高等数学课后习题及答案(共11单元)06常微分方程

第六章常微分方程

习题6-1

1.在下列方程中，找出微分方程,并指出其阶数:

(1)W=ylny；(2)2x3+3y2+xy=l

(3)y〃+3y'+4)，=0；(4)yn-3yr+2y=x.

答案：

(1)是微分方程，一阶.

注该方程含有未知函数的导数，且未知函数导数的最高阶数为一阶.

(2)不是微分方程.

注该方程不含未知函数的导数.

(3)是微分方程，二阶.

注该方程含有未知函数的导数，且未知函数导数的最高阶数为二阶.

(4)是微分方程，二阶.

注该方程含有未知函数的导数，且未知函数导数的最高阶数为二阶.

2.下列各题中，所给函数是否为所给微分方程的解？如果是，是通解还是特解？(其

中均为任意常数)

(1)xy'=2y,y=5x2；(2)y1+y=e~x,y=ex(x+C)

(3)/=x2+/,y=—；

x

3x

(4)y〃-4y+3y=0,y=Cg+C2e.

答案：

(1)是解，特解.

注将＞=5/代入孙，=2＞满足方程，且不含任意常数，故为特解.

(2)不是解.

注将y=e'(x+C)代入y'+y=eT,不满足方程，故不是解.

(3)不是解.

注将y=2■代入y"=/+y2,不满足方程，故不是解.

X

(4)是解，通解.

注该方程为二阶微分方程，将丁=。|/+。26“代入y〃—4y'+3y=0,满足方程,

且含有两个相互独立的任意常数，故为通解.

3.求下列微分方程的通解.：

(1)y=3x2；(2)y+^r=o；

i

(3)yn=sinx；(4)ym=6x.

答案：

⑴y=3x2

解将方程两边积分，得方程的通解为

y=x3+C.

(2)y1+xex=0

解方程变形得

y'=-xex,

将上式两边积分，得原方程通解为

y=e'(l-x)+C.

(3)yn=sinx

解将方程两边积分得

/=-cosx+C),

将上式两边积分，得原方程通解为

y=-sinx+C]X4-C2.

(4)ym=6x

解将方程两边积分得

/=3X2+C,,

将上式两边积分得

y'=丁+G%+C2,

将上式两边积分，得原方程通解为

y=-x4+—C|X~+C?x+G,

习题6-2

1.解下列微分方程：

⑴W=ylny；(2)—=ysinx；

dx

⑶y'-xy2=xi(4)sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0；

⑸W=y,yL=2；(6)y』2rL=0；

2

y।7i

(7)——=yiny,y*=e；(8)cosxsinydy=cosysinxdx,y\=—.

sinxx=3g。4

答案：

(1)xy'=yIny

解分离变量，得

--------dy=-dx，

yinyx

两边积分为

—Jy=[-dx

yInyJx

InIny=Inx+liiC

\ny=Cx

即通解为

答ysinx

解分离变量，得

—dy=sinxdx,

y

两边积分为

\—dy=[sinAtZr

Iny=-cosx+C1

令C=T、得原方程通解为

y=Ce-cosx

(3)/-xy2=x

解分离变量，得

dy=xdx,

l+y2

3

两边积分为

解得原方程通解为

12「

arctany=—A+C.

(4)sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0

解分离变量，得

sec2y.sec2x.

-------ay=----------dx,

tanytanx

两边积分为

22

[0力=」£公

JtanyJtanx

Intany=-lntanx+lnC

tany=C(tanx)-1，

得原方程通解为

tanxtany=C.

⑸孙，=%九=2

解将方程分离变量然后积分，得

Iny=Inx+lnC，

即得通解为

y=Cx,

将y|i=2代入上式，得C=2,故所求特解为

y=2x.

⑹少'「儿旬=0

解将方程分离变量然后积分，得

\eydy=\e2xdx.

