导数的概念及其几何意义课件高二上学期数学人教A版选择性

第五章§5.1.2导数的概念及其几何意义复习引入前面我们研究了两类变化率：1.物理学：平均速度和瞬时速度2.几何学：割线斜率和切线斜率复习引入

★解决这两类问题思想方法具有一致性吗？

无限逼近（极限）

★答案表示形式具有一致性吗？

平均变化率的极限物理学几何学

瞬时变化率共同点：都采用了由“平均变化率”无限逼近“瞬时变化率”的思想方法。今天我们继续研究更一般的问题.知识建构

可导x＝x0导数知识建构知识建构例：问题1中运动员在t=1时的瞬时速度为v(1)就是函数h(t)在t=1处的导数h′(1)，问题2中抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0就是函数f(x)＝x2在x＝1处的导数f′(1)，即知识建构

3.导数的几何意义注意点：

(1)曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率即函数y＝f(x)在x＝x0处的导数；

(2)瞬时变化率、曲线在该点切线的斜率、函数在该点的导数，三者等价.注：

1.当Δx≠0时，比值的极限存在，则f(x)在x＝x0处可导；

若

的极限不存在，则f(x)在x＝x0处不可导或无导数．

2.f′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同；知识建构例1

求函数y＝

在x＝1处的导数

从而

＝-1.学有所用用导数定义求函数在某一点处的导数解：1、求平均变化率，先写出,并化简；小结：

求

y＝f(x)在

x＝x0

处导数的一般步骤：

解：学有所用(1)如何求曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程?提示:根据导数的几何意义,求出函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数,即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线方程的点斜式求出切线方程.提示:曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点.(2)曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过点(x0,y0)的切线有什么不同?(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?提示:不一定.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线l与曲线y=f(x)的交点个数不一定只有一个,如图所示.解惑提高思考:过原点的切线，原点一定是切点吗？

不一定求出y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)．利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)．点斜式切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，化为一般式.小结：过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤B例2

将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第xh时，原油的温度（单位：℃）为

计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.学有所用解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是

和所以因为同理，学有所用小结：在本题中

是原油温度在时刻

x0的瞬时变化率，它反映的是原油温度在时刻x0附近的变化情况.

和

在这个实际问题中的意义是什么？学有所用瞬时加速度就是速度的瞬时变化率.例3

一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度（单位：m/s）为y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.速度与瞬时加速度的关系是什么？学有所用同学们自己完成具体计算过程总结提升1.知识清单：(1)导数的概念.(2)导数的几何意义(3)导数定义的直接应用.(4)导数在实际问题中的意义.2.方法归纳：定义法.3.常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位.知识建构l

l当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h′(t0)＝0，这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0，这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减.当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0，这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减.研究t＝t1和t＝t2时，发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的缓慢.若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝

；若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k

0，且函数在x＝x0附近_____

，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快；若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k

0，且函数在x＝x0附近

，且|f′(x0)|越大，说明函数图象变化的越快.0单调递增<

单调递减>知识建构练习已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设

＝a，则下列不等式正确的是A.f′(1)<f′(2)<aB.f′(1)<a<f′(2)C.f′(2)<f′(1)<aD.a<f′(1)<f′(2)√学有所用l

l

学有所用ll

如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时药物浓度瞬时变化率的近似值.

学有所用ll

下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率0.40-0.7-1.4

学有所用导函数的定义从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的

(简称导数).y＝f(x)的导函数记作

或

，即f′(x)＝y′＝

.导函数f′(x)y′知识建构注意：(1)f′(x0)是具体的值，是数值.(2)f′(x)是函数，f(x)在某区