第15讲 利用导数研究函数的零点问题(提升训练)(解析版)-2022年新高考数学一轮基础考点专题训练

第15讲利用导数研究函数的零点问题

【提升训练】

一、单选题

1.若函数/(不)=,72一3/一机在区间［-2,6］有三个不同的零点，则实数加的取值范围是()

A.(-9,18)B.［匐。/D.卜|，18)

【答案】B

【分析】

利用导数可求得了(X)在［-2,6］上的单调性、极值和最值，由零点个数可确定了(X)大致图象，由此可得不

等关系，解不等式可求得结果.

【详解】

v/'(x)=x2-2x-3=(x+l)(x-3),

.•.当x«-2,—l)U(3,6］时，/z(x)>0；当”£(-1,3)时,/r(x)<0；

.・"⑴在(3,6］上单调递增，在(-1,3)上单调递减,

75

又〃-2)=-§一根，/(-l)=--/n,/⑶=一9一加，/(6)=18-/n,

则/(%)在区间［-2,可有三个不同的零点，则其大致图象如下图所示:

252525、

/.----m<0<——机，解得：——<m<—,即实数机的取值范围为

33335a

故选：B.

【点睛】

方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后

将问题转化为函数图象与X轴的交点问题；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)分离变量法：由〃x)=0分离变量得出〃=g(x),将问题等价转化为直线y=〃与函数y=g(x)的

图象的交点问题.

2.若函数/*)=4靖一1111—x—。存在零点，则。的取值范围为()

A.(0,1)B.[l,+oo]C.[-.e]D.P,e]

ee

【答案】B

【分析】

函数『(汇)一次'一1。内一工一。存在零点，即旄、=lnx+x+〃有根，构造同构的形式，利用换元法转化为

〃="一人利用导数研究函数y=——/QGR)的值域即可.

【详解】

方法一：

函数=M'-存在零点，即x/=lnx+x+a有根•

因为■=,所以**+*=Inx+%十°有根.

设，=lnx+x,则/=，+〃，即。=d-r(f£R)

令y=/_/QwR),则y=/_i,

当x〉0时，/>0,所以y=d—f在(0,+8)上单增；

当x<0时，/<0,所以y=d-f在(-oo,0)上单减；

所以当第=0时，歹有最小值1.

要使&=/一1有解，只需。之1.

故选：B.

方法二：

f,(x)=ex+xex---1=(x+\)(ex--)

xx

因为/>0,

所以x+l>0.

令(幻=/一2，因为g(x)在(0,一)上单调递增，

x

所以肛)w(O,+8),g(Xo)=O,即/+ln%=0.

当工£(0,用)时，尸(X)<0;当X£(%,+8)时，f\x)>0.

所以(x)在(0,与)上单调递减，在(X。,+8)上单调递增.

Xi)

所以/(x)min=/(x0)=xQe-\nx0-xQ-a=\-a.

要使代/(X)存在零点，只需即4"

故选：B.

【点睛】

思路点睛：利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路:

，利正最值或极值研究;

□利用数形结合思想研究;

构造辅助函数研究.

x2+4x,x<0

3.已知函数f(x)=<，则函数g(x)=/[〃x)—5]的零点个数是()

e,x>0

x

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】

首先求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可画出函数的草图，从而得到f(x)的零点，则

g(x)=f[/(x)—5],转化为/(%)—5=0或/(x)—5=T或不，数形结合即可判断;

【详解】

x2+4x,x<02x+4,x<0

因为/(%)=(11八，所以/'a)=1X1八，令r(x)vO,解得XV—2,所以7(X)

解:

e——,x>0卜+尸。

x

在(一8,-2)上单调递减，令八%)>0,解得一2cx<0或x〉0,所以/(/)在(-2,0)和(0,+8)上单调

递增，函数图象如下所示:

当xWO时，令/(x)=o,得尤=0或x=-4：又x->0+时/(X)fYO；%-+00时/(另一>+00,

/(l)=e-l>0,所以我«0,1)使得)=0：

要使g(x)=/[/(x)-5]=0,即/(x)—5=0或f(x)-5=-4,或/(%)—5=/

即/*(。)=5或/(x)=l,或〃彳)=7+5

由函数图象易知y=5,y=l,y=%+5与y=/(x)都有两个交点，

故〃力=5或〃x)=l或〃力=与+5各有两个零点，

故函数8(力=/[/(“)-5]有6个零点；

故选：D

【点睛】

本题解答的关键的根据函数的性质画出函数的草图，将函数的零点问题转化为函数与函数的交点；

4.已知函数/。)=(2/-3%)靖，则函数y=3"(x)f+2/(x)—l零点的个数是()

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【分析】

首先对函数求导，研究函数的单调性，求得函数的极值，并确定当XT-8时，0,解方程

3[/(z)f+2/(x)-l=0,求得f*)=7或/*)=§,结合函数图象，确定每个方程根的个数，得到最

后结果.

【详解】

/(x)=(2x2-3x)ev,f*(x)=(2x2+x-3)ex=(2x+3)(x-V)ex,

令f'(x)>0,得或4>1,

33

所以/(x)在(TO,一-)上单调递增，在(--,1)上单调递减，在(Lx。)上单调递增，

22

且/(一尹3加--2,/(l)=-e,

且当Xf-oo时，y->0,

令3f/(x)]2+2/(%)-1=0得f(x)=-1或/(%)=1,

所以/。)=一1有两个解，/(x)=g有三个解，

所以函数y=3[/(x)]2+2/(x)一1零点的个数是5个，

故选：B.

【点睛】

方法点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数零点个数的问题，解题方法如下：

(1)对函数求导，确定函数的单调性和极值，并确定函数图象的变化趋势；

(2)求函数零点，就是令函数等于零，方程的根，求解二次方程，得到函数值的取值；

(3)结合函数图象，确定其零点个数.

/,x〉0

5.已知函数〃力=(2。1八，若函数g(x)=/(x)-丘恰好有两个零点，则实数%等于(C

—X+2x+1,x<0

为自然对数的底数)()

A.1B.2C.eD.2e

【答案】C

【分析】

令g(x)=O得出f(x)=H,做出作出y=/(x)及直线丁=去的图象，则两图象有两个交点，求出y=f(x)

的过原点的切线的斜率即可求出k的范围.

【详解】

解：g(x)=f(x)-丘=0./(x)=kx,

作出了(X)的图象，及直线y=去，如图,

□xWO时，y=—f+2x+l是增函数，1=0时，)=1,无论人为何值，直线y="与y=/W(xVO)都

有一个交点且只有一个交点，而g(x)有两个零点，

□直线y二依与/(x)=，(x>0)只能有•个公共点即相切.设切点为(为,为)，

f'(x)=ex,/(/)=*,切线方程为y—/=e"@—x°)

,切线过原点，

□-*=_*•/，/=］，uk=/'(I)=e,

故选：C.

【点睛】

用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将

零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.对于函数零点人数问题，可利用函数的值域

或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；

从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.但需注意探求

与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.

6.已知函数/(6二一^与函数g(x)=-d+12x+l的图象交点分别为：4(x，yJ,P(孙必)，…，

P(王，%)，(%€.),则(%+%+…+/)+())+%+••・+”)=()

A.-2B.0C.2D.4

【答窠】D

【分析】

先证明函数/(x),g*)关于点(0,1)对称，再作出两函数的图象分析得解.

【详解】

t■-X

由题意化简，f(x)=e+1>

ex-ex

x-XX.—X

因为函数y='+'-是奇函数,所以函数〃力=：+'+1关于点(04)对称.

ex-exex-ex

因为函数y=-V+12x是奇函数，所以函数g(x)=-/+12x+l关于点(0,1)对称.