4

即得通解为

将丸=0=0代入上式，得C=；，故所求特解为

2

y，

⑺~^=yh\y,y*=e

sinxx=-

解将方程分离变量然后积分，得

「dy=\sinxdx，

Jyiny

即得通解为

InInj^-cosx+C,

将y肝二e代入上式，得C=0,故所求特解为

x=­

InIny=-cosx.

n

(8)cosxsinydy=cosysinxdx,儿力

4

解将方程分离变量然后积分，得

!\anydy=Jtanxdx

-Incosy=-Incosx-InC，

即得通解为

cosy=Ccos^,

将y|i=三代入上式，得。=一，故所求特解为

42

V2

cosy=—^-cosx.

2.（环境污染问题）某水塘的体积为V,在某一时刻发现该水塘含有10%的有害物质，

立刻排除污染源并采取治污措施。假设采取措施后，水塘中有害物质的减少率与有害物质的

总量成正比，且与水塘的体积成反比，5天后测得有害物质的含量为5%,求99%的有害物质

被排除所需要的时间.

解设在采取措施7天时，有害物质的含量为y,有害物质含量与时间的函数关系为

y=y(0•

5

根据题意得y'=Ay，2为待定系数，且满足初始条件切力曰期丫，M=s=5%v-

解微分方程

7

vb

<XO)=O.lv,解得lny=±，+C

y(5)=0.05v

代入初始条件1=0,)，=0.“得：C=lnO.lu

k-in?

代入初始条件，=5,y=0.05v得：ln0.05v=-x5+ln0.1v,所以攵=」^vn-0.139V

v5

故有害物质含量与时间函数关系为In)，=-0.139r-ln0.lv,

把y=10%vx(l—99%)=0.00W代入上式，得In0.00lv=-0.139r+ln0.1v,

求解得r«33.1,因此99%的有害物质被排除所需要的时间为34天.

3.请求出本节引例中/时刻得病人数x(f)随时间，变化的函数关系，并分析如果不采取任何

措施，将会出现什么样的结果.

解引例为微分方程］=p(N-x),初始条件为用

对上述微分方程分离变量然后积分，得［—!—dx=［dt,

Jp(N-x)J

求解得通解为x=N—Ce-",将闻=。=两代入，求得特解为x=N-(N-%)e-m,

p,

即得/时刻得病人数x(t)随时间t变化的函数关系x=N-(N-x0)e~,当t趋于无穷大时

不采取任何措施，最终所有人都将被感染得病.

习题6-3

1.求下列微分方程的通解:

(1)y'+4y=-5；(2)/+y=cosx；

(3)(x2+l)y+2^=4x2：⑷孙'-d=y；

(5)yn=y+x.

答案：

(1)yf+4y=-5

解这是一阶线性非齐次微分方程，P(x)=4,Q(x)=-5,代入通解公式，得

6

dx+C

=e~4x(-e4x+C)

4

所以，原方程的通解为

y=--+Ce~4x.

-4

(2)yr+y=cosx

解这是一阶线性非齐次微分方程,P(x)=l,2(x)=cosx,代入通解公式，得

y=e"'(fcosxe/％

k+C)

=(JcosxC+C)

=e~x^ex(cosx+sinx)+C

=(sinx+cosx)+Ce~x,

所以，原方程的通解为

y=；(sinx+cosx)+Ce~x.

(3)(x2+])yf+2xy=4x2

解方程变形得

,2x4x2

y+i>=2J

2X+1X+1

4x2

该方程为一阶线性非齐次微分方程，P(x)=-^-，。⑶代入通解公式，得

厂+1

y=ex'+i([f—er+,dx+C)

Jx~+1

=/M+D((•+C)

JX+1

=^—(f4x2dv+c)

X+1J

7

="(p+c)

x+13

4-C4X3+3C

-3(X2+1)X2+1-3(X2+1)>

所以，原方程的通解为

41+3C

y=•

3(x2+l)

(4)

解方程变形得

,12

y一一，

X

该方程为一阶线性非齐次微分方程，尸(%)=-',。(幻=代入通解公式，得

X

y=』'"(j/eJ.S公+C)

=x(^xdx-\-C)

=—x3+Cx,

2

所以，原方程的通解为

y=-x3+Cx.

