第二章-随机过程

第二章随机过程2.1随机过程的基本概念2.2平稳随机过程2.3高斯过程2.4噪声2.5随机过程通过线性系统2.6窄带随机过程1自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：1.确定性过程其变化过程具有确定的形式。数学上，可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。2.随机过程没有确定的变化形式。每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。数学上，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。2.1随机过程基本概念2随机过程的基本特征：其一：在观察区间内是一个时间函数；其二：任一时间上观察到的值是不确定的，是一个随机变量。实现：每一个时间函数为一个实现。即一个样本函数。随机过程可看成是一个全部可能实现构成的总体。即所有样本函数的集合。

设Sk(k=1,2,…)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}构成一随机过程，记作ξ(t)。3图2-1-1样本函数的总体（随机过程）4设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1

其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率记为F1(x1,t1)，称为ξ(t1)的一维分布函数，即（2-1-1）5同理，任给t1,t2,…,tn∈T,则ξ(t)的n维分布函数被定义为为ξ(t)的n维概率密度函数。称为ξ(t)的一维概率密度函数。如果F1对x1的导数存在，即（2-1-2）6随机过程的数字特征用数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。数字特征是指均值、方差和相关系数。是从随机变量的数字特征推广而来的。(1)数学期望（均值）表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。即均值（2-1-3）补充：离散数据的期望7(2)方差

表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。即均方值与均值平方之差。t时刻方差等于随机变量平方的均值与均值平方之差。也常记作称为随机过程ξ(t)的方差或均方差。（2-1-4）8(3)协方差函数和相关函数协方差函数定义为相关函数(反映同一过程的相关程度)反映随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度（2-1-5）（2-1-6）9式中若为零（或为零）则：（2-1-6）协方差函数和相关函数的关系10互协方差函数（针对两个随机过程）互相关函数（针对两个随机过程）将相关函数的概念引伸到两个随机过程，也可以引伸到多个随机过程和分别表示两个随机过程。（2-1-7）（2-1-8）11例题课后2.1，2.2122.3

平稳随机过程1平稳随机过程的定义任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。也称为严平稳随机过程定义中n和τ是任意的，因此，一维分布与t无关，二维分布只与t1，t2间隔有关。（2-3-1）13平稳随机过程的数字特征：均值方差相关函数τ表示时间间隔。摆动中心为一条直线。因为与时间t无关（2-2-2）（2-2-3）（2-2-4）结论：①均值，方差与时间无关。

②相关函数只与时间间隔有关。14满足上式则称ξ(t)为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）只要均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。反之不一定成立。152各态历经性平稳过程在一定条件下具有一个非常有用的特性，称为各态历经性：具有各态历经性的过程，其数字特征完全由随机过程的任一实现的时间平均值来代替统计平均。设x(t)是平稳过程ξ(t)的任意一个样本，则其时间均值和时间相关系数分别定义为（2-2-5）（2-2-6）（2-2-7）16如果平稳过程使下式成立称该平稳过程ξ(t)具有各态历经性。意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。具有各态历经性随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本），无需作无限多次考察，只要获得一次考察，用一次实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。（2-2-8）173.平稳过程的自相关函数在平稳过程中，均值、方差、自相关、互相关函数这四个数学特征中，自相关函数是最重要的一个。

基本性质：①②③R(0)为ξ(t)的平均功率R(τ)为τ的偶函数R(0)：自己和自己相关值，最大（2-2-9）18⑤④证明：平均功率与均值的平方之差。当τ→∞时ξ(t)与ξ(t+τ)变得没有依赖关系(统计独立),且ξ(t)不含有周期分量。19例题例题2-3-1204.平稳过程的功率谱密度确定信号的功率谱密度确知信号分为能量信号和功率信号。对于能量信号发如满足狄氏条件，且绝对可积，即则存在傅立叶变换，而它的能量E可表示为上式为帕塞伐尔等式，其中称为的能谱密度。（2-2-10）（2-2-11）补充傅里叶变换21对于功率信号，其能量为无限大，只能考虑其平均功率P。0tt图2-3-2功率信号及其截短（2-2-12）22为截短函数。能量及平均功率（2-2-13）（2-2-14）（2-2-15）23当极限存在时，令于是的平均功率功率谱密度。称为（2-2-16）（2-2-17）表示为24所以与为一傅立叶变换对。（2-2-19）确知功率信号的自相关函数与功率谱密度的关系25平稳随机过程的美一个实现是一个时间信号，并且为功率信号，因而每个实现的功率谱可以用来表示。但是随机过程的每个实现是不能预知的，所以，每个实现的功率谱密度不能作为随机过程的功率谱密度，必须进行统计平均。26平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换（2-2-20）（2-2-21）27功率谱密度有如下性质：（1）功率谱密度为偶函数。28（2）功率谱密度在频率上的面积等于随机过程的平均功率。（3）为非负实函数。29练习例题2-3-230高斯随机过程也称正态随机过程，是通信领域中最重要的一种随机过程。大多数的噪声是一种高斯随机过程。（补充正态分布）定义若随机过程X(t)的任意n维分布都服从正态分布，则称之为高斯过程或正态过程。其n维正态概率密度函数为式中

|B|为归一化协方差矩阵的行列式

|B|jk

为|B|中元素bjk

的代数余子式

bjk为归一化协方差函数2.3.高斯随机过程31若干重要性质(1)高斯过程的n维分布只依赖于各个随机变量的数学期望、方差，以及两两之间的归一化协方差函数所决定，因此对于高斯过程的研究主要在于其数字特征。32

