2024-2025学年上海市杨浦区高三上册11月期中数学检测试题（附解析）

2024-2025学年上海市杨浦区高三上学期11月期中数学检测试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.设集合，，则________．【正确答案】【分析】先化简集合，再利用集合交集运算求解.【详解】解：因为集合，，所以故2.已知复数为虚数单位），表示的共轭复数，则________.【正确答案】1【分析】先由复数除法求得，然后再计算．【详解】，∴．故1本题考查复数的运算，掌握复数四则运算法则是解题基础．本题还考查了共轭复数的概念．3.已知向量满足：，与的夹角为，则__________.【正确答案】【分析】首先求出，再根据平面向量数量积的定义求出，最后根据及平面向量数量积的运算律计算可得；【详解】解：因为，所以，又且与夹角为，所以，所以故4.函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是_______.【正确答案】【分析】根据正弦型函数的单调性和最值点，结合数形结合思想进行求解即可．【详解】因为，所以当时，则有，因为在区间内有最大值，但无最小值，结合正弦函数图象，得，解得，则的取值范围是.故答案为.5.袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是___________．【正确答案】##0.4【分析】由古典概型概率公式计算即可.【详解】有两种情况：①甲摸到红球乙再摸到红球得概率为：②甲摸到白球乙再摸到红球得概率为：，故乙摸到红球的概率．故6.展开式中的系数为___________.（答案用数字作答）【正确答案】【分析】先求二项式的展开式的通项公式，再由通项公式求展开式中的系数.【详解】二项式的展开式的通项公式为，，令，可得，所以展开式中含的项为第四项，其系数为，故答案为.7.已知，若，则______.【正确答案】或【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为且，所以或，解得或.故或8.在中，内角的对边分别为，若，，．则边的长度为__________．【正确答案】4【分析】利用余弦定理化简即可求解.【详解】∵cosB＝，由余弦定理：42＝a2＋（2a）2－2a×2a×解得a＝2，从而c＝4故4.9.某同学6次测评成绩的数据如茎叶图所示，且总体的中位数为88，若从中任取两次成绩，则这两次成绩均不低于93分的概率为__________.【正确答案】##0.2【分析】根据题意有茎叶图求出，再用古典概率结合组合计算即可.【详解】依题可得只能，得，则不低于93分的成绩有三次，从6次测评成绩中任取两次成绕共有种取法，其中两次成绩均不低于93分的只有3种情况，则所求概率为.故答案.10.已知过抛物线的焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，且．若点在抛物线上，动点在直线上，则的最小值为________．【正确答案】##【分析】利用抛物线的性质，求得抛物线方程，先判断直线与抛物线的位置关系，然后设与抛物线相切且与平行的直线并求出来，根据两平行线之间的距离公式即可求得结果.【详解】由题知，设Ax则，，又，所以，抛物线方程，联立，得，无解，则直线与抛物线没有公共点，设与抛物线相切且与平行的直线为，则联立，得，则，解得，则的最小值为.故11.已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是______．【正确答案】【分析】当时，由可得出，令，其中，利用导数分析函数在上的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】当时，由可得，则，令，其中，则，当时，令，可得，列表如下：增极大值减且，，，，如图所示：要使得存在唯一的负整数，使得，即，只需，即，因此，实数的取值范围是.故答案为.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．12.已知函数，若实数满足，则的最大值为__________.【正确答案】【分析】先证明，进而可得，设，则直线与椭圆有交点，联立方程，则，即可得解.【详解】由题意，，则，又，所以，即，设，则直线与椭圆有交点，联立，得，则，解得，所以的最大值为.故答案为.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A.若，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【正确答案】D【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，若，，，则或者异面，故A错误，对于B，若，，且与，的交线垂直，才有，否则与不一定垂直，故B错误，对于C，若，，则或者，故C错误，对于D，若，，则，D正确，故选：D14.已知，，．求的最大值（）A. B. C.5 D.2【正确答案】B【分析】由基本不等式和题目条件得到，求出的最大值.【详解】因为，，由基本不等式得，故，解得，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.故选：B15.设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和再上具有性质．现有四组函数：①，；②，；③，；④，．其中具有性质的组数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】B【分析】①由得，符合题意；②构造函数，分析函数单调性可知不具有性质；③由可知具有性质；④构造函数，求导分析单调性可知不具有性质.【详解】①，令，解得(舍去)或，存在非零实数，使得.②，令结合指数函数的单调性，在定义域内单调递减，，故无其他零点，不存在非零实数，使得.③，存在，使得.④，，在上单调递增，又，故无其他零点，不存在非零实数，使得.故选：B.16.一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断：①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．其中所有正确判断的序号是（）A.②③④ B.②④ C.②③ D.①②③④【正确答案】C【分析】对于①，举例判断；对于②，由数列的偶数项都相等，奇数项都相等判断；对于③，由为周期数列，则一个周期能必存在最大值判断；对于④，举例判断.【详解】对于①，若为:，，满足题意，但是数列不是周期数列，故①错误;对于②，由可知，，...，即数列的偶数项都相等，奇数项都相等，所以当时，能使得当取每一个正整数时，都有，故数列为周期数列，故②正确;对于③，若为周期数列，则一个周期内必存在最大值，它是有界的，故存在正整数，使得恒成立，故③正确;对于④，首项为1，公比为2的等比数列:，，可任取一个符合题意的数，不妨取，满足题意，但很明显数列：不是周期数列，故④错误.故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．17.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，．（1）求证：；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．【正确答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）先论证平面PAD，从而，再由，得到平面PBC即可；（2）根据题意建立空间直角坐标系，求得平面PAB的一个法向量，设直线与平面所成的角为，由求解.【小问1详解】证明：因为底面是边长为2的正方形，所以，又，且，所以平面PAD，又平面PAD，所以，又，且，所以平面PBC，又平面PBC，所以；【小问2详解】由题意建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面PAB的一个法向量为，则，即，令，则，，所以，设直线与平面所成的角为，所以.18.学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题．其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中道题目回答即可．现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表：选答④、⑥、⑧、⑩的题目数1道2道3道4道人数（1）现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人．学校还调查了这位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表：性别“公序良俗”达人非“公序良俗”达人总计男性

