2024-2025学年辽宁省本溪市高二上册12月联合考试数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年辽宁省本溪市高二上学期12月联合考试数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．可表示为（

）A． B． C． D．2．已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．3．若，则（

）A．2 B．8 C．2或8 D．2或44．已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（

）A．3 B．5 C．7 D．95．已知向量，若共面，则（

）A．2 B．3 C．4 D．66．已知双曲线，则的渐近线方程为是的离心率为的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（

）A． B． C． D．8．据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（

）A．50 B．64 C．66 D．78二、多选题（本大题共3小题）9．已知在的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（

）A．B．展开式的各项系数和为243C．展开式中奇数项的二项式系数和为16D．展开式中不含常数项10．已知空间中三点，则（

）A．与向量方向相同的单位向量是B．在上的投影向量是C．与夹角的余弦值是D．坐标原点关于平面的对称点是11．圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的方程为B．过点且垂直于的直线平分C．若，则D．若，则三、填空题（本大题共3小题）12．已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为．13．若直线和直线平行，则的值为．14．如图，在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，分别是的中点，且，则直线与平面所成角为.，四棱锥的外接球的表面积为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.（结果用数字表示）16．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，（1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求17．在平面直角坐标系中，已知动圆与圆内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线与曲线相交于，两点和，两点，求四边形的面积的最小值.18．在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点．(1)点到平面的距离；(2)若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值；(3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由．19．通过研究发现对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角可得到向量，这一过程叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.(1)已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；(2)已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆.（i）求斜椭圆的离心率；（ii）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点，判断是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由.

答案1．【正确答案】B【分析】根据排列数公式判断．【详解】．故选B．2．【正确答案】A【分析】根据题意列式求，即可得方程.【详解】因为椭圆的左焦点为，所以.又因为椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，所以，结合，可得，故椭圆的方程为.故选：A.3．【正确答案】A【分析】利用组合数的性质求出的值.【详解】由组合数的性质可得，解得，又，所以或，解得或（舍去）.故此题答案为A.4．【正确答案】C【详解】由，得，所以直线过定点，由，知圆心坐标，半径为，所以到圆心的距离为，所以在圆外，故PQ的最大值为.故选：C.5．【正确答案】B【详解】因为，三个向量共面，所以存在唯一实数对，使得，所以，所以，解得.故选：B.6．【正确答案】D【详解】充分性：当双曲线的焦点在轴上时，由渐近线方程为，知，所以离心率；当双曲线的焦点在轴上时，由渐近线方程为，知，即，所以离心率，所以充分性不成立.必要性：由离心率为，知，所以，当双曲线的焦点在轴上时，渐近线方程为；当双曲线的焦点在轴上时，渐近线方程为，所以必要性不成立.综上所述，的渐近线方程为是的离心率为的既不充分也不必要条件.故选：D.7．【正确答案】C【详解】解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，可得，设n=x,y,z是平面的法向量，则，令，则，即，由，且，可得，又因为，则，由平面，可得，解得.解法二：如图，取中点，连接，易证，所以平面即为平面，易知当为的中点时，，平面，平面，从而平面，所以.故选：C.8．【正确答案】A【详解】①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取音阶，排成的音序有种；②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取音阶，排成的音序有种；③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14，15，24，25音阶，排成的音序有种；④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13，15，25，35音阶，排成的音序有种.由分类加法计数原理可知，一共有种排法.故选：A.9．【正确答案】BCD【详解】A项，在的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，是展开式的中间两项的二项式系数，则为奇数，且与最大，所以，解得，A项错误；B项，在中，令，得，故展开式的各项系数和为243，B项正确；C项，在的展开式中的二项式系数和为，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等，所以展开式中奇数项的二项式系数和为16，C项正确；D项，的展开式的通项公式为，且为整数，令，解得，不满足要求，所以展开式中不含常数项，D项正确.故选：BCD.10．【正确答案】ABD【详解】，对于A，与向量方向相同的单位向量是，故A正确；对于B，在上的投影向量是，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，设平面的法向量是n=x,y,z则，即，令，可得，所以平面的一个法向量是，原点O0,0,0到平面的距离，坐标原点O0,0,0关于平面的对称点是，故D正确.故选：ABD.11．【正确答案】ABD【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解.【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，所以，解得，得到双曲线的方程为，正确，对于B，如图，由题知，，所以，若，所以，正确，对于C，记，所以，又，得到，又，所以，又，由，得，错误，对于D，因为，，由，得，又，得到，得到，从而有，得到，由，得到，从而有，解得，正确，故选ABD.12．【正确答案】5【分析】利用抛物线的定义，将转化为到准线的距离，再由三点共线求最小值.【详解】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.故5.13．【正确答案】【详解】由于两直线平行，所以，解得或，当时，两直线方程为、，符合题意.当时，两直线方程为、，即、，两直线重合，不符合题意.所以的值为.故14．【正确答案】【详解】以中点为原点，直线为轴，直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.底面是边长为的等边三角形，，分别是的中点，且，所以三棱锥为正四面体，作平面于点，则为等边三角形的重心，，则，，则，.设为平面的一个法向量，则，即，令，则，则为平面的一个法向量，又所以，所以直线与平面所成角为因为都为等边三角形，，所以球心在过中点与平面垂直的直线上，设球心，半径为，则，所以，解得，故四棱锥的外接球的表面积为.故答案为.15．【正确答案】(1)10；(2)8；(3)660.【分析】（1）利用给定等式，取求出值.（2）根据给定等式，取即可得解.（3）求出展开式的通项公式，再结合组合数的性质求出.【详解】（1）在中，令，得，所以.（2）在中，令，得，所以.（3）的展开式的通项公式，因此.所以.16．【正确答案】（1）；（2）；（3）.【详解】（1）连接，如图：因为，，在，根据向量减法法则可得：因为底面是平行四边形故因为且又为线段中点在中（2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是故由（1）可知故平行四边形中故：故（3）因为，又17．【正确答案】(1)(2)32【分析】（1）利用圆和圆，圆和直线的位置关系的性质和抛物线的定义即可求解.（2）设直线的方程为，,联立方程组得，再利用抛物线的的性质求，同理求，最后利用基本不等式求解即可.【详解】（1）设圆的半径为，圆的圆心，半径为1，因为圆与圆内切，且与直线相切，所以圆心到直线的距离为，因此圆心到直线的距离为，且，故圆心到点的距离与到直线的距离相等，据抛物线的定义，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）设直线的方程为，，，.联立方程组整理得，故所以.因为，直线的方程为，同理可得.所以，当且仅当，即时，取等号.所以四边形面积的最小值为32.18．【正确答案】(1)(2)(3)存在，点在处或在靠近的三等分点处【详解】（1）过作直线平面，则可以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，，则，，，设面的一个法向量为，则，令，则，，所以，所以点到面的距离.（2）因为为的中点，所以，所以，，所以，所以异面直线与AE所成角的余弦值为．（3）设，其中，则，，，设平面的一个法向量为，则有，令，则，，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量为，所以，若存在点，使得二面角的余弦值为，则，所以，解得或，故存在或满足题意，即存在点在处或在靠近的三等分点处．【一题多解】（3）连接，则，易得，所以，又平面，，所以，，所以两两互相垂直，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，