2024-2025学年吉林省长春三中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省长春三中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y=x2的焦点坐标为(

)A.(12,0) B.(0,12)2.与双曲线y2−x23=1A.y29+x27=1 B.3.在等差数列{an}中，a2+a6A.−4 B.−1 C.1 D.44.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A，左、右两焦点分别为F1A.12 B.22 C.15.已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2A.3x−4y−5=0 B.3x−4y+5=0 C.4x−3y−5=0 D.4x−3y+5=06.过点P(2,1)的直线l与双曲线x2−y23=1相交于A，B两点，若P是线段ABA.6x−y−11=0 B.6x+y−13=0 C.2x−3y−1=0 D.3x−2y−4=07.已知双曲线C：x24−y212=1的右焦点为F，点A(0,m)，若直线A.±2 B.±43 C.±28.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB=6，深度MO=2，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该抛物线上一点，点Q(158,2)，则|PF|+|PQ|的最小值为A.4 B.3 C.2 D.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知曲线C1：4x2+3y2=48，A.C1的长轴长为4 B.C2的渐近线方程为y=±3x

C.C1与C210.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23>0A.数列{an}是递增数列 B.a13>0

C.当S11.过抛物线C：y2=2px上一点A(1,2)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则(

)A.C的准线方程是x=−1

B.过C的焦点的最短弦长为2

C.直线MN过定点(5,−2)

D.若直线MN过点(1,−1)，则△AMN的面积为24三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若抛物线C：x2=2py(p>0)上的一点到焦点的距离为p2，到x轴的距离为3，则p=13.公差为d的等差数列{an}的首项为a1=2，前n项和为Sn，且满足214.如图，我们把由半椭圆y216+x29=1(x≤0)和半椭圆x225+y2

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在等差数列{an}中，a3=7，a9=−5，{an}的前n项和为Sn．

(1)求数列{a16.(本小题15分)

已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F1和F2分别为左右焦点，焦距为6，且过(5,0)．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若动直线l17.(本小题15分)

已知抛物线C：x2=−2py(p>0)的焦点为F，A(x0,−9)是抛物线C上的点，且|AF|=15．

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知直线l交抛物线C于M，N两点，且MN的中点为(6,−4)18.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为2，且离心率为233．

(1)求C的方程和焦点坐标；

(2)设C的右焦点为F，过F的直线交C于19.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22，且点(4,1)在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若经过定点(0,−1)的直线l与椭圆C参考答案1.D

2.B

3.D

4.A

5.D

6.A

7.B

8.B

9.BD

10.ABC

11.AC

12.2

13.65

14.8+215.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

则a1+2d=7a1+8d=−5，解得a1=11，d=−2，

所以an=11+(n−1)×(−2)=−2n+13．

(2)由(1)16.解：(1)由2c=6，得c=3，

又椭圆过(5,0)，∴a=5，

得b2=a2−c2=25−9=16，

∴椭圆的标准方程为x225+y216=1；

(2)动直线l过F2与椭圆交于A、17.解：(1)因为|AF|=9+p2=15，所以p=12，

故抛物线C的方程为x2=−24y．

(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

则x12=−24y1,x218.解：(1)因为C的离心率为e=ca=233，又C的虚轴长为2，

所以2b=2，又c2=a2+b2，

解得a2=3，b2=1，c2=4，

所以C的方程为x23−y2=1，左、右焦点坐标分别为(−2,0)，(2,0)；

(2)由(1)知F(2,0)，根据题意易得过F的直线斜率存在，

设为y=k(x−2)，A(xA,yA)，B(xB,yB)19.解：(1)椭圆C的离心率e=22，则22=ca=1−b2a