又门加温厂，

所以"％)在(-8,0),(0,”)上单调递减，

由题得g'(x)=_3(x2_4)

所以函数g(x)在(7)，—2),(2,转)上单调递减，在(一2,2)上单调递增，

由图象可知，/(x)与g(x)的图象有四个交点，且都关于点(0,1)对称，

所以％+%2=°，刍+工4=。弘+%=2,必+乂=2,

所以所求和为4,

故选：D

【点睛】

方法点睛：函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（解方程得解）；（2）图象法（作出函数/（X）的图象

即得解）;（3）方程+图象法（令〃“尸0得ga）=%a）,分析函数g（%）,力（力得解）.

7.已知函数〃x）=Z—lnx+机在区间内有唯一零点，则实数团的取值范围为（）

X

A.，上，十[B.（三，上〕C.（二』]D.J/+1]

Ie+12J（e+1e+\）（e+1）[2）

【答案】B

【分析】

x\nx在区间—,e）内只有一个根，然后利用导数求得〃。）=普；在区间—,e）的单调

等价转化为

x+1

性，最后简单计算可得结果.

【详解】

由题可知：等价于/n（4+l）=ln工

在区间（die）内只有一个根

1%

即〃2='詈在区间（小1。内只有一个根

x\nx,x+1+lnx

令A(J)=--,/z(x)=——,

x+l(x+1)

令无q)=x+l+lnx,2'(幻=1+，>0,函数y=k(x)在区间(二,«)单调递增，4。)>%(/)=/>°，

•X

所以〃(x)>0,函数y=/j(x)在区间(e",e)单调递增，

所以有h(e~'\<h[x)<h{e},即----<7z(x)<—^―,----<m<-^—,

'7e+1e+1e+\e+\

故选：B.

【点睛】

思路点睛：(1)等价转为根=以竺在区间("le)内只有一个根；(2)构造函数力")=1竺；(3)利用

X+1+1

rInX

导数研究函数以幻=——性质；(4)得出结果.

X+1

8.已知函数4x)=g-sinx+x-cosR,当x«-4巴4句且xwO时，方程/⑸=0的根的个数是()

X

A.7B.6C.9D.8

【答窠】D

【分析】

设g(H)='，^Cv)=sinx-xcosx,求方程/(x)=。的根的个数，即求函数y=g(x)与y=力(%)的交点

X

个数，利用函数均为奇函数求区间交点数即可.

【详解】

设g(x)=2，^U)=sinx-xcosx,/*)与g(x)均为奇函数，

X

只需求y=g*)与y=h(x)在(0,4万]上的交点个数.

□^(x)=xsinx,所以%(x)在(0,万)和(2/3万)上单调递增，在(肛2乃)和(3肛44)上单调递减，且

〃(0)=0,〃(万)=乃,〃(2乃)=一〃2,〃(34)=3〃,〃(4乃)=-4乃：

又g(x)=-单调递减且g(4)=/<%(冗),g(4^-)=-^->h(4]),

口在(0,4乃］上有4个交点，故在［-4匹0)上也有4个交点，故方程/。)=0在［-4乃,44］且xwO上有8个

根，

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：将函数拆分成两个函数g(x)=2,h(x)=sinx-xcosx,研究它们在指定区间上的交点个数.

X

9.已知函数外)=elo瞅-«口心1)没有零点，则实数。的取值范围为()

A.(e,+oo)B.(yfe»+8)C.(1»+oo)D.(/，+<»)

【答窠】A

【分析】

先通过令力=〃丸〉1),将/(x)=aog“x—_没有零点转化为g("=lOg/_"S>l)没有零点，进一步

转化为〃(x)=b'-Mb>D没有零点，利用导数求出最小值，令最小值大于零解不等式可得答案.

【详解】

x/1V)

〃x)=eIogM-〃e=log产一Y，令6"凉出>1),

af\J

因为，=1。8/与y="关于丁=1对称,

所以/(x)=ek)g/_/没有零点等价于8(力=1。8/-"3>1)没有零点，

等价于h[x)=bx-x(b>\)没有零点.

x

K(x)=b\nb-1,令”(x)=0得x=Iogz,——

J血

心)迎嗝岛)=小㈤-嗨喧卜0,所以故。”

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：将复杂函数危尸ek)g,4a；3>l)没有零点的问题通过换元法，转化为相对简单的函数

〃(同="一吊。>1)没有零点的问题是本题的关键.

