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文档简介
2025届上海市12校联考高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设直线的方程为,圆的方程为,若直线被圆所截得的弦长为,则实数的取值为A.或11 B.或11 C. D.2.已知点为双曲线的右焦点,直线与双曲线交于A,B两点,若,则的面积为()A. B. C. D.3.抛物线的焦点为,准线为,,是抛物线上的两个动点,且满足,设线段的中点在上的投影为,则的最大值是()A. B. C. D.4.已知集合,,则中元素的个数为()A.3 B.2 C.1 D.05.以下四个命题:①两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近1;②在回归分析中,可用相关指数的值判断拟合效果,越小,模型的拟合效果越好;③若数据的方差为1,则的方差为4;④已知一组具有线性相关关系的数据,其线性回归方程,则“满足线性回归方程”是“,”的充要条件;其中真命题的个数为()A.4 B.3 C.2 D.16.是恒成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知空间两不同直线、,两不同平面,,下列命题正确的是()A.若且,则 B.若且,则C.若且,则 D.若不垂直于,且,则不垂直于8.2019年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎()疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治疗方法,防控难度很大.武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人.在排查期间,一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为()且相互独立,该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为,当时,最大,则()A. B. C. D.9.甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是()A.丙被录用了 B.乙被录用了 C.甲被录用了 D.无法确定谁被录用了10.若复数满足,则()A. B. C. D.11.已知若在定义域上恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.12.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,它的底面边长为,侧棱长为,则它的外接球的表面积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设函数,若存在实数m,使得关于x的方程有4个不相等的实根,且这4个根的平方和存在最小值,则实数a的取值范围是______.14.已知的展开式中含有的项的系数是,则展开式中各项系数和为______.15.“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏,其规则是:在石头、剪子和布中,二人各随机选出一种,若相同则平局;若不同,则石头克剪子,剪子克布,布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏,则甲不输的概率是______.16.在直角坐标系中,已知点和点,若点在的平分线上,且,则向量的坐标为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(1)若,求证:(2)若,恒有,求实数的取值范围.18.(12分)以直角坐标系的原点为极坐标系的极点,轴的正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为,是上一动点,,点的轨迹为.(1)求曲线的极坐标方程,并化为直角坐标方程;(2)若点,直线的参数方程(为参数),直线与曲线的交点为,当取最小值时,求直线的普通方程.19.(12分)设函数,.(1)求函数的极值;(2)对任意,都有,求实数a的取值范围.20.(12分)已知函数,.(1)求的值;(2)令在上最小值为,证明:.21.(12分)已知函数f(x)=x-2a-x-a(Ⅰ)若f(1)>1,求a的取值范围;(Ⅱ)若a<0,对∀x,y∈-∞,a,都有不等式f(x)≤(y+2020)+22.(10分)如图,在正四棱柱中,已知,.(1)求异面直线与直线所成的角的大小;(2)求点到平面的距离.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
圆的圆心坐标为(1,1),该圆心到直线的距离,结合弦长公式得,解得或,故选A.2、D【解析】
设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,设,得,求出的值,即得解.【详解】设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,所以,.设,则,又.故,所以.故选:D【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质,考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3、B【解析】
试题分析:设在直线上的投影分别是,则,,又是中点,所以,则,在中,所以,即,所以,故选B.考点:抛物线的性质.【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中,涉及到抛物线上的点到焦点的距离,焦点弦长,抛物线上的点到准线(或与准线平行的直线)的距离时,常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化.象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半,然后转化为两点到焦点的距离,从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系.4、C【解析】
集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立方程组求得方程组解的个数,即为交集中元素的个数.【详解】由题可知:集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立与,可得,整理得,即,当时,,不满足题意;故方程组有唯一的解.故.故选:C.【点睛】本题考查集合交集的求解,涉及圆和直线的位置关系的判断,属基础题.5、C【解析】
①根据线性相关性与r的关系进行判断,
②根据相关指数的值的性质进行判断,
③根据方差关系进行判断,
④根据点满足回归直线方程,但点不一定就是这一组数据的中心点,而回归直线必过样本中心点,可进行判断.【详解】①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;
②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;
③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;
④因为点满足回归直线方程,但点不一定就是这一组数据的中心点,即,不一定成立,而回归直线必过样本中心点,所以当,时,点必满足线性回归方程;因此“满足线性回归方程”是“,”必要不充分条件.故④错误;
所以正确的命题有①③.