⑸y=y+x

解方程变形得

/-y=x,

令了=〃，则y"二p1原方程可化为

P,-P=x,

其中P(无)=一1,。(%)=%，代入通解公式，得

p=：”\Zr+C)

=ex^xe-xdx+C)

=-x-1+Ce”,

对y=〃=[r-l+CF求积分，得

8

y=j(-x-l+Cex)dx

——~X2-X++C*2»

所以，原方程的通解为

1、

y=~—x~-x+Cc”+C?.

2.求下列微分方程满足初始条件的特解：

⑴2y'+y=3,yLo=O：(2)孙'一丁=2,乂日=3；

(3)W+y=/,咒=[=e+2；(4)yf-ytanx=secx,y\=0；

⑸母"+y=o,)k=2,=i.

答案：

⑴2y'+y=3,yLo=°

解原方程可化为

,13

y+—y=—,

22

利用一•阶线性非齐次微分方程的通解公式，得方程的通解为

-f-drf3-f-rfr

),二〃2(J|ej2dx+C)

=/r(j|Zdr+C)

=3+C/r,

将y|i）=o代入上式，得c=—3,于是所求特解为

y=3-3e,二

（2）孙一丁二义儿:小？

解原方程可化为

，12

y一尸一，

XX

利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得方程的通解为

j'drp2-f-dr

y=eix(J—exdx+C)

x

x(j—d^+C)

9

=—2+Cx,

将y|i=3代入上式，得C=5,于是所求特解为

y=-2+5x.

(3)xy'+y=ex,尢1=e+2

解原方程可化为

y,+1—y=—1QX,

xx

利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得方程的通解为

y=，么(/1/3,%+C)

=-(\exdx-C)

X

1c

=—er+一,

xx

将y|i=e+2代入上式，得C=2,于是所求特解为

y=-ex+-=-(ex+2).

XXX

(4)y-ytanx=secx,y|v=0=0

解利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得方程的通解为

y=C)

=e-,ncoSA(jsec^,ncosxdx+C)

=-^—(x+C),

cosx

将yko=O代入上式，得C=0,于是所求特解为

X

y=

COSX

⑸冲"+y=o，Mi=2,)，1i=i

解令了=〃，则y"=p’,原方程可化为

xp'+〃=0,

变形得

，1

p+—p=0n,

x

10

利用一阶线性齐次微分方程的通解公式，得方程的通解为

对y'=p=6求积分,

得

x

1—dr=C1Inx+C»

y2

将ME=1，HE=2分别代入，得G=1，G=2,于是所求特解为

y=\nx+2.

3.（降落伞下降问题）假设降落伞张开后，所受空气阻力与降落伞的下降速度成正比,

且张开时的速度为0,求降落伞的下降速度与时间的函数关系.

解设下降速度与时间函数关系为口=贝力，

由导数的物理意义得M=a,。为加速度.

根据牛顿力学公式/=加々，可得

mg-kv=mv,,左为待定系数，

且满足初始条件为“-=（）.

将以上微分方程变形为

,k

v+——v=g,

in

利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得方程的通解为

平力r仔力

v=e（Ige3mdt+C）

=超+屋，

k

将山=o=O代入上式，得C=_鳖,

k

所以，降落伞下降速度与时间的函数关系为

kf

方旭（7）.

k

4.（RL电路问题）在一个含有电阻R（单位：C）、电感L（单位："）和电源E（单

位：V）的RL串联回路中，由回路电流定律，电流/（单位：4）满足微分方程

dlRtE

dtLL

若电路中电源E=3sin2f（V）,电阻R=10C,电感L=0.5”,且初始电流为6A,求电

路中任意时刻的电流.

11

解将E=3sin2«Y),R=10C,L=0.5”代入微分方程得

/'+20/=6sin2r,

利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得方程的通解为

I=eJ""(j6sin2tJ°“dt+C)

=^20r(6jsin2^2(,r^+C)

20z20/20t

=e-(—sin2te--cos2re+C)，

101101

将/|T=6代入上式，得。="，

1鹏101

故/=e-^C—sin2te2Otcos2re20/+—)，

101101101

所以电路中任意时刻的电流为

3

/=—(10sin2r-cos2r+203e-20z).