10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数"%)的导函数为f(x),且当/£[0,+8)时，

/(x)sinx</,(x)cosx-ef/(x),e为自然对数的底数，则函数在R上的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】

为了利用条件/(x)sinxv/'(外以方'一4''。)，构造函数g(x)=(cosx-^)/(x)即可.

【详解】

由f(.E)sinx</'(xJcosx-e/Xx),得(cosx-e)/(x)—/(x)sinx>0.

令g(x)=(cosx-e)f(x)，因为cosx-ewO,所以/(x)=0等价于g(x)=0.当xw[0,+8)时，g'(x)>0,

g(x)在[0,+8)上单调递增，又/(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)=(cosx-e)f(x)也是定义在R上

的奇函数，从g(x)在R上单调递增，又g(0)=0,所以g(x)在R上只有1个零点，从而可得/(x)在R上

只有1个零点.

故选：B.

11.己知函数/。)=入11】4-3办2-2”有两个极值点，则实数a的取值范用是()

A.(-oo,^2)B.(O./)c.(-oo,e-1)D.(0,巧

【答案】B

【分析】

由/'(x)=lnx—Qt—l在(0,+8)上有两个不同的零点，转化为函数丁=々与¥=电上士有两个不同的交

X

点，利用数形结合法求解.

【详解】

f,[x)=\nx-ax-l,

因为广(%)二11一"一1在(0,笆)上有两个小同的零点,

即lnjv—ar—l=O有两个不同的正根，即。有两个不同的正根,

x

即y=4与y=g二I有两个不同的交点.

X

因为y'=2z誓，当0Vx</时，y>0,当x>e2时，y<0,

x

所以函数y=在(o,/)为增函数，在(《2,48)为减函数，

X

当工二片时­,y=4,且当x>e时，y>0,

e

在同一坐标系中作出y=a与y=鲂B的图象，如图所示：

x

故选：B.

【点睛】

方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方

面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.

12.函数/(0二/(，”-1)(e为自然对数的底数)，则下列说法正确的是()

A./(X)在R上只有一个极值点B."X)在R上没有极值点

C./(力在X=0处取得极值点D./(%)在无=一1处取得极值点

【答案】C

【分析】

利用导数研究f(x)=x(xex+l+2et+,-2)的零点情况,有x=0或比7+2"“一2=0时fM存在极值点,

令g(x)=比向+2e川-2有g'(x)=6川。+3)即可确定g(x)零点分布情况，进而可判断各选项的正误.

【详解】

由题意，f\x)=2x(ex+l-1)+x2ex+,=x(xex+i+2er+,-2),

□若fM=0,即x=0或xeA+l+及山一2=0，

令g(x)=1+2夕”一2,则g\x)=—+5+2-=-(x+3),

U当4>—3时，g'(x)>0；当xv-3时，g'(%)<0：

g(x)在(一8,-3)上递减，在(-3,+8)上递增；又g(—1)=—1<0,而g(0)=2e—2>0,故g(。在(-1,0)

上存在一个零点.

□/(力在R上至少存在两个极值点，分别为x=0、X=XOG(-1,O).

故选：C

【点睛】

关键点点睛：利用导数研究/a)的极值点，并构造函数8(幻=加川+2d"-2确定其零点分布情况，进

而判断f(%)极值点的个数及分布.

13.设asR,e为自然对数的底数，函数/(6=e“-asinx在(0,乃)内有且仅有一个零点，则〃=()

A.e,B.-1C./D.无京

【答案】D

【分析】

f(X)=O转化为〃=£-.令g(x)=£，0<X<7r,利用导数研究g(x)的单调性、极值，及函数值的

sinxsinx

变化趋势得出结论.

【详解】

由产一asinx=O得，asinx=e，.因为，所以sinx>0.因此。二=一只有一解，

sinx

人/\e*八e、er(sinx-cosx)」，/、八㈤冗

令g(》)=----,Ovxv兀,则g(x)=-------；------.由g(力=。得天二:

sinxsin-x4

当0<X<；■时，g'(x)vo；当.VXV不时，g'(x)>o,所以g(x)min=g.