故选:C.【点睛】本题考查两个随机变量的相关性,拟合性检验,两个线性相关的变量间的方差的关系,以及两个变量的线性回归方程,注意理解每一个量的定义,属于基础题.6、A【解析】
设成立;反之,满足,但,故选A.7、C【解析】因答案A中的直线可以异面或相交,故不正确;答案B中的直线也成立,故不正确;答案C中的直线可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直,是正确的;答案D中直线也有可能垂直于直线,故不正确.应选答案C.8、A【解析】
根据题意分别求出事件A:检测5个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件B:检测6个人确定为“感染高危户”发生的概率,即可得出的表达式,再根据基本不等式即可求出.【详解】设事件A:检测5个人确定为“感染高危户”,事件B:检测6个人确定为“感染高危户”,∴,.即设,则∴当且仅当即时取等号,即.故选:A.【点睛】本题主要考查概率的计算,涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用,互斥事件概率加法公式的应用,以及基本不等式的应用,解题关键是对题意的理解和事件的分解,意在考查学生的数学运算能力和数学建模能力,属于较难题.9、C【解析】
假设若甲被录用了,若乙被录用了,若丙被录用了,再逐一判断即可.【详解】解:若甲被录用了,则甲的说法错误,乙,丙的说法正确,满足题意,若乙被录用了,则甲、乙的说法错误,丙的说法正确,不符合题意,若丙被录用了,则乙、丙的说法错误,甲的说法正确,不符合题意,综上可得甲被录用了,故选:C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力,属基础题.10、C【解析】
化简得到,,再计算复数模得到答案.【详解】,故,故,.故选:.【点睛】本题考查了复数的化简,共轭复数,复数模,意在考查学生的计算能力.11、C【解析】
先解不等式,可得出,求出函数的值域,由题意可知,不等式在定义域上恒成立,可得出关于的不等式,即可解得实数的取值范围.【详解】,先解不等式.①当时,由,得,解得,此时;②当时,由,得.所以,不等式的解集为.下面来求函数的值域.当时,,则,此时;当时,,此时.综上所述,函数的值域为,由于在定义域上恒成立,则不等式在定义域上恒成立,所以,,解得.因此,实数的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数,同时也考查了分段函数基本性质的应用,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.12、C【解析】
如图所示,在平面的投影为正方形的中心,故球心在上,计算长度,设球半径为,则,解得,得到答案.【详解】如图所示:在平面的投影为正方形的中心,故球心在上,,故,,设球半径为,则,解得,故.故选:.【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先确定关于x的方程当a为何值时有4个不相等的实根,再将这四个根的平方和表示出来,利用函数思想来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.【详解】由题意,当时,,此时,此时函数在单调递减,在单调递增,方程最多2个不相等的实根,舍;当时,函数图象如下所示:从左到右方程,有4个不相等的实根,依次为,,,,即,由图可知,故,且,,从而,令,显然,,要使该式在时有最小值,则对称轴,解得.综上所述,实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了函数和方程的知识,但需要一定的逻辑思维能力,属于较难题.14、1【解析】
由二项式定理及展开式通项公式得:,解得,令得:展开式中各项系数和,得解.【详解】解:由的展开式的通项,令,得含有的项的系数是,解得,令得:展开式中各项系数和为,故答案为:1.【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式,属于中档题.15、【解析】
用树状图法列举出所有情况,得出甲不输的结果数,再计算即得.【详解】由题得,甲、乙两人玩一次该游戏,共有9种情况,其中甲不输有6种可能,故概率为.故答案为:【点睛】本题考查随机事件的概率,是基础题.16、【解析】
点在的平分线可知与向量共线,利用线性运算求解即可.【详解】因为点在的平线上,所以存在使,而,可解得,所以,故答案为:【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,利用向量的坐标求向量的模,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)(﹣∞,0]【解析】