(2)如果以个高斯过程是广义平稳的，则它也是狭义平稳的。广义平稳的随机过程，其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关。高斯过程的其n维分布由性质（1）也与时间起点无关，故也是严平稳的。(3)如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j

k，有bjk=0，此时有(4)高斯过程经过线性变换后得到的过程仍然是高斯过程。即若线性系统的输入为高斯过程，则其输出也为高斯过程.这时n维概率密度函数可以用各自的概率密度函数的乘机表示。332.4噪声物理系统中对信号的传输与处理起扰乱作用而又不能完全控制的一种不需要的波形称为噪声。散粒噪声又称散弹噪声，它是电子器件中电流的离散性质所引起的。散粒噪声的平均值为零，幅度的概率函数为高斯分布。热噪声是指导体中电子的随机运动所产生的一种电噪声。它是均值为零的高斯分布。34高斯噪声当噪声的任意n维分布都服从高斯分布，成为高斯噪声。散粒噪声和热噪声都属于高斯分布。白噪声：如果噪声的功率谱密度在所有频率上均为一常数，则称该噪声为白噪声。记为：其中为单边功率谱密度，单位为瓦/赫兹(W/Hz)（2-4-1）35图2-5-1白噪声的功率谱密度和自相关函数。白噪声只是构造的理想化的噪声形式或数学抽象，在实际中，只要噪声功率谱分布远远大于通频带，即可视为白噪声。它在任意两个不同时刻之间互不相关，且统计独立。（2-4-2）36高斯噪声与白噪声高斯噪声是指它的统计特性服从高斯分布，并不涉及其功率谱密度的形状；白噪声则是就其功率谱密度是均匀分布而言，不论它服从什么样的概率分布。一般把既服从高斯分布而功率密谱密度又是均匀分布的噪声称为高斯白噪声或白色的高斯噪声。372.6

平稳随机过程通过线性系统通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应y(t)等于输入信号x(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即（2-5-1）38线性系统:当一个系统的行为满足叠加原理时，这个系统称为线性系统。单位冲激响应:在单位冲激信号δ(t)激励下，系统的零状态响应称为单位冲激响应，用h(t)表示。零状态响应:不考虑原始时刻系统的储能作用(起始状态为0)，由系统的外加激励信号产生的响应。线性时不变系统可由其单位冲激响应h(t)或其频率响应H(f)来表示。39若线性系统是物理可实现的，则（2-5-2）（2-5-3）线性系统的响应y(t)等于输入信号x(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积40当线性系统的输入端加上随机过程时，对于的每一个样本函数（i=1,2,…），系统的输出都有一个和它相对应，而的整个集合就构成了输出过程（2-5-4）41如果是平稳随机过程，则：（2-5-5）输出随机过程的数学期望输出表达式：42因为（2-5-6）输出过程的数学期望就等于输入过程的数学期望乘以H

(0)。物理意义：平稳随机过程的数学期望就是它的直流分量，所以当通过线性系统后，输出的直流分量就是输出的直流分量乘以系统的直流传递函数H(0).43自相关函数44根据平稳性

于是可见,ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。（2-5-7）45输出过程ξo(t)的功率谱密度令则：46可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度与系统功率传输函数的乘积。这是十分有用的一个重要公式。当我们想得到输出过程的自相关函数时，比较简单的方法是先计算出功率谱密度，然后求其反变换，这比直接计算要简便得多。

例带限白噪声。试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为H(ω)=K0e-jwt0其他47解：由上式可得：则自相关函数功率谱密度为输出噪声的平均功率为：我们把正弦函数sin(t)与自变量t的比值称为抽样函数或Sa(t)函数，其表达式为Sa(t)=sin(t)/t48图2-6-2带限白噪声的功率谱和自相关函数49总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极限，即（2-5-8）

输出过程ξo(t)的概率分布从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，50由于ξi(t)已假设是高斯型的，所以，在任一时刻的每项ξi(t-τk)h(τk)Δτk都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之和。由概率论得知，这个”和”的随机变量也是高斯随机变量。这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程。更一般地说，高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。512.7

窄带随机过程在通信系统中，许多实际的信号和噪声都满足“窄带”的假设，即其频谱被限制在“载波”或某中心频率附近一个窄的频带上，而这个中心频率fc离开零频率又相当远。例如：无线广播系统中的中频信号及噪声就是如此。如果这时的信号或噪声是一个随机过程，则称它们为窄带随机过程。在通信系统中,许多实际信号和噪声都满足窄带的假设窄带随机过程的一个样本波形如同一个包络和随机相位缓变的正弦波。52图2-7-1窄带过程的频谱和波形示意△f:窄带带宽fc：中心频率53因此，窄带随机过程ξ(t)可用下式表示也可以表示成：其中（2-6-1）（2-6-2）54同相和正交分量的统计特性

设窄带过程ξ(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零。下面将证明它的同相分量和正交分量也是零均值的平稳高斯过程，而且与ξ(t)具有相同的方差。

数学期望

因为ξ(t)为平稳，且均值为零，那么对任意的时间t，又有期望为零。则：（2-6-3）（2-6-4）55自相关函数其中：（2-6-5）56因为ξ(t)是平稳的，则相关函数与时间t无关，仅与有关。可以令t=0，则可得：令可得：如果是平稳的，则也是平稳的。由上式可得：（2-6-6）（2-6-7）（2-6-9）（2-6-8）57将上式代入上式表明，为的奇函数，所以：同理：即：这表明窄带随机信号与它的同相分量和正交分量具有相同的方差。另外可得：（2-6-10）（2-6-11）纠错根据互相关函数的性质58因为为高斯过程，所以是高斯随机变量，那么也是高斯过程。

上所述，一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量和正