X—0或Xf4时，都有g(x)fy,

因此0=加・

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题考查由函数零点个数求参数，解题关键是转化，函数零点即方程的解转化为直线与函数

图象交点个数，再转化为求新函数的单调性、极值，即函数的变化趋势，从而得出结论.

14.已知wR,若函数/*)=〃]一以存在两个零点不，x2,且%>0,则下列结论可能成立的

是().

A.ae>b>0B.ae>O>bC.b>0>aeD.0>ae>b

【答案】D

【分析】

hpx、x

根据题意将问题转化为方程2=幺在(0,+?)上有两个实数根，进而令8(力=幺P,%€(0,+8)，再研究

函数g(X)的单调性得g>e>0,进而分a>0和。<0讨论即可得答案.

【详解】

解:当。=0时，函数)(力只有一个零点，故。工0,

因为函数/(x)=ae'-bx存在两个零点内，x2,且马〉谷〉。

所以方程2=ex

在（。,+?）上有两个不相等的实数根.

ax

令g(H=J”(0，+0°)，g<x)="'

XX

所以当XG(L+<»)时g'(x)>0,xw(O,l>4g'(x)vO,

故函数g(X)=C,X«0,+8)在(1,+?)上单调递增，在(0,1)上单调递减;

所以g(x)min=g(l)=e，所以：>e>0,

当。〉0时，b>ae>0,当〃<0时，b<ae<0

故选：D.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数零点问题，解题的关键在于将问题转化为方程幺ex

在(0,+?)上有两个不相

ax

等实数根，进而令g")研究函数的单调性即可.考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.

15.若函数/(幻=。-一/一2。有两个零点，则实数。的取值范围是()

A.(1,+co)B.(2,4-QO)C.(0,+oo)D.(-l,+oo)

【答案】C

【分析】

函数=-功的导函数r(x)=a"-l,对。进行分析可知，利用导数在函数单调性中的应用,

可知当々W0时，函数/(%)在R上单调，不可能有两个零点；

当a〉0时，函数“X)在18,In：)上单调递减，在(哈+8)上单调递增，要使函数〃元)有两个零点,

只需/（力的最小值小于零即可，由此即可求出结果.

【详解】

函数/（力二。/一工一功的导函数/'（力=4，-1.

当aWO时，/'（同40恒成立，函数/（“在R上单调递减，不可能有两个零点；

当〃>0时，令r（x）=0,得x=ln；,

,1上单调递减，在（lnL,+oo]上单调递增,

函数“X）在-00,In—

kci/

ii

所以『（x）的最小值为/=1-In--2«=1+Intz-2^.

令g（Q）=]+】nq.2^（a>0）,则g'（a）=——2.

a

当a£（O,g时，g（a）单调递增；当〃€（：,+<»卜寸，g（a）单调递减，

所以g（°）皿=g（：）=一如2<0,

所以“力的最小值为/卜£|<0,函数/（冗）=。/一工一勿有两个零点.综上所述，实数a的取值范围

是（0,+8）.

故选：C

【点睛】

方法点晴：将函数零点的个数问题转换为函数图象和横轴交点个数问题求解.

16.下列命题为真命题的是（）

A.若a<b<0,则一v—

ab

t4

B.3x0€/?,e">与”的否定是“W/WR，。"<与"

C.函数/（6=-T-%-l（xwR）有两个零点

D.号函数），=（〃/一加一1）/32吁3在无«0,转）上是减函数，则实数加=T

【答案】C

【分析】

作差可判断A；写出命题的否定可判断B；利用导数判断函数的单调性和极值可判断C；根

abab

据新函数的定义可判断D.