101

习题6-4

1.求下列微分方程的通解:

(1)y〃+y'—2y=0；(2)/-4/=0；

(3)y"-2y'+y=0：(4)y"+y=0；

(5)y〃-4y'+5y=0

答案：

(1)y+y-2j=o

解微分方程的特征方程为

r+r-2=0,

特征根为

4=1,弓二一2,

所以，微分方程的通解为

x2x

y=C1e+C2e~.

(2)y-4/=0

解微分方程的特征方程为

r2-4r=0,

特征根为

12

4=0,弓=4,

所以，微分方程的通解为

4x

y=Ci+C2e.

⑶y〃-2y'+y=0

解微分方程的特征方程为

r2-2r+l=0,

特征根为

耳=与=1,

所以，微分方程的通解为

x

y=(G+C2x)e.

(4)y"+y=0

解微分方程的特征方程为

产+1=0,

特征根为

所以，微分方程的通解为

y=Gcosx+sinx.

(5)/-4/+5y=0

解微分方程的特征方程为

2

r-4r+5=0,

特征根为

42=2±i,

所以，微分方程的通解为

y=e2'(Gcosx+C2sinx).

2.求下列微分方程满足初始条件的特解：

⑴y〃+4了+3y=0,必=6,y|t=o=10；

⑵<+2了+3)=0,乂曰=1,/|内=5；

⑶y〃-10y+25y=04=1,^^=。

13

答案：

⑴y〃+4了+3y=0,y|…=6,了[7=10

解微分方程的特征方程为

r2+4r+3=0,

特征根为

f]=一"=一3，

所以，微分方程的通解为

x3x

y=C,e-+C2e~,

故3c2*3、

将乂D=6,>Lo=10代入以上两式，得G=14，G=-8，

故所求的特解为

y=l4e~x-Se~3t.

⑵y〃+2y，+3y=0,出句=1,7|1二5

解微分方程的特征方程为

r2+2r+3=0,

特征根为

r2=—1±V2z»

所以，微分方程的通解为

r

y=e-(C]cosV2x+C2sinV2x),

将y|i)=i代入上式，得G=i，于是

x

y'=e~(y[2C2cosV2x-cos-C2sin-V2sinV2x),

再将)(9=5代入上式，得。2=3行，

故所求的特解为

y=e~x(cos41x+3后sinV2x).

⑶y-ioy+25>-o,y|x=()=i,y|^=o

解微分方程的特征方程为

r2-10r+25=0,

14

特征根为

q=G=5,

所以，微分方程的通解为

5x

y=(G+C2x)e,

故y'=(5G+G+5Gx)*,

将乂1)=1，31=0=°代入上式，得G=i，G=-5，

故所求的特解为

y=(l-5x)e5r.

3.质量为1g的小球用弹簧固定，放置于水平光滑的滑槽内，弹簧的另一端固定，将小

球向右拉至距离平衡位置5cm,然后放开，小球开始在平衡位置附近左右运动.在运动过

程中，小球所受阻力与速度成正比(设比例系数为5),弹簧恢究力与位移s成正比(比例

系数为4),求小球的运动规律.

解小球的运动规律可以表达为位移与时间的函数关系，即s=s«),

根据导数的物理意义可知，速度为》=£'"),加速度为a=S〃(1),

据题意可知，品=-5u=-5s',4=-4s,根据牛顿运动公式尸二”,

可得与y+%=ma,即

-5s'-4s=sH,

该方程变形为

s"+5s'+4s=0,

解该二阶常系数线性齐次微分方程，得通解为

,

s=C[e~+C2e^f

20S

根据初始条件4力=5,s(力=0可求得G=y,C2=-1,

所以，小球的运动规律为

,20/5用

s=­e—e.

