人教A版高中数学选择性必修第一册第三章3.2.1第1课时双曲线及其标准方程课件

第1课时双曲线及其标准方程第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程整体感知[学习目标]

1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(数学抽象、直观想象)2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(数学运算)(教师用书)双曲线是一种很优美的曲线，就好像人的身形一样婉转婀娜．在实际生活中，双曲线也有着广泛的应用，例如很多工程建筑就是仿照双曲线的外形特点而设计的，在兼具美学的情况下又保证了建筑物的坚实程度．我们已经学习过椭圆的相关知识，那么双曲线又有着怎样的定义、方程与几何性质呢？让我们慢慢揭开它的神秘面纱吧！[讨论交流]

问题1．双曲线的定义中有怎样的限制条件？问题2．双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有怎样的区别与联系？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1双曲线的定义探究问题1做下面一个试验．(1)取一条拉链，拉开一部分．(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？[提示]

双曲线、曲线上的点满足条件：||MF1|－|MF2||＝常数＜|F1F2|．[新知生成]文字语言平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹符号语言||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|)焦点定点______焦距________的距离差的绝对值F1，F2两焦点间【教用·微提醒】

(1)常数要小于两个定点的距离．(2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支．(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．[典例讲评]

1．已知点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是(

)A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线√D

[依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线．]反思领悟

在双曲线的定义中，注意三个关键点：(1)在平面内．(2)差的绝对值．(3)存在定值且定值小于两定点间距离．在这三个条件中，缺少任何一个条件，动点轨迹就不是双曲线．[学以致用]

1．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则点P的轨迹是(

)A．双曲线 B．双曲线的一支C．直线

D．一条射线√D

[F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹为一条射线．]探究2双曲线的标准方程探究问题2回顾求椭圆标准方程的过程，有哪些经验值得借鉴？通过类比如何建立适当的坐标系，得出双曲线的标准方程？

探究问题3设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以经过F1，F2两点的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？

[新知生成]双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程________________________________________焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)_____________________a，b，c的关系c2＝______

F1(0，－c)，F2(0，c)a2＋b2【教用·微提醒】

(1)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上，即x2，y2的系数异号．(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线定形的条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．其中c＞a，c＞b，而a，b无大小要求．【链接·教材例题】例1已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

发现规律

试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤．[提示]

(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．(4)结论：写出双曲线的标准方程．【教用·备选题】已知圆C：(x＋3)2＋y2＝4及点A(3，0)，Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为_______________．

[学以致用]

2．(源自湘教版教材)已知双曲线两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，－2)，该双曲线的标准方程为___________．

C

[由题意知(k－2)(5－k)＜0，即(k－2)(k－5)＞0，解得k＞5或k＜2．则实数k的取值范围是k＞5或k＜2．故选C．]√[母题探究]若该方程表示焦点在x轴上的双曲线，求实数k的取值范围．

√

应用迁移23题号411．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则点P的轨迹是(

)A．双曲线

B．双曲线的一支C．不存在

D．一条射线√B

[F1(－3，0)，F2(3，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4．因为|F1F2|＝6＞4，则动点P的轨迹满足双曲线的定义．|PF1|－|PF2|＝4＞0，则点P的轨迹是双曲线的一支．故选B．]23题号41

√

23题号41

√

23题号41

22

[由题意得||PF1|－|PF2||＝2a＝16，又|PF1|＝6，所以|PF2|＝22．]22

1．知识链：(1)双曲线的定义．(2)双曲线的标准方程及其推导．(3)双曲线标准方程的识别．2．方法链：待定系数法、分类讨论法．3．警示牌：(1)易忽略双曲线的定义中的2a＜|F1F2|或把双曲线的一支误认为双曲线的两支．(2)易忽略对双曲线焦点位置的判断．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程．

课时分层作业(二十八)双曲线及其标准方程题号135246879101112131415一、选择题1．已知动点P到点M(1，0)，N(－1，0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是(

)A．双曲线

B．双曲线的一支C．两条射线

D．一条射线√C

[由题知||PM|－|PN||＝2，且|MN|＝2，则点P的轨迹是两条射线，故选C．]题号135246879101112131415

√

题号352468791011121314151

√

题号352468791011121314151

√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151二、填空题6．过点(3，2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的双曲线方程为____________．

题号352468791011121314151

±3

11题号352468791011121314151

题号352468791011121314151三、解答题9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型．

题号352468791011121314151

√√√

题号352468791011121314151题号35246879101112131415111．与圆x2＋y2＝4及圆x2＋y2－8x－6y＋24＝0都外切的圆的圆心在(

)A．一个椭圆上

B．双曲线的一支上C．一条直线上

D．一个圆上√题号352468791011121314151B

[圆x2＋y2＝4的圆心F1(0，0)，半径为2，圆x2＋y2－8x－6y＋24＝0可化为(x－4)2＋(y－3)2＝1，圆心F2(4，3)，半径为1，设所求圆的圆心为P，半径为r，由题意可知|PF1|＝r＋2，|PF2|＝r＋1，则|PF1|－|PF2|＝1＜|F1F2|，故由双曲线的定义可知，所求圆的圆心的轨迹为双曲线的一支．故选B．]题号352468791011121314151

√题号352468791011121314151

题号3524687910111213