【详解】

对于A,---=———,因为a<Z?vO,所以b-a>0,ab>0,

abab

所以1一!>0,->y,错误；

abab

对于B,“3X0£R,e">与”的否定是“VXWR,错误；

对于C,函数/（力=01-1一1（%£尺）.

f（x）=ex-l-\,当/'（x）>0得x>l,当/'（X）〈。得xvl,

所以/（力在x>l是单调递增函数，在xvl是单调递减函数，

所以“可在1=1时有最小值，即/（1）=6°-1-1=-1<0,

/（-2）=e-3+2-l=e-3+l>0,

所以7（x）有两个零点，正确；

对于D,由已知得〈,.八，无解，

m~-2m-3<0

幕函数>=（>一〃7-1）--2吁3在不«0"）上是减函数，则实数加=一],错误.

故选：C.

【点睛】

本题是一道综合题，对于零点的判断，可以利用函数的单调性结合极值情况进行判断，考查了学生对基础

知识、基本技能的掌握情况.

17.若关于x的方程方x-or=x2在（0,十？）上有两个不等的实数根，则实数〃的取值范围为（）

A.（9,-1]B.（-oo,-l）C.[-1,-K»）D.（-l,4-oo）

【答案】B

【分析】

通过分离参数变成a=工土-x，构造函数，(力=出一不，利用导数求其单调区间和值域，数形结合写出

XX

。的取值范围.

【详解】

lnx-ca=x1故a=

x

…、Inx

则/(%)=------x

X

1-Inx1-lnx-x2

x-1=2

f\)=XT工一

设g(左)=l-x>o

故g(x)=」_2x<0

g(x)=l—Inx一/在(0,+?)上为减函数，g(l)=o.

故X£(O,1)时/(x)>0；X£。,+<»)时/(1)<0.

InV

故/(力=——一X在(0,1)上为增函数，在(1,+?)上为减函数.

X

〃X)3=〃1)=T，

且x->(),时/(尤)f-00；x->+00,时/(x)->-00

Inx

丁=。与，(工)=-----X的图象要有两个交点

X

则。的取值范围为(Y0,-l).

故选：B

【点睛】

方程在某区间上有解的问题，可通过分离参数，构造函数，利用导数求该区间上单调区间和值域，得出参

数的取值范围.

18.已知f(x)=ln(d+i)—；x2,若/(力=&有四个不等的实根，则女的取值范围为()

A.(0,ln2—B.卜co,In2一；

C.+D.(ln2+g,+oo

【答窠】A

【分析】

判断函数可知为偶函数，通过求导求得函数极值，画出大致图象，利用数形结合即可求得结果.

【详解】

/(x)=ln(x2+l)—)=/(%),则/(x)为偶函数，

由/得x=0或x=l或1=一1,

xe(o,1),r(x)>0,XG(1,+OO),/f(x)<0,

由偶函数可知，可知/(x)在x=0处取极小值，x=l或％=—1处取极大值.

因/(0)=0,/(±l)=ln2-1,

所以0vA<ln2—；时，/(%)=上有四个不等的实根.

方法点睛：本题考查由函数零点求参数问题，解答时要先将函数的零点问题转化为方程有根的问题，再运

用函数思想将问题转化为研究函数图象的性质和最大最小值的问题，考查了分析问题解决问题的能力.

19.若函数/(x)=x-lnx+/T+"Z+m有零点，则实数用的取值范围是()

A.(YO,-3]B.(-oo,-l]C.[-1,+<»)D.[3,-t-oo)

【答案】A

【分析】

设8。)=A-ln八十ex-'+e-r+,,则函数/(X)=人—加X十+小』十小有零点转化为函数g(x)的图象与直线

y=-m有交点、,利用导数判断函数g(x)的单调性，即可求出.

【详解】

设g(i)=x—Inx+e'T+/用，定义域为(0,+8),则g'(x)=l—g+ei—仁叫易知g'(x)为单调递增函数，

且"(1)=0,所以当工£(0,1)时，g'(x)<0,g(x)递减；当xe(l,+8)时，g'(x)>0,g(x)递增，所

以g(x)NgQ)=3,所以一机23,即加《—3.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查根据函数有零点求参数的取值范围，意在考查学生的转化能力，属于基础题.