(1)利用导数求x<0时,f(x)的极大值为,即证(2)等价于k≤,x>0,令g(x)=,x>0,再求函数g(x)的最小值得解.【详解】(1)∵函数f(x)=x2e3x,∴f′(x)=2xe3x+3x2e3x=x(3x+2)e3x.由f′(x)>0,得x<﹣或x>0;由f′(x)<0,得,∴f(x)在(﹣∞,﹣)内递增,在(﹣,0)内递减,在(0,+∞)内递增,∴f(x)的极大值为,∴当x<0时,f(x)≤(2)∵x2e3x≥(k+3)x+2lnx+1,∴k≤,x>0,令g(x)=,x>0,则g′(x),令h(x)=x2(1+3x)e3x+2lnx﹣1,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,且x→0+时,h(x)→﹣∞,h(1)=4e3﹣1>0,∴存在x0∈(0,1),使得h(x0)=0,∴当x∈(0,x0)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,∴g(x)在(0,+∞)上的最小值是g(x0)=,∵h(x0)=+2lnx0﹣1=0,所以,令,令所以=1,,∴g(x0)∴实数k的取值范围是(﹣∞,0].【点睛】本题主要考查利用证明不等式,考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18、(1),;(2).【解析】
(1)设点极坐标分别为,,由可得,整理即可得到极坐标方程,进而求得直角坐标方程;(2)设点对应的参数分别为,则,,将直线的参数方程代入的直角坐标方程中,再利用韦达定理可得,,则,求得取最小值时符合的条件,进而求得直线的普通方程.【详解】(1)设点极坐标分别为,,因为,则,所以曲线的极坐标方程为,两边同乘,得,所以的直角坐标方程为,即.(2)设点对应的参数分别为,则,,将直线的参数方程(参数),代入的直角坐标方程中,整理得.由韦达定理得,,所以,当且仅当时,等号成立,则,所以当取得最小值时,直线的普通方程为.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标方程的转化,考查利用直线的参数方程研究直线与圆的位置关系.19、(1)当时,无极值;当时,极小值为;(2).【解析】
(1)求导,对参数进行分类讨论,即可容易求得函数的极值;(2)构造函数,两次求导,根据函数单调性,由恒成立问题求参数范围即可.【详解】(1)依题,当时,,函数在上单调递增,此时函数无极值;当时,令,得,令,得所以函数在上单调递增,在上单调递减.此时函数有极小值,且极小值为.综上:当时,函数无极值;当时,函数有极小值,极小值为.(2)令易得且,令所以,因为,,从而,所以,在上单调递增.又若,则所以在上单调递增,从而,所以时满足题意.若,所以,,在中,令,由(1)的单调性可知,有最小值,从而.所以所以,由零点存在性定理:,使且在上单调递减,在上单调递增.所以当时,.故当,不成立.综上所述:的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的极值,涉及由恒成立问题求参数范围的问题,属压轴题.20、(1);(2)见解析.【解析】
(1)将转化为对任意恒成立,令,故只需,即可求出的值;(2)由(1)知,可得,令,可证,使得,从而可确定在上单调递减,在上单调递增,进而可得,即,即可证出.【详解】函数的定义域为,因为对任意恒成立,即对任意恒成立,令,则,当时,,故在上单调递增,又,所以当时,,不符合题意;当时,令得,当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,所以要使在时恒成立,则只需,即,令,,所以,当时,;当时,,所以在单调递减,在上单调递增,所以,即,又,所以,故满足条件的的值只有(2)由(1)知,所以,令,则,当,时,即在上单调递增;又,,所以,使得,当时,;当时,,即在上单调递减,在上单调递增,且所以,即,所以,即.【点睛】本题主要考查利用导数法求函数的最值及恒成立问题处理方法,第(2)问通过最值问题深化对函数的单调性的考查,同时考查转化与化归的思想,属于中档题.21、(Ⅰ)(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)-1010,0.【解析】
(Ⅰ)由题意不等式化为|1-2a|-|1-a|>1,利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可;(Ⅱ)由题意把问题转化为[f(x
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