33

习题6-5

1.解下列微分方程：

(1)yH+yr-2y=3xex；(2)y"-3yr+2y=e2xsinx；

(3)yn-2y'-3y=e4x；(4)y"+y=4xe'；

15

(5)y"+y=4sinx；(6)-4y'+Sy=x2ex；

(7)y"-3y'+2y=e~x+ex；(8)yn-4yf+4y=ex+sinJ.

答案：

(1)yH+y,-2y=3xex

解相应齐次方程的特征方程为

产+―2=0,

特征根为4=1,弓=一2,故齐次方程的通解为

x2x

Y=C.e+C2e~,

因为4=1是特征单根，故令7=x(Ar+B)，是原方程的一个特解，则

歹=(加2+2阻+&+3)/,

V=(Ax2+4Ax+Bx+2A+2B)ex,

代入原方程并整理得

6Ax+3B+2X=3x,

解得A=',8=-J,从而

23

—/121vr

y=(2x'

所以，原方程的通解为

x2x2x

y=C[e+C2e~+(^xx)e.

(2)yH-3yr+2y=e2xsinx

解相应齐次方程的特征方程为

r2-3r+2=0,

特征根为4=1,0=2,故齐次方程的通解为

xx

Y=C,e+C2e,

因为4=2±i不是特征根，故令9=e2%Acosx+Bsinx)是原方程的一个特解，则

yf=e2x[(2A+B)cosx+(2B-A)sinx],

yH=e2x\(3A+4B)cosx+(3B-4A)sinx],

16

代入原方程并整理得

(B-A)cosx-^(-A-B)s\nx=sinx,

解得A=-L,B=-L,从而

22

y=e2v(--cosx--isinx),

所以，原方程的通解为

x2x

y=Cte+C262r__(cosx+sinx)e.

⑶)，〃一29—3y=/'

解相应齐次方程的特征方程为

，一2—3=0,

特征根为4=-1,弓=3,故齐次方程的通解为

xx

Y=Cxe-+C^,

因为4=4不是特征根，故令》=Ae4x是原方程的一个特解，则

4x

Y=4Aef歹=16A*,

代入原方程并整理得

5A=1,EPA=-,从而

所以，原方程的通解为

y=C.e-x+C/x+-e4x.

(4)yH+y=4xex

解相应齐次方程的特征方程为

r24-1=0,

特征根为/=±，，故齐次方程的通解为

丫=Gcosx+Gsinx，

因为几=1不是特征根，故令了=(Ar+8)e'是原方程的一个特解，则

yn=(Ax+2A+B)el,

17

代入原方程并整理得

2Ax+2A+2B=4x,

解得4=2,8=-2,从而

x

y=(2x-2)ef

所以，原方程的通解为

A

y=Gcosx+C2sinx+2(x-l)^.

(5)y"+y=4sinx

解相应齐次方程的特征方程为

产+1=0,

特征根为飞=士'，故齐次方程的通解为

y=Gcosx+C2sinx,

因为;l±d=±i是特征根，故令》=x(Acosx+Bsinx)是原方程的一个特解，则

yn=(-Ax+2R)cosx+(-Bx-2A)sinx,

代入原方程并整理得

2Bcosx-2Asinx=4sinx，

解得A=-2,B=0,从而

y=-2xcosx.

所以，原方程的通解为

y=C)cosx+C2sinx-2xcosx.

(6)y"-4y+8y=x2ex

解相应齐次方程的特征方程为

r2-4r+8=0,

特征根为七=2±2晨故齐次方程的通解为

2r

Y=e(C]cos2x+C2sin2x),

因为4=1不是特征根，故令夕=(42+&+。)/是原方程的一个特解，则

2x

Y=(Ax+2Ax+Bx+B+C)et

18

7=(Ar2+4Ar+B^+2A+2B+C)^\

代入原方程并整理得

5AX2+(5B-4A)X+(5C-28+2A)=f,

142

解得A=L,8=—,C=一二，从而

525125

广卷(25f+20x—2)/,

所以，原方程的通解为

2x

y=/NGcos2x+C2sin2x)+(25x+20x-2)e.

(7)yH-3y+2y=e~x+ex

解相应齐次方程的特征方程为

r2-3r+2=0,

特征根为4=1,弓=2,故齐次方程的通解为

xx

Y=C.e+C2e^.