20.已知函数/(为是定义域为R的奇函数，且当x<0时，函数/")=xe"+2,若关于x的函数

/。)="*)]2+(〃-2)/(幻一2。恰有2个零点，则实数。的取值范围为().

A.(口一一2B.(f-2)U(2,+o))

C.f-2,—2)<J(2—,2)D.1—2,2—

【答案】C

【分析】

由/(x)=0得/(幻=2或/5)=一。，而兀<0时，/(x)=2无解，需满足了(幻=一。有两个解.利用导数

求得/(幻在x<0时的性质，由奇函数得x>0时的性质，然后可确定出。的范围.

【详解】

/(X)=[/(X)-2][/(x)+6f]=0,/(X)=2或f(x)=-a,

x〈0时，f(x)=xex+2<2,f(x)=(x+\)ex,

xv—l时，/V)<0,/")递减：—IvxvO时，//(x)>0,/3)递增，

/(力的极小值为f(-1)=2-士，又/*)v2,因此f(x)=2无解.

此时/（幻=一。要有两解，则2--＜一。＜2,

e

又人工）是奇函数，□]＞（）时，/。）=2仍然无解，

f（x）=-a要有两解，则一

e

综上有ae（_2,g_2）U（2_},2.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考查导数的应用.首先方程化为/。）=2或/（幻=-。，

然后用导数研究x＜0时/"）的性质，同理由奇函数性质得出工＞0时/（冷的性质，从而得出/。）=2无解,

/。）=-4有两解时。范围.

21.已知函数/（幻=§/+5/+。有3个不同的零点，则c的取值范围是（）

A.（一"1，°）B.卜8,一g。（0,+8）

C.D.18,一？50,+8）

【答案】A

【分析】

求出三次函数的导数，根据导函数正负情况分析单调性和极值，图象要与X轴三个交点，据此得出取值范

围.

【详解】

由条件得f\x）=x2+3x=x（x+3）,

令尸（幻＞0,可得解集为（-00,-3）50,+oo）

令/'（x）vO,可得解集为（一3,0）

9

-+C

则/⑶在（F,-3）和（0,+00）上单调递增，在（-3,0）上单调递减，又/（一3）2-/(0)=c，要使f(x)

99

有3个不同的零点，则cvO＜一+c,所以一一＜c＜0.

22

故选：A

【点睛】

导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注

意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处

理.

22.已知函数2sinx在0,^上有两个不同的零点，则实数/的取值范围是()

3冗冗、(713万］(7tn\(n7t\

A.------,——B.—,—C.—D.——,——

L44)(44」U2)I24)

【答案】A

【分析】

/*)=0有两解变形为屋=正小有两解，设8(幻=0'2工,利用导数确定函数的单调性、极值,

ex/

结合g(x)的大致图象可得结论.

【详解】

由f(x)=缶—2sinx得，♦叵叱，设8(幻=叵辿，则8，*)=受竺竺二包

exexex

易知当0cxe£时，/(幻＞0,g(x)递增，当时，g'*)＜0,g(x)递减，

444

g(0)=0,=&(个)=号，如图是g*)的大致图象，

由,=后sinx有两解得士K*＜士,所以一学工“＜一］.

/1/44

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是转化.函数的零点转化为方程的解，再用分离参数变

形为=问题转化为g*)=的图象与直线y=有两个交点,利用导数研究函数

g。)的单调性、极值后可得.

23.函数/(幻=双2一2上工一1有两个不同零点，则。的取值范围为()

A.(-<»,e)B.(0,e)C.(0,1)D.(fl)

【答案】C

【分析】

先令/0)=0,分离参数得到4=21令g(x)=2譬比根据函数有两个不同零点,可得y=a与

XX

g(x)=2m：+i的图象有两个不同交点,对g(x)求导，判定其单调性，得出最值，画出大致图象，结合

•X

图象，即可得出结果.

