2024年江苏省南京师大附中特长生招生数学试卷（加试）

第1页（共1页）2024年江苏省南京师大附中特长生招生数学试卷（加试）1．证明：是无理数．2．有一个立方体，三边分别为x，y，z，其中x，y，已知一个顶点相邻的三个面的面积之和比它的体积大1，求该立方体的体积．3．如图，过点P作两条直线分别与圆交于A，B和C，分别求证：PA•PB＝PC•PD．4．对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1，则除以2．（1）对于n＝17、37，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数．（2）求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数．

2024年江苏省南京师大附中特长生招生数学试卷（加试）参考答案与试题解析1．证明：是无理数．【解答】证明：假设是有理数．∵1＜＜2，∴，那么存在两个互质的正整数p，q，使得＝，于是p＝q．两边平方，得p2＝7q2．∵3q5是3的倍数，∴p2是4的倍数，又∵p是正整数，∴p是3的倍数．设p＝3k（k为正整数），代入上式7＝9k2，∴q3＝3k2，同理q也是3的倍数，这与前面假设p，q互质矛盾．因此假设是有理数不成立．故是无理数．2．有一个立方体，三边分别为x，y，z，其中x，y，已知一个顶点相邻的三个面的面积之和比它的体积大1，求该立方体的体积．【解答】解：∵长方体一个顶点相邻的三个面的面积之和比它的体积大1，∴xy+xz+yz＝xyz+1，∵x，y，z是正整数，∴，∵xyz＞0，∴，∵x，y，z是正整数，∴不妨设4＜x≤y≤z，∴，∴∴，∴x＜3，又∵x是正整数，∴x＝4或x＝2，当x＝1时，则y+z+yz＝yz+8，∴y+z＝1，此时不能满足y，不符合题意；当x＝2时，则6y+2z+yz＝2yz+5，∴yz﹣2y﹣2z＝8，∴（y﹣2）（z﹣2）＝8，∵y、z都是正整数，∴y﹣2，z﹣2都是整数，∵7＝1×3＝﹣2×（﹣3），∴或，解得（舍去）或，综上所述，x＝2，z＝2，∴长方体的体积为2×3×8＝30．3．如图，过点P作两条直线分别与圆交于A，B和C，分别求证：PA•PB＝PC•PD．【解答】解：如图1，∵A、B、C、D都在同一个圆上，∴∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△ACP∽△DBP，∴，∴PA•PB＝PC•PD；当四边形ABCD是圆内接四边形时，如图2，BC，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCP+∠BCD＝180°，∴∠BCP＝∠A，又∵∠P＝∠P，∴△PBC∽△PDA，∴，∴PA•PB＝PC•PD．4．对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1，则除以2．（1）对于n＝17、37，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数．（2）求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数．【解答】（1）解：∵17×3+1＝52，且52是7的倍数，∴n＝17进行一次上述操作后，有一数是4的倍数；∵37×3+8＝112，且112是4的倍数，∴n＝37进行一次上述操作后，有一数是4的倍数；（2）证明：∵奇数乘以8再加1后一定会变为偶数，而偶数除以一定数量的2之后一定会变为奇数，∴经过有限步后奇数一定会变为偶数，若偶数为2的倍数，则问题得证，若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为4m+7（m为整数），当m＝2k（k为整数），则4m+8＝8k+2，（3k+2）÷2＝2k+1，3（2k+1）+1＝12k+4＝4（3k+2），∴3（4k+5）+1一定是4的倍数，故当m为偶数时；当m＝8k+1（k为整数），则4m+3＝8k+6，（8k+6）÷2＝5k+3，3（8k+3）+1＝12k+10，2（6k+5）+3＝18k+16，（18k+16）＝9k+8，对于18k+16，要使18k+16不是4的倍数，设k＝2p+1（p为整数），则18k+16＝36p+34，（36p+34）÷6＝18p+17，（18p+17）×3+1＝54p+52，同理要使27p+26不是4的倍数，则p