下面，求y〃-3)，'+2y=eT的一个特解

因为4=—1不是特征根，故令工=4"、是方程的一个特解，则

xx

y；=-Ae-ty；=Ae-f

代入方程并整理，解得A=,，从而方程得一个特解为

6

一1.X

%=才•

O

接下来，求y"-3y'+2y=«'的一个特解区.

因为4=1是特征单根，故令％=&/是方程的一个特解，则

xx

月=(Bx+B)ety^=(Bx+2B)e,

代入方程并整理，解得8=-1,从而方程得一个特解为

x

y2=-xe.

故原方程得一个特解为

1—rr

y=—e-xe.

6

所以，原方程的通解为

19

x

y=CyC+C2*+ke'~x。'

(8)y"-4y'+4y=ex+sinx

解相应齐次方程的特征方程为

2

r-4r+4=0,

特征根为q=弓=2,故齐次方程的通解为

2x

Y=(C,+C2x)e.

下面，求y〃-4)，'+4y=e"勺一个特解见

因为4=1不是特征根，故令%=A/是方程的一个特解，则

y；=Aex,y；=Aex,

代入方程并整理，解得4=1,从而方程得一个特解为

接下来，求y〃-4丁'+4丁=$山工的一个特解区.

因为;1±加=±;不是特征根，故令%=8cosx+Csinx是方程的一个特解，则

y'2=Ccosx-Bsinx,=-Bcosx-Csinx,

43

代入方程并整理，解得5=一,C=±,从而方程得一个特解为

2525

_43

%=—cosx+—sinx.

22525

故原方程得一个特解为

43

+—COSX+——sinA-

25

所以，原方程的通解为

xx43

y=(G+C2x)e~+e+—cosx+—sinx

2.一质量为〃，的物体从水面由静止开始下降，假设物体所受阻力与其下降速度成正比

(比例系数为k),求物体下降深度力与时间，的函数关系.

解设物体下降深度人与时间，的函数关系为〃=/?(/),

由导数的物理意义可知，下降速度为□="«),加速度为。=/?〃«),

据题意可■知，F^=kv=kh\G=mg,

20

根据牛顿运动公式F=ma,可得G-弓且="以，即mg-kh'=mhn,

该方程变形为

mhn+kh'=mg,

解该方程为二阶常系数线性非齐次微分方程，得通解为

h=Cl+C2e^,

22

根据初始条件4.=0，〃1』=0可求得G=—$g，G=*g，

KK

所以，物体下降深度〃与时间f的函数关系为

,m2m2--k,mg

复习题六

1.判断题：

(1)函数y=3sinx+4cosx是微分方程y"+y=0的一个特解；()

(2)半=3孙+y是可分离变量的微分方程；()

ax

(3)函数y=5f是微分方程孙，=2)的一个特解；()

(4)方程肛'+2y=x是一阶线性微分方程.()

答案：

(1)V；

注将y=3sinx+4cosx代入y〃+y=0,满足方程，且不含任意常数，故为特解.

⑵V；

注方程半=3盯+y可变形为电=(3x+l)①:，故是可分离变量微分方程.

axy

(3)J；

注将y=5f代入孙，=2y,满足方程，且不含任意常数，故为特解.

(4)J.

2

注方程孙'+2y=x可变形为y'+—y=l,故为一阶线性微分方程.

x

2.填空题：

(1)微分方程半=2肛的通解是___________________；

dx

21

(2)微分方程(1+f)y一y=o满足此力=］的特解毡；

(3)方程y〃—3y'+Uy=0的通解是y=e〃G()+C2()］；

4

(4)方程y"-2y'—3y=/，的通解是〉=。2'+。2/，+()；

(5)方程y"-2y'+y=4cosx的通解是y=G，+.

