天津市红桥区2023-2024学年八上期末数学试题（解析版）

八年级数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页。答卷前，请你务必将自己的姓名、准考证号、学校、班级填写在“答题卡”上。答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效。考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回。第Ⅰ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若分式有意义，则该分式中的字母x满足的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件．熟练掌握分式有意义分母不为0是解题的关键．由题意知，，计算求解即可．【详解】解：∵分式有意义，∴，解得，，故选：C．2.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意，选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意，故选：B．3.下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可．【详解】A.，不符合题意；B.，不符合题意；C.，不符合题意；D.，符合题意，故选D．【点睛】本题考查了是否构成三角形，熟练掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．4.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘除法、积的乘方等知识．根据同底数幂的乘除法、积的乘方法则逐一解答．【详解】解：A、，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；C、，故本选项不符合题意；D、，故本选项符合题意；故选：D．5.如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为，的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（）A.两边及其夹角分别相等两个三角形全等B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C.三边分别相等的两个三角形全等D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【答案】A【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据中点得到，再根据对顶角相等，得到，即可．【详解】解：由题意，得：，∴，∴；∴理论依据是：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；故选A．6.计算的结果是（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查分式的加减，根据分式的加减法法则计算即可．【详解】．故选：A．7.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项、平方差公式对每个选项进行计算判断即可；本题考查合并同类项和平方差公式在整式计算中的应用，掌握规则和方法是关键．【详解】A.，错误，不符题意；B，错误，不符合题意；C.，错误，不符题意；D.，正确，符合题意故选：D8.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查完全平方公式计算．根据公式“”逐一对选项进行计算即可得到本题答案．【详解】解：，故A选项计算错误；，故B选项计算正确；，故C选项计算错误；，故D选项计算错误；故选：B．9.把多项式分解因式，其结果是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了分解因式．利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：，故选：B．10.分式方程的解是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键．先去分母化成整式方程，解整式方程，然后检验即可．【详解】解：，，，，解得，，经经验，是原分式方程的解，故选：C．11.阅读以下作图步骤：①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）A.且 B.且C.且 D.且【答案】A【解析】【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．详解】解：由作图过程可得：，∵，∴．∴．∴A选项符合题意；不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；不能确定,故C选项不符合题意，不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．12.如图，在锐角三角形中，，点，分别在边，上，连接，．有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中，正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理．由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到，即可判断①；证明可得，即可判断②；证明，可得，即可判断③；证明，即可判断④．【详解】解：∵，∴，∵若，，∴与满足“”的关系，无法证明全等，因此无法得出，故①错误；∵若，∴，在和中，，∴，∴，故②正确；若，则，在和中，，∴，∴，∵，∴，故③正确；若，则在和中，，∴，∴，故④正确；故选：C．第Ⅱ卷注意事项：用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题纸”上（作图可用2B铅笔）。二、填空题．13.计算的结果等于________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案．【详解】解：，故答案为：．14.将多项式分解因式的结果等于________．【答案】【解析】【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：．故答案为：．15.如图，在中，垂直平分线交于点，交于点．若，，则的长是________．【答案】【解析】【分析】本题考查垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键；根据线段垂直平分线的性质可得出，根据等角对等边得出，利用等量代换即可得答案．【详解】解：∵的垂直平分线交于点，交于点，∴，∵，∴，∵，∴．故答案为：．16.分式方程的解为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了解分式方程．方程两边同时乘以得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：方程两边同时乘以得，，解得：，检验：当时，，∴是方程的解．故答案为：．17.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题，熟练掌握定理是解题的关键．【详解】多边形的外角和是，多边形的内角和是外角和的2倍，它的内角和是，设这个多边形的边数为，根据题意得，．故答案为：．18.如图，在中，，，．（1）的面积等于________；（2）为的中点，是上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点；并简要说明点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）【答案】（1）6（2）见解析【解析】【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、作图与基本作图等知识点，解此题的关键是根据轴对称的性质找出P点．（1）利用三角形的面积公式求解即可；（2）作点关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值．【小问1详解】解：∵，，，∴，故答案为：6；【小问2详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值．∵点和点关于的对称，∴，根据两点之间线段的长度最短知，的最小值为的长．三、解答题（解答应写出文字说明、演算步程或推理过程）19.在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，．若与关于x轴对称，点A，B，C的对应点分别为，，．请在图中作出，并写出点，，的坐标．【答案】作图见解析，，，【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，先根据关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数求出A、B、C对应点，，的坐标，再描出，，，顺次连接，，即可得到．【详解】如图，为所求．∵与关于x轴对称，且，，，∴，，．20.如图，，，．求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先由平行线的性质得到，再证明得到，即可证明，熟练掌握平行线的判定与性质以及三角形全等的判定与性质是解此题的关键．【详解】证明：∵，∴，∵，∴，即，又∵，∴，∴，∴．21.先化简，再求值：（1），其中，；（2），其中．【答案】21.22.【解析】【分析】（1）先提取公因式，合并同类项，代入未知数的取值即可；（2）括号里面先通分，再和括号外的分式约分化简，代入m的取值即可．本题考查整式、分式的计算，掌握运算法则和计算方法是本题关键．【小问1详解】解：；代入，得：；故答案为：；【小问2详解】；当时：；故答案为：．22.如图，在中，，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与，分别交于点，，连接，．（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质；（1）由角平分线定义得出．由作图知：．由可证明，即可得证；（2）由作图知：．得出，由等腰三角形的性质求出，则可得出答案．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．【小问1详解】解：证明：是的角平分线，．由作图知：．在和中，，，【小问2详解】，为的角平分线，，由作图知：．，，，为的角平分线，．．23.为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？（2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？【答案】（1）A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元（2）共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少．【解析】【分析】（1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解；（2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解【小问1详解】解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得：,解得，经检验：是原分式方程的解，，答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元；【小问2详解】解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得：，解得，∵须为非负整数，∴可取，，，∴共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元），∵∴方案三总费用最少．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．24.在和中，，，，连接，．【发现问题】（1）如图①，若，延长交于点，则与的数量关系是________，的度数为________．【类比探究】（2）如图②，若，延长，相交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图③，若，且点，，在同一条直线上，过点作，垂足为点，请猜想，，之间的数量关系，并说明理由．【答