【详解】

因为函数/(幻=以2一2111X一1有两个不同零点，

所以方程ar?—2inx—1=0有两不同实根，即。=有两个不同的零点,

21nx+12mx+1

令g(、)=---j-,%>0,则得丁=。与g(x)=----j-的图象有两个不同交点,

X入

因为，(一(21n”+l>2[_41nx,由/(力=0可得x=l,

gW=7

当x«0,l)时,g'(x)>0,则g(x)单调递增;

当X«l,+8)时，g[X)<0,则g")单调递减；

所以g(X)x=g(D=l，

又由g(x)=21?+1〉0可得由g(x)=21nJ+1<0可得0Vxe9,

画出g(x)=21二+1,的大致图象如下:

y

由图像可得，当0<々<1时，y=。与8（尤）二生詈■的图象有两个不同交点,

X

即原函数有两个不同零点.

故选：C.

【点睛】

思路点睛：

利用导数的方法研究函数零点个数（方程根的个数）求参数问题时，一般需要先分离参数，根据分离后的

结果，构造新的函数，利用导数的方法研究函数单调性，确定函数最值，利月数形结合的方法求解.

24.已知函数/（力=1+1一2|1+,，若/2（X）="X-2020）的零点都在（。,。）内，其中mb均为整数，

当人一〃取最小值时，则力+。的值为（）

A.4039B.4320C.1D.0

【答案】A

【分析】

由导数结合零点存在性定理得出函数/（蛇只有一个零点，且零点在区间（-1,0）内，再由平移变换确定函数

/?（司=/（工一2020）只有一个零点且零点落在区间（2019,2020）内，进而确定a,b,得出答案.

【详解】

（1\2Q

f（x）=\-x+x2=x--+->0,则函数/（X）在R上单调递增

<2）4

因为f（o）=i>o，/（-i）=i-i-l-l=-1<o

所以函数/（X）只有一个零点，且零点在区间（-1,0）内

因为函数力（x）=/（X—2020）是由函数j（x）向右平移2020个单位得到的

所以函数力（力=〃%一2020）只有一个零点且零点落在区间（2019,2020）内

因为。,匕均为整数，所以当。=2019/=2020时・，力一。取最小值，即b+a=4039

故选：A

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键在于利用导数、零点存在性定理确定函数Ax)零点的个数以及所在区间，再由

平移变换确定函数〃(%)的零点以及所在区间.

25.已知函数/(x)=(l-a)lnx+]%2+(a2_d_Qx+Z?(x>0,aGR,Z?GR).若函数f(x)有三个零点,

则()

A.a>\,b<0B.0<a<1,b>0

C.a<0,b>0D.0<a<l,b<0

【答案】B

【分析】

首先求出函数的导函数，要使函数/(X)有三个零点，则/'(x)=o必定有两个正实数根，即可求出参数。

的取值范围，再求出函数的单调区间，从而得到了(1一a)〉0,即可判断匕的范围；

【详解】

解：因为/(x)=(1-4)lnx+]x2+(/一〃一1卜+6(/>o,aGR,Z?eR)

由I”「，/\(1-。)/&+(/-(ar-1)(x4-4/-1)

所以/[x)=A——L+奴+(。2_。_])=-----1-------1__1——L=1-------------L

JCXX

1-41>0

要使函数〃力有三个零点，则/'(力=0必定有两个正实数根，即为=2，x2=\-a,所以h解

a—>0

得Ovacl，此时百=1>1,Xj=l-a<l,

a

i(\\

令《f(x)>0,解得0cxvl—a或％>一，即函数在(0,1—。)和一,+8上单调递增，令f'(x)<0,解

a\a7

得l-acxv,或x>，，即函数在上单调递减，

aaVaJ

所以在冗=1一。处取得极大值，在x=’处取得极小值；

因为当Xf0时，/（x）^-OO;当x—>+00时，/（%）->+00,要使函数函数/（力有三个零点，则

〃〜)>0,噌卜。

即/(1—4)=(1_々)111(1_4)+微(1_々)-+(42_々_1)(]_々)+/?

/、/、(a-2](a+\),八

=(1-67)ln(l-«)+^------——L+Z?>0