答案：

⑴y=C5；

注分离变量，得

—dy=Ixdx，

y

两边积分为

dy=^2xdx

Iny=x2+InC

、，八『Tine

y—e,

即通解为

y=Cex\

(2)y=earcunr；

注原方程可化为

y'_7~^y=o，

利用••阶线性齐次微分方程的通解公式，得方程的通解为

必

y=Ce}+x

aTCtanx

—(je

将Hz=i代入上式，得c=i,于是所求特解为

(3)cosx,sinx；

注微分方程的特征方程为

22

尸"=0,

特征根为

3*.

七=耳±八

所以，微分方程的通解为

耳

2

y=e(C,cosx+C2sinx).

⑷

5

注相应齐次方程的特征方程为

特征根为4=-1,弓=3,故齐次方程的通解为

x3x

Y=C,e~-i-C2ef

因为丸=4不是特征根，故令》二A/，是原方程的一个特解，则

yf=4Ae4\了"=16A/0

代入原方程并整理得

5A=\,即A=1,从而

5

_14x

y=­e,

5

所以，原方程的通解为

x3x4x

y=Cle-+C2e+^e.

(5)-2sinx.

注相应齐次方程的特征方程为

r2-2r+l=0,

特征根为4=々=1,故齐次方程的通解为

xx

Y=Cxe+C2xe,

因为；I土加=±/不是特征根，故令y=Acosx+3sinx是原方程的一个特解，则

y=Bcosx-Asinx,yn=-Acosx-Bsinx,

代入原方程并整理得

-2Bcosx+2Asinx=4cosx,

解得A=0,B=-2,从而

23

y=-2sinx,

所以，原方程的通解为

xx

y=Cxe+C2xe-2smx.

3.选择题：

(1)微分方程孙'=2y的通解是()；

A.y=5x2；B.y=x2-I-1；C.y=x24-C；D.y=Cx2.

⑵方程孙'-y=V的通解是()；

I_____

24z

A.y[y[\+y)=Cr；B.y=Cxy]y+1；

C.yy]y2+1=Cx2；D.y=yj\+x2+C.

(3)微分方程xy'+y=y2满足乂小二^的特解是(

);

A.(l+x)y=1；B.(3-x)y=1；C.2xy=1；D.(l+x2)y=1.

(4)方程y"—4y'=0的特征根是()；

A./j=1,5=4；B.=0,为=4；C.{=1,“=(；D.-2,4=4.

(5)方程y〃-2y'+y=0的特征根是()；

A.(=&=1；B.4=1,为=2；C./j==0；D.=1,^=3.

(6)方程y"—4y'+5y=0口勺特征根是().

A.4二=2±i；B.{=1,弓=3：C.ri2=2±2/：D.r\2=l±z.

答案：

⑴D；

注分离变量，得

1,1

——ay=—aJx,

2yx

两边积分为

[——dy=\—dx

J2y.Jx

—In)?=Inx+lnC

24

y=Cx2，

即通解为

y=Cx2.

⑵B；

注分离变量，得

―：-----dy=—dx,

两边积分为

\^-dy=\-dx

Jy+yJx

\y^~y~dy=\-dx

Jy+yJx

\^T^-dy-\^—dy=\-dx

Jy+yJy+yJx

\-dy--\-^—dy=\—dx

Jy2J/+1Jx

Iny——ln(y2+1)=Inx+lnC

Jr+1

即通解为

y=Cx^jy2+

⑶A；

注分离变量，得

11

—z-----aJy=—dJx,

y-yx

两边积分为

-dy=\—dx

Jy2-y'Jx

25

ln(y_l)_lny=lnx+lnC

y-1_

-Crx9

y

将y|i=」代入上式，得C=—l,故特解为

^-=xf即(l+x)y=l.

y

(4)B；

注该二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程为

r2-4r=0,

解得4=0,0=4,故特征根为

4=0,&=4.

⑸A；

注该二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程为

r2-2r+l=0,

解得4=4=1,故特征根为

「弓=1.

(6)A.

注该二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程为

r2-4r+5=0,

解得耳2=2±"故特征根为

%二2土"

4.求微分方程的通解：

ds

(1)e-5(l---)=1；(2)/-y=sinx：

dt

(3)y'-6y=e3x；(4)yn-yr-2y=x2；

(5)yn-4/+