（23-24七年级·河南南阳·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干

支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，

每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方

法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为

例：天干为：(2022−3)÷10=201⋯⋯9；地支为：(2022−3)÷12=168⋯⋯3；对照天干地支表得出，2022

年为农历壬寅年．

123456789101112

天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

请你依据上述规律推断2024年为农历年．

【变式6-3】（23-24七年级·湖北黄冈·期中）用火柴棒按如图的方式搭图形．

图形标号①②③④⑤…

火柴棒根数5913____________…

(1)按图示规律完成表格

(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？

(3)搭第2024个图形需要多少根火柴棒？

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【题型7图形中的规律探究】

1

【例7】（23-24七年级·山东潍坊·期中）如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式+

2

23478

11111

+++…++再加上（）后，结果就是1．

22222

1111

A．B．C．D．

25262728

【变式7-1】（23-24七年级·山西临汾·期中）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4

个图形中字母“H”的个数是．

【变式7-2】（23-24七年级·浙江金华·期末）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第10个

图形中正方形的个数是……（）

A．110B．330C．440D．572

【变式7-3】（23-24七年级·山西晋中·期中）阅读与探索：

问题情境：

通过学习“探索与表达规律”让我们感受到：发现数学中的规律是一件十分有趣的事情．用简洁的语言表达变

化规律应该从简单入手，经过熟悉、认知、思考、总结，从而发现规律．请你用自己学到的方法探索并表

第7页共9页.

达下列规律：

（1）如图，搭1个小正方形需要4根火柴棒，搭2个小正方形需要7根火柴棒，搭3个小正方形需要10

根火柴棒……，如果用푛表示所搭正方形的个数，那么搭푛个这样的小正方形需要__________根火柴棒（用푛

的代数式表示）．

类比探索：

（2）如图，是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第푛个图案需要__________根火柴棒（用

푛的代数式表示）．

（3）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小

等边三角形围成2个小菱形，．．．．．．．若按此规律拼下去，则第푛个图案需要火柴棍的根数为__________

（用含푛的式子表示）．

拓展应用：

（4）观察并找出图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是__________个．

【题型8新定义中的规律探究】

【例8】（23-24七年级·江苏苏州·期末）定义一种关于整数푛的“퐻”运算：（1）当푛是奇数时，结果为

푛푛

，（）当为偶数时，结果为（其中是正整数，且使得为奇数）；并且运算重复进行．例如：

3푛+52푛2푘푘2푘푛=12

时，第一次经“퐻”运算的结果是3，第二次经“퐻”运算的结果是14，第三次经“퐻”运算的结果是7，第四次经

“퐻”运算的结果是26……．若푛=58，则第2024次经“퐻”运算的结果是（）

A．29B．92C．23D．74

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3×25×4×36×5×4×3

【变式8-1】（23-24七年级·广西钦州·期末）已知퐶2==3，퐶3==10，퐶4==15，⋯，

31×2