女性

总计

请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关．（2）从这名学生中任选名，记表示这名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变量的分布和数学期望．参考公式：，其中．附表见上图．【正确答案】（1）列联表见解析，有关；（2）分布列见解析，.【分析】（1）根据题意，补全列联表，求得，结合附表，即可得到结论；（2）根据题意，得到随机变量的可能有0，1，2，3，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.【小问1详解】这100位学生中，“公序良俗”达人有20人，由此补全列联表如下：性别“公序良俗”达人非“公序良俗”达人总计男性133043女性75057总计2080100零假设：“公序良俗”达人与性别无关，可得，所以根据小概率值的独立性检验，我们可推断不成立，即认为“公序良俗”达人与性别有关．【小问2详解】由题意，随机变量的可能有，，，，可得，，，，所以的分布列如下：0123所以数学期望.19.已知数列和满足，（为常数且）．（1）证明：数列是等比数列；（2）已知为数列的前项和，且，记，为数列的前项和，求使得取到最大值时的值．【正确答案】（1）证明见解析（2）或【分析】（1）由等比数列的定义即可判断；（2）通过单调性即可判断.【小问1详解】证明：因为，（为常数，且），上述两个等式相加可得，则，所以，，因为，则，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，所以，，则，即数列是公比为的等比数列.【小问2详解】解：因为为数列的前项和，且，则，由（1）可知，，所以，，所以，，则，由（1）可得，所以，，所以，，因为数列单调递减，且当且时，，且，所以，当且时，，当且时，，所以，数列从第项开始单调递减，所以当或使得取到最大值，.20.已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为，（1）求的方程；（2）证明：为定值；（3）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程．【正确答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）由离心率及所过点求椭圆方程；（2）设点，且，得，点差法及斜率两点式求，即可证；（3）设弦的中点，点重心,，联立直线与椭圆，应用韦达定理及重心坐标性质得坐标与m的表达式，代入椭圆求参数，即可得直线方程.【小问1详解】由已知，得，解得，则椭圆的方程为；【小问2详解】依题意，可设点，且，点关于原点的对称点为，点在上，，作差得，直线的斜率为，直线的斜率为，，即为定值；【小问3详解】设弦的中点，点重心,，由，得，，且，的重心在轴上，，，则，在上的投影向量相等，则，且，则直线的方程为，，得，又点在上，，即又，则直线的方程为21.已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）函数在区间上有零点，求的值；（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．【正确答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据导数几何意义求出切线斜率，由解析式求得切点坐标，从而得到切线方程；（2）由导数可得函数单调性，利用零点存在性定理可判断出在上有零点，从而得到结果；（3）整理出，可知为的两根，从而得到，；根据的范围可确定的范围后，将两式代入进行整理；构造函数，，利用导数可求得函数的最小值，该最小值即为的最大值.【详解】（1）由题意得：，曲线在处切线为：，即（2）由